正余弦定理知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典題(有答案).

1、正余弦定理1. 定理內(nèi)容：（ 1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即abc2Rsin Asin Bsin C（ 2）余弦定理：三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍。即：a2b2c22bc cos Ab2a2c22ac cos Bc2a2b22ab cosC（ 3）面積定理： S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B2222. 利用正余弦定理解三角形：（ 1）已知一邊和兩角：（ 2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角：（ 3）已知兩邊和它們所夾的角：（ 4）已知三邊：正弦定理1在 ABC 中， A 45°

2、;， B 60°， a2，則 b 等于 ()A. 6B. 2C.3D 262在 ABC 中，已知 a 8， B 60°， C 75°，則 b 等于 ()32A4 2B4 3C4 6D. 33在 ABC 中，角A、 B、 C 的對(duì)邊分別為a、 b、 c， A 60°，a 43， b 4 2，則角 B 為()A 45°或 135 °B135 °C 45° D 以上答案都不對(duì)4在 ABC 中， ab c 1 5 6，則 sinAsinB sinC 等于 ()A 1 56B 6 51C615D 不確定解析：選 A. 由正弦

3、定理知 sinA sinBsinC a bc 1 56.5在 ABC 中， a，b， c 分別是角 A，B， C 所對(duì)的邊，若A 105 °， B45°， b 2，則 c ()11A 1B.2C 2D. 4cos A b，則 ABC 是 ()6在 ABC 中，若 cos B aA 等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D 等腰三角形或直角三角形7已知 ABC 中， AB 3， AC 1， B30°，則 ABC 的面積為 ()333或 3D.3或3A. 2B. 4C. 2428 ABC 的內(nèi)角 A、 B、C 的對(duì)邊分別為a、 b、 c.若 c2， b 6， B 120

4、°，則 a 等于 ()A. 6B 2C.3D.29在 ABC 中，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為a、 b、 c，若 a 1， c3， C 3，則 A _.10在 ABC 中，已知 a 433， b 4， A30°，則 sinB _.11在 ABC 中，已知 A 30°， B 120 °，b 12，則 a c _.12在 ABC 中， a2bcosC，則 ABC 的形狀為 _a b c _，c _.13在 ABC 中， A 60°，a 6 3，b 12，S ABC 18 3，則sinA sinB sinCa2b c _.14已知 ABC 中，

5、 A B C 12 3， a1，則1sin A 2sin B sin C15在 ABC 中，已知 a 3ABC 4 3，則 b _.2， cosC 3， S16在 ABC 中， b4 3， C 30°，c 2，則此三角形有 _組解17如圖所示，貨輪在海上以40 km/h 的速度沿著方位角(指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角 )為 140°的方向航行， 為了確定船位， 船在 B 點(diǎn)觀測(cè)燈塔 A 的方位角為 110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C 點(diǎn)，觀測(cè)燈塔 A 的方位角是 65°，則貨輪到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)，與燈塔 A 的距離是多少？CC12A，求 A、18在

6、 ABC 中， a、b、c 分別為角 A、B、C 的對(duì)邊，若 a2 3，sin2cos ，sin Bsin Ccos242B 及 b、 c.19 (2009 年高考四川卷 )在 ABC 中， A、 B 為銳角，角 A、 B、C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、 b、 c，且 cos 2A 3， sin B 10求 A B 的值； (2)若 a b21，求 a，b， c 的值510 .(1)20 ABC 中， ab603， sin B sin C， ABC 的面積為153，求邊 b 的長(zhǎng)余弦定理源網(wǎng)1在 ABC 中，如果 BC 6， AB 4， cosB1，那么 AC 等于 ()3A 6B2 6C3 6D4

7、 62在 ABC 中， a2， b3 1， C 30°，則 c 等于 ()A. 3B.2C. 5D 23在 ABC 中， a2 b2 c23bc，則 A 等于 ()A 60°B 45°C 120 °D 150 °4在 ABC 中， A、 B、 C 的對(duì)邊分別為222a、b、 c，若 (a c b )tanB 3ac，則 B 的值為 ()A.B. 5 263C. 或D. 或36635在 ABC 中， a、b、 c 分別是 A、 B、 C 的對(duì)邊，則 acosB bcosA 等于 ()A aB bC cD以上均不對(duì)6如果把直角三角形的三邊都增加同樣

8、的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為()A 銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D由增加的長(zhǎng)度決定7已知銳角三角形ABC 中， |AB| 4， |AC|1， ABC的面積為 3，則 AB·AC的值為A 2B 2C 4D 48在 ABC 中， b 3， c3， B30°，則 a 為 ()A. 3B2 3C. 3或2 3D 29已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角滿足2B A C，且 AB 1，BC 4，則邊 BC 上的中線 AD10 ABC 中， sinA sinB sinC (31)( 3 1)10，求最大角的度數(shù)11已知 a、b、c 是 ABC 的三邊， S 是 ABC 的面積， 若 a4

