桿件的內(nèi)力.截面法.

1、第二章桿件的內(nèi)力.截面法一、基本要求1 了解軸向拉伸與壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲的概念；2. 掌握用截面法計算基本變形桿件截面上的內(nèi)力;3. 熟練掌握基本變形桿件內(nèi)力圖的繪制方法。二、內(nèi)容提要1軸向拉伸和壓縮1）軸向拉伸或壓縮的概念受力特點：外力或合外力與軸線重合； 變形特點：桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長或縮短。計算簡圖為:圖2-12）軸力桿件截面上分布內(nèi)力系的合力的作用線與桿件軸線重合，稱為軸力。一般軸向拉壓時， 用Fn表示，單位為牛頓（N ）。軸力的正負號規(guī)定：拉為正，壓為負。3）軸力圖表示軸力沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。該圖一般以平行于桿件軸線的橫坐標(biāo) x軸表示橫 截面位置，縱軸表示對應(yīng)橫截面上軸力的大

2、小。正的軸力畫在 x軸上方，負的軸力畫在x軸 下方。2. 扭轉(zhuǎn)1）扭轉(zhuǎn)的概念受力特點：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶。 變形特點：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。軸： 以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸。'）計算簡圖為：2）外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計算。當(dāng)功率P單位為千瓦（kW），轉(zhuǎn)速為n （r/min ）時，外力偶矩為PM e =9549（N .m）n當(dāng)功率P單位為馬力（PS）,轉(zhuǎn)速為n （r/min）時，外力偶矩為PM e =7024-（N .m）n3）扭矩、扭矩圖當(dāng)外力偶矩已知，利用截

3、面法可求任一橫截面上的內(nèi)力偶矩一扭矩，用T表示。扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋法則，T矢量背離截面為正，指向截面為負（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負）。表示扭矩隨桿件軸線變化規(guī)律的圖線稱為扭矩圖。扭矩圖作法與軸力圖相似。正的扭矩 畫在X軸上方，負的扭矩畫在x軸下方。3. 彎曲內(nèi)力1）基本概念 彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主要變形的桿件稱為 梁。對稱彎曲：工程中最常見的梁，其橫截面一般至少有一根 對稱軸，因而整個桿件有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。若所有 外力都作用在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁彎曲變形后的軸線將是位-(E：圖2-

4、4于該平面內(nèi)的一條曲線，這種彎曲形式稱為 對稱彎曲。其力學(xué)模 型如圖2-3所示。2）梁的計算簡圖靜定梁：所有支座反力均可由靜力平衡方 程確定的梁。靜定梁的基本形式有 簡支梁、懸臂梁、外伸梁。計算簡圖分 別如圖2-4 （a）、（b）、（c）所示。3）剪力和彎矩稱為剪力,用Fs表示。 彎矩，用M剪力：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力，彎矩：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩，稱為 表示。剪力和彎矩的正負號規(guī)定：從梁中取出長為 dx的微段，若橫截面上的剪力使 dx微段有 左端向上而右端向下的相對錯動趨勢時，此剪力Fs規(guī)定為正，反之為負（或使梁產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動的剪力

5、規(guī)定為正，反之為負），如圖2-5 （a） （b）所示；若彎矩使dx微段的彎曲變形凸 向下時，截面上的彎矩 M規(guī)定為正，反之為負（或使梁下部受拉而上部受壓的彎矩為正，反”1口卜 ”1卜丫-竺I圖2-5之為負），如圖2-5（C）、（d）所示。根據(jù)內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系，若外力對截面形心取矩為順時針力矩，貝夠力在截面上產(chǎn) 生正的剪力，反之為負的剪力（順為正，逆為負）；固定截面，若外力或外力偶使梁產(chǎn)生上挑 。4)的變形，則該力或力偶在截面上產(chǎn)生正的彎矩，反之為負的彎矩(上挑為正，下壓為負) 剪力方程和彎矩方程一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則

6、橫截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函數(shù)，即二FS(x)M = M(X)上述函數(shù)表達式稱為梁的剪力方程和彎矩方程。5)剪力圖和彎矩圖為了直觀地表達剪力Fs和彎矩M沿梁軸線的變化規(guī)律，以平行于梁軸線的橫坐標(biāo) x表 示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)按適當(dāng)?shù)谋壤硎卷憫?yīng)橫截面上的剪力和彎矩，所繪出的圖形分 別稱為剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖的繪制方法有以下兩種：(1)剪力、彎矩方程法：即根據(jù)剪力方程和彎矩方程作圖。其步驟為：第一，求支座反力。第二，根據(jù)截荷情況分段列出 Fs(x)和M(x)。在集中力(包括支座反力)、集中力偶和分布載荷的起止點處，剪力方程和彎矩方程可能 發(fā)生變化，所以這些點均為剪力方程和彎矩

7、方程的分段點。第三，求控制截面內(nèi)力，作Fs、M圖。一般每段的兩個