十字相乘法教案

1、十字相乘法進行因式分解【基礎知識精講】（1）理解二次三項式的意義；（2）理解十字相乘法的根據(jù)；（3）能用十字相乘法分解二次三項式；（4）重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數(shù)不為1的二次三項式的十字相乘法.【重點難點解析】1 .二次三項式多項式,浸+以十 ,稱為字母十的二次三項式，其中.2稱為二次項，次為一次項，。為常 數(shù)項.例如，/-21-3和/+5x + 6都是關于x的二次三項式.在多項式6邛+ 8），2中，如果把y看作常數(shù)，就是關于x的二次三項式；如果把x看作 常數(shù)，就是關于y的二次三項式.在多項式2a282_7+3中,把數(shù)看作一個整體，即2伍份2-7（帥）+ 3,就是關于數(shù)的二次 三項式

2、.同樣，多項式（x + y）2+7（x + y） + 12 ,把x+y看作一個整體，就是關于x+y的二次三 項式.十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法.2 .十字相乘法的依據(jù)和具體內容利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用（ax+5）（cx+抄豎式乘法法則.它的一般規(guī) 律是：（1）對于二次項系數(shù)為1的二次三項式Y + px + q,如果能把常數(shù)項q分解成兩個因數(shù)& b的 積，并且a+Z?為一次項系數(shù)p,那么它就可以運用公式/+（a + ）x + 4 = （x + a）（x + ）分解因式.這種方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項” .公式中的x可以表示單項式，也 可以表示多項式，當常數(shù)項為正

3、數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系 數(shù)的符號相同；當常數(shù)項為負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的 符號與一次項系數(shù)的符號相同.（2）對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式./+法b,。都是整數(shù)且aWO）來說，如果 存在四個整數(shù)勾,2-，使q *c2=c t且年2+。2cl =b，那么 ax2 +bx + c =化/ +（%。2 +）x + ClC2 =（%x + c ）（%x +。2）它的特征是“拆兩頭，湊中 間”，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的情況復雜，因此，一般要借助 “畫十字交叉線”的辦法來確定.學習時要注意符號的規(guī)律.為了減少嘗試

4、次數(shù)，使符號問題 簡單化，當二次項系數(shù)為負數(shù)時，先提出負號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù) 項為正數(shù)時，應分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時， 應將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相 同.用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認真地驗證交叉相乘 的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母.如：5x2 +6xy-8y2 =(x + 2X5x-4)(使交叉相乘再相加后的和等于一次項系數(shù)，在橫向寫出積的形式。)3 .因式分解一般要遵循的步驟多項式因式分解的一般步驟：先考慮能

5、否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法， 最后考慮分組分解法.對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行.以上步 驟可用口訣概括如下：”首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合 適，四種方法反復試，結果應是乘積式”.1) 將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)積的形式。2) 確定和為一次項系數(shù)的兩個因數(shù)。3) 把這個多項式寫成積形式。例1把下列各式分解因式：(1) x2 - 2x -15 ；( 2 ) x2 -5xy + 6y2.點悟：(1)常數(shù)項一15可分為3 X(-5),且3+( 5)= -2恰為一次項系數(shù)；(2)將y看作常數(shù)，轉化為關于x的二次三項式，常數(shù)項6)/可分

6、為(-2y)( 一3力，而(一2。+ ( 3y) = (-5y)恰為一次項系數(shù).解：(1) x2 - 2x -15 = (x + 3)(x - 5)；(2) x2 -5xy + 6)，= (x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式：(1) 2x2-5x-3； (2) 3x2+8.r-3.點悟：我們要把多項式+以+。分解成形如(4玉+)(3+。2)的形式，這里午2=。而年2 + 42G = b .解：(1) 25x-3 = (2x + l)(x-3)；(2) 3x2 +Sx-3 = (3x-)(x + 3).點撥：二次項系數(shù)不等于1的二次三項式應用十字相乘法分解時，二次項系數(shù)的分解和常數(shù)項

7、 的分解隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積累 經驗，才能提高速度和準確性.例3把下列各式分解因式：(1) x4-10x2+9；(2) 7(x+ y)3 -5(a + y)2 -2(x + y)；(3)+8a)2+22(1+80 + 120 .點悟：(1)把V看作一整體，從而轉化為關于/的二次三項式；(2)提取公因式(x+y)后，原式可轉化為關于(x+y)的二次三項式；(3)以面+8)為整體，轉化為關于5+8”)的二次三項式.解：(1) x4-10x2+9 = (x2-1)(x2-9)=(x+1) (x1) (x+3) (x3).(2 ) 7(x + y)