9、，b 5，S 53，則邊12在 ABC 中， sin A sin B sin C 23 4，則 cos A cos B cos C _.()的長(zhǎng)為 _c 的值為 _13在 ABC 中， a3 2， cos C 1，S ABC 4 3，則 b _.314已知 ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 AB 7， BC 5，AC6，則 AB·BC的值為 _22215已知 ABC 的三邊長(zhǎng)分別是a b ca、 b、 c，且面積 S4，則角 C _.16 (2011 年廣州調(diào)研 )三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為_(kāi)17在 ABC 中， BC a，AC b， a，b 是方程 x2

10、23x 2 0 的兩根，且2cos(AB) 1，求 AB 的長(zhǎng)18已知 ABC求角 C 的度數(shù)的周長(zhǎng)為2 1，且sin A sin B2sin C.(1)求邊AB 的長(zhǎng)； (2)若 ABC的面積為16sin C，19在 ABC 中， BC5， AC 3，sin C 2sin A.(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A 4)的值20在 ABC 中，已知 ( a b c)(a b c) 3ab，且 2cos Asin B sinC，確定 ABC 的形狀正弦定理1在 ABC 中， A 45°， B 60°， a2，則 b 等于 ()A.6B.2C.3D 26解析：選 A.

11、 應(yīng)用正弦定理得：a b，求得 b asinB 6.sinAsinBsinA2在 ABC 中，已知 a 8， B 60°， C 75°，則 b 等于 ()32A4 2B4 3C4 6D. 3解析：選 C.A 45°，由正弦定理得b asinB 46.sinA3在 ABC 中，角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為a、 b、 c， A 60°，a 4 3， b 4 2，則角 B 為()A 45°或 135 °B135 °C 45° D 以上答案都不對(duì)解析：選 C.由正弦定理a b得： sinBbsinA2，又 a>b

12、， B<60°， B 45°.sinAsinBa24在 ABC 中， ab c 1 5 6，則 sinAsinB sinC 等于 ()A 1 56B651C6 1 5D不確定解析：選 A. 由正弦定理知 sinA sinBsinC a bc 1 56.5在 ABC 中， a，b， c 分別是角 A，B， C 所對(duì)的邊，若A 105 °， B45°， b 2，則 c ()11A 1B.2C 2D. 4bc2×sin 30 °解析：選 A. C 180° 105° 45° 30°，由 sinB

13、 sinC得 csin45° 1.cos A b，則 ABC 是 ()6在 ABC 中，若 cos BaA 等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D 等腰三角形或直角三角形解析：選 D. b sin B， cos Asin B，asin Acos Bsin AsinAcosA sinBcosB， sin2Asin2B即 2A 2B 或 2A2B ，即 AB，或AB .27已知 ABC 中， AB 3， AC 1， B30°，則 ABC 的面積為 ()33A. 2B. 43或 3D.3或 3C. 242解析：選 D. AB AC ，求出 sinC3， ABAC ，sinCsinB

14、2 C 有兩解，即 C 60°或 120°， A 90°或 30°.再由S 1AB·ACsinA 可求面積ABC28 ABC 的內(nèi)角 A、 B、C 的對(duì)邊分別為a、 b、 c.若 c2， b6， B 120 °，則 a 等于 ()A.6B 2C.3D.2解析：選 D.由正弦定理得62， sinC1.sin120°sinC2又 C 為銳角，則C 30°， A 30°， ABC 為等腰三角形， ac 2.9在 ABC 中，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為a、 b、 c，若 a 1， c3， C 3，則 A

15、_. _.解析：由正弦定理得：a c，所以 sinAa·sinC 1.sinAsinCc2又 a c， A C ， A.36答案： 610在 ABC 中，已知 a433， b 4， A30°，則 sinB _.解析：由正弦定理得a bsinAsinB14×? sinB bsinA2 3a432 .3答案：3211在 ABC 中，已知 A 30°， B 120 °，b 12，則 a c _.解析： C 180° 120° 30° 30°， a c，由ab得， a12×sin30°3，si

16、nAsin120 4sinB° a c 8 3.答案：8312在 ABC 中， a2bcosC，則 ABC 的形狀為 _解析：由正弦定理，得a 2R·sinA， b2R·sinB，代入式子a 2bcosC，得2RsinA2·2R·sinB·cosC，所以 sinA2sinB·cosC，即 sinB·cosCcosB·sinC 2sinB·cosC，化簡(jiǎn)，整理，得 sin(BC) 0. 0° B 180°， 0° C 180°， 180° B C

