二面角的平面角的題型歸納與方法

1、二面角的平面角題型歸納與方法求二而角是高考中必考內容，學習過程中要備受關注，利用傳統(tǒng)方法求解二而角的關 鍵是首先知道二而角的平而角，再轉化到三角形中解決，而利用法向量可以降低問題的難度, 把問題轉化為程序化的求解過程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。一、法向量求二而角步驟1、建立適當的直角坐標系，當圖形中有明顯互相垂直且交于一點的三條直線，可以利用這 三條直線直接建系；如果沒有明顯交于一點的三條直線，但圖形中有一立對稱關系，(如正 三棱柱、正四棱柱等)利用圖形對稱性建立空間直角坐標系解題；此外頁可以利用而而垂直 的性質泄理，作出互相垂直且交于一點的三條直線，建立坐標系。2、求法向量：一般用

2、待左系數法求解，一般步驟如下：(1)設岀平面的法向量為n= (x,y,z)； (2)找出(求出)平面內的兩個不共線的向量的坐標0 = (®,勺,cj, Z? = («2,Z?2,c2);n a = 0(3)根據法向量的立義建立關于x、y、z的方程組: (4)解方程組，取其中的一nb = O個解，即得法向呈:。3、利用數量積公式求角：設懇，石分別是兩個半平而的法向量，則由COSV®,"2 =；上求得，而5, “2 的大小或其補角的大小即為二面角的 hi k大小，應注意的方向。所以二面角的大小可以通過該二而角的兩個而的法向量的夾 角求得，他等于兩法向量的夾角

3、或其補角。二、考題剖析例1.在四棱錐P-ABCD中，P4丄平面ABCD9底面ABCD為矩形,AB = PA = -BC(a0).a(I)當0 = 1時，求證：BD丄PC；(H)若3C邊上有且只有一個點0,使得P0丄QD,求此時二面角A-PD-Q的余弦值.解：(1)當“ =1時，底而ABCD為正方形，二BD丄AC又因為BD丄PA, :.BD丄而PAC又 PCu 而 PAC,.BD 丄 PC(II)因為AB.AD.AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系，如圖所示，令AB = ,可得BC = a 則 8(l,0,0),D(0,o,0)C(l,d,0),P(0,0,l)設 BQ

4、= m ,則(2(1, m,0)(0 < m < a)要使P0丄QD,只要甩QD = - + m(a-m) = O 即 m2 am + 1 = 0，由 = 0 => a = 2,此時 tn = 1。所以BC邊上有且只有一個點0.使得PQ丄0D時,0為BC的中點，且a = 2設面PQD的法向雖:p =(九”1)則<p QD = 0 p DP = 0一 x + y = 0-2y + l = 0取平面PAD的法向量q = (100),則/；力的大小與二而角A - PD Q的大小相等=也，因此二面角A-PD-Q的余弦值為空6 6所以cos(pq=厶纟p q點評：一般情況下求法向

5、量用待左系數法由于法向量沒規(guī)立長度，僅規(guī)左了方向，所以有 一個自由度，可把的某個坐標設為L再求另兩個坐標求解法向量一般借助方程思想. 幾何問題代數化，求得法向量再結合向量數量積公式求得二面角。例2、在如圖所示的四面體ABCD中,ABS BC、CD兩兩互相垂直，且BC二CD二1 求二 面角C-AB-D的大??；分析：由于本題中沒有垂直關系，需要尋找(或作出三線垂直的直線)。 解根據已知容易證明AB丄平面BCD，設以過B點且CD 的向呈為x軸，BC. BA為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐 標系設ABm ,則 A(0 # 0 ,) , C(0 丄 0) , D(1 ,1,0),BD =(1 J 0

6、) 麗=(0 r 0 f a)平面ABC的法向呈麗 =(1,0,0) 設平面ABD的一個法向星為n = (x t y , z) 則BD n = 04 nBA n = 0x + y = 0 az =0»取 n = ( t -1,0)CD n y/2 ICDIInl 2二面角C - AB - D的大小為45°點評：解決本題關鍵是建立合適的直角坐標系，求得點的坐標，從而求得法向呈。再利用公式出空間角。AADD例3、如圖，四棱錐P-ABCD的底WiABCD是正方形，側棱PD丄底而ABCD , PD = DC, E是PC的中點(1) 證明P4 /平而(2) 求二而角B-DE-C的平面

7、角的余弦值；【解析】(1)以D為坐標原點，分別以射線DA、DC、DP所在直線為忑開乙軸的正方向建立空間直角坐標系，設PD = DC = 2,則A(2,0,0), P(0Q2), E(0丄1),3(220),顧= (2,0,2)萬E = (0丄 1),萬8 = (2,2,0)設街=(x,z)是平面的一個法向量，則由杯-呼0得*W=0 ,取y=_得入=(1)6 切=02x + 2y = oV pa nx =2-2 = 0 , PA 丄又 P4(Z平而 BDE,所以PA/平而BDE(2)由(1)知入=(1,一1,1)是平面BDE的一個法向星 又nz = DA = (2,0,0)是平而DEC的一個法向

8、量. 設二面角B-DE-C的平面角為比 由圖可知0=<nJi2 >p量的坐標運算解決幾何問題時，首先要恰當建立空間直角坐標系，計算出相關點的坐標，進 而寫岀向量的坐標，再結合公式進行論證、計算，最后轉化為幾何結論.B例4.如圖所示的幾何體ABCDE.DA丄平面E43, CBIIDA、EA = DA = AB=2CB,E4丄AB, M是EC的中點.(I) 求證：?！皝A勵；(II) 求二面角M -BD-A的余弦值.解：分別以直線AE.AB.AD為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A jqz，設CB = a,貝ijA(0Q0)衛(wèi)(2d,0,0),B(0,2d,0),C(0,2a,a),D(0,0,2d), 所以M(a,a,) 2(I ) ilE： DM = (2a,2a,O)2£) EA = d (2rt)+d 2d+0 = 0/. DM 丄麗，即 DM 丄(I【)解：設平而MBD的法向量為并= (x,y,z),麗= (0,2"加)，由,;丄DB 9 n I D” DB = 2ay - 2az = 0n DM = ax + ay az = 02y = z3x+y-z=O2取2 = 2得平WiMBD的一非