8、3 - 5(x + y)2 - 2(x + y)=(x + y)7(x + y)2 -5(x + y) - 2=(x+ y) (x+y)-17 (x+ y) +2=(x+y) (x+pl) (7x+7y+2).(3) (a2+ 8ay + 22(a2 +8”) +120=(a? + 8 +12)(/+ &/+10)=(a+ 2)(“+ 6)(/+8+ 10)點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成 整體，才能構成二次三項式，以順利地進行分解.同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分 解，如能分解，要分解到不能再分解為止.例 4 分解因式：(x2 + 2x

9、-3)(x2+2x-24) + 90 .點悟：把-+2x看作一個變量，利用換元法解之.解：設x?+2x = y,則原式=（廠-3） 324）+90= y2-27y + 162= (y-18) (y-9)= (x2+2x-18)(x2+2x-9).點撥：本題中將Y+2x視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效 果.此外,V-27)，+ 162=(y-18)()，-9)一步，我們用了 “十字相乘法”進行分解.例5 分解因式6/+51-38/+5工+ 6.點悟：可考慮換元法及變形降次來解之.解：原式=x26(x2 +!)+ 5(x + -)-38 廠x=x26(x + )2 +5

10、(x + )-50, xx令,則 x原式=/(6,，2+5-50)=A2(2y-5)(3y + 10)23=M(2x + -5)(3x +二+ 10) xx=(2x2 -5x + 2)(3/ + 10.v + 3)= (x-2)(2x -l)(x + 3)(3x +1) .點撥：本題連續(xù)應用了 “十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼 花了亂.但是，品味之余應想到對換元后得出的結論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié).例6分解因式/-2不，+)/-5* + 5-6.點悟：方法1：依次按三項，兩項，一項分為三組，轉化為關于(xy)的二次三項式.方法2：把字母y看作是常數(shù)，轉化為

11、關于x的二次三項式.解法 1:x2-2xyf + y2-5x + 5y-6=(x2 - 2xy + y2) + (-5x + 5y) -6= (x-y + l)(x-y-6).解法 2:x2 -2xy + y2 -5x + 5y-6=a2 - (2y + 5)x + y2 +5y-6=x2 -(2y + 5)x + (y + 6)(y-l)= x-( y + 6)x-( y-i)=(xy6) (xy+1).例 7 分解因式：ca(cm + bc(b-c)+ab(a/?).點悟：先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組.解：ca(c-a) +/?(/?) +ab(aLt)=ac1 -a2c

12、 + b2c-bc2 + ab(a - b)=c2(a-b)-c(a2 -b2) + ab(a-b)= c2(a-b)-c(a + b)(a - b) + aba - b)= (a-b)c2 -c(a + b) + ab(a-Z?) (ca) (?/?).點撥：因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某兒項展 開再分組.此題展開四項后，根據(jù)字母c的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含a-b的因式，從而能提公因 式.隨后又出現(xiàn)了關于。的二次三項式能再次分解.例8已知/ + 6/+工+ 12有一個因式是/+辦+4,求a值和這個多項式的其他因式.點悟：因為/+6/+X + 12是四次多項式

13、，有一個因式是/+辦+4,根據(jù)多項式的乘法原則可 知道另一個因式是Y+公+3 (囪、力是待定常數(shù))，故有 /+6/+x + 12 = (/+bx + 3).根據(jù)此恒等關系式,可求出a 6的值.解：設另一個多項式為/+以+ 3,則x4 + 6.v2 + x +12=(x2 +ax + 4)(x2 +bx+3) =x4 +(a + h)x3 +(3 + 4 + Z?)x2 +(3a + 4Z?)x + 12 ,*.* x4 + 6x2 +x+12與 x4 +(a+b)x3 +(3+4+ab)x2 + (3a+4b)x+12 是同一個多項式,所以其對應項Z+ = o, 3十4十4b =6,系數(shù)分別相等.即有13。+4匕=1.由、解得，a= 1, Z?=l,代入，等式成立./. a= lt另一個因式為V+x+3.點撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法.待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解 較為常用的