17、180°， B C0°，B C. 答案：等腰三角形a b c _，c _.13在 ABC 中， A 60°， a 6 3， b12， C=30 °則 sinA sinB sinCa bca6 312，又 S113，解析：由正弦定理得ABCbcsinA， ×12×sin60 ×°c 18sinA sinB sinCsinAsin60 °22 c 6.答案： 126a2b c14已知 ABC 中， A B C 12 3， a1，則 sin A 2sin B sin C解析：由 A B C 1 2 3 得， A

18、 30°， B 60°， C 90°， 2R a 1 2， sinA sin30 °又 a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C，a2b c 2RA 2sinBsin C 2R 2.sin A 2sin B sin Csin A 2sin B sin C答案： 215在 ABC 中，已知 a 3 2， cosC 1， S ABC 43，則 b _.3解析：依題意， sinC 22， S ABC1absinC 43，32解得 b 2 3.答案：2 316在 ABC 中， b43， C 30°，c2，則此三角形有 _組解解析： b

19、sinC 413× 2 3且 c 2，2 c<bsinC，此三角形無(wú)解答案： 017如圖所示， 貨輪在海上以 40 km/h 的速度沿著方位角( 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為 140°的方向航行，為了確定船位，船在B 點(diǎn)觀測(cè)燈塔A 的方位角為 110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C 點(diǎn)，觀測(cè)燈塔 A 的方位角是 65°，則貨輪到達(dá)C 點(diǎn)時(shí)，與燈塔A 的距離是多少？1，解：在 ABC 中， BC 40× 202 ABC140° 110° 30°， ACB(180 ° 140°) 6

20、5° 105°，所以 A 180° (30 °105°) 45°，由正弦定理得BC·sin ABCACsinA20sin30°2(km) sin45 10°即貨輪到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)，與燈塔A 的距離是 10 2 km.18在 ABC 中， a、b、c 分別為角 A、B、C 的對(duì)邊，若 a 23，sinCC12A，求 A、2cos，sin Bsin C cos242B 及 b、 c.CC11解：由 sincos，得 sinC ，2242又 C (0， )，所以5C或C6 .6由 sin Bsin Ccos2A2

21、，得1sin Bsin C21 cos(B C) ，即 2sin Bsin C 1 cos(BC)，即 2sin Bsin C cos(B C) 1，變形得cos Bcos C sin Bsin C1，5即 cos(BC) 1，所以 B C6， B C6 (舍去 )，2A (B C) 3 .由正弦定理a b c ，得sin Asin Bsin C1sin B 23×2 2.b casin A322故 A3，B6， bc 2.19 (2009 年高考四川卷 )在 ABC 中， A、 B 為銳角，角 A、 B、C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、 b、 c，且 cos 2A 3， sin B 105

22、10 .(1)求 A B 的值； (2) 若 a b 21，求 a，b， c 的值解： (1) A、 B 為銳角， sin B 1010，2 3 10 cos B 1sin B 10 .又 cos 2A 1 2sin2A35， sinA 55， cos A 25 5， cos(AB) cos Acos B sin Asin B253105102 5 ×10 5×102.又 0A B ， A B.432(2)由 (1) 知， C 4， sin C2 .由正弦定理：a bc得sin Asin Bsin C5a10b2c，即 a2b， c5b. a b 2 1， 2bb 2 1，

23、 b 1. a 2， c 5.20 ABC 中， ab603， sin B sin C， ABC 的面積為 153，求邊 b 的長(zhǎng)1absin C 得， 1513×sin C，解：由 S3 ×6022 sin C1， C 30°或 150°. 2又 sin Bsin C，故 B C.當(dāng) C 30°時(shí)， B 30°， A 120°.又 ab 603，a b ， b 2 15.sin Asin B當(dāng) C 150°時(shí)， B150°(舍去 )故邊 b 的長(zhǎng)為 215.余弦定理源網(wǎng)1，那么 AC 等于 ()1在 A

24、BC 中，如果 BC 6，AB4， cosB3A 6B 26C36D 46解析：選 A. 由余弦定理，得ACAB 2 BC2 2AB·BCcosB2214 62×4×6× 6.32在 ABC 中， a 2， b31， C 30°，則 c 等于 ()A.3B. 2C.5D 2解析：選B. 由余弦定理，得c2 a2 b2 2abcosC 22 ( 3 1)2 2×2×( 3 1)cos30 ° 2， c 2.3在 ABC 中， a2 b2 c23bc，則 A 等于 ()A 60°B 45°C120

25、°D 150 °解析：選 D.cos Ab2 c2 a2 3bc3，2bc2bc2 0° A 180°， A150°.4在 ABC 中，A、 B、 C 的對(duì)邊分別為a、b、c，若 (a2 c2 b2)tanB3ac，則 B 的值為 ()A. 6B.3 5 2C.或D. 或6633解析：選 D.由 (a2 c2 b2)tanB 3ac，聯(lián)想到余弦定理，代入得a2c2b2313 cosBcosB2ac2·2· .tanBsinB3 2顯然 B ， sinB或22 .B33 .5在 ABC 中， a、 b、 c 分別是 A、 B、

26、 C 的對(duì)邊，則 acosB bcosA 等于 ()A aB bCcD 以上均不對(duì)a2 c2 b2b2 c2a22c2解析：選C.a·2acb·2bc2c c.6如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為()A 銳角三角形B 直角三角形C鈍角三角形D 由增加的長(zhǎng)度決定解析：選 A. 設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，b， c 且 a2 b2 c2.設(shè)增加的長(zhǎng)度為m，則 cm am，c m b m，又 (a m)2 (b m)2 a2 b2 2(ab) m 2m2 c2 2cm m2 (cm)2，三角形各角均為銳角，即新三角形為銳角三角形7已知銳角三角形 ABC 中，

27、|AB| 4， |AC| 1， ABC 的面積為3，則 AB·AC的值為 ()A 2B 2C41D4解析：選 A. SABC 3|AB| ·|AC| sinA·21 2×4×1×sinA， sinA 23，又 ABC 為銳角三角形， cosA 1，2 1 AB·AC 4×1× 2.28在 ABC 中， b3， c 3， B 30°，則 a 為 ()A.3B2 3C.3或 23D 2解析：選C.在 ABC 中，由余弦定理得b2a2c22accosB，即 3 a2 9 33a， a2 3 3a 6

28、0，解得 a 3或 2 3.9已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角滿足2BA C，且 AB 1，BC4，則邊 BC 上的中線 AD 的長(zhǎng)為 _解析： 2BA C， A B C ， B.3在 ABD 中，ADAB2BD 2 2AB ·BDcosB11 4 2×1×2× 3.2答案：310 ABC 中， sinAsinB sinC (3 1) (3 1)10，求最大角的度數(shù)解： sinA sinB sinC(3 1) (3 1)10， a b c ( 3 1) ( 3 1) 10.設(shè) a ( 3 1)k， b ( 31)k，c 10k(k 0)， c 邊最長(zhǎng)，即角C 最

29、大由余弦定理，得cosCa2 b2 c22ab 1，2又 C (0 °， 180°)， C 120°.11已知 a、b、c 是 ABC 的三邊， S是 ABC 的面積，若 a 4，b 5，S 53，則邊 c 的值為 _解析： S 1absinC， sinC3， C 60°或 120°.221222 cosC ± ，又 c a b 2abcosC，2 c2 21 或 61， c21或 61.答案：21或6112在 ABC 中， sin A sin B sin C2 3 4，則 cos A cos B cos C _.解析：由正弦定理a

30、b c sin A sin Bsin C 2 34，設(shè) a2k( k0)，則 b 3k， c 4k，2222k2k2a c bk11，cos B2×2k×4k2ac16同理可得： cos A 7， cos C 1，84 cos A cos Bcos C 14 11 ( 4)答案： 14 11 ( 4)113在 ABC 中， a 32， cos C 3， S ABC 43，則 b _.解析： cos C 13， sin C2 3 2.1又 S ABC 2absinC 43，1 2 2即 2·b·3 2·3 4 3， b 2 3.答案：23 14已

31、知 ABC 的三邊長(zhǎng)分別為AB 7， BC 5， AC 6，則 AB·BC的值為 _222解析：在 ABC 中， cosBAB BC AC 49 25 362×7×5 19，35 AB·BC|AB| ·|BC| · cos(B) 7×5×(19)35 19.答案： 19a2 b2 c215已知 ABC 的三邊長(zhǎng)分別是a、b、 c，且面積 S，則角 C _.a2 b2 c2a2 b2 c2 ab4解析：1absinC S·242ab21 2abcosC， sinC cosC， tanC 1， C 45°.答案： 45°16(2011 年廣州調(diào)研 )三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角， 則最小角的余弦值為 _解析：設(shè)三邊長(zhǎng)為k 1，k， k 1(k2，k N) ，k2 k2 k2 0? 2 k4，則kk 1 k1 k 3，故三邊長(zhǎng)分別為2,3,4，32 42 227最小角的余弦值為 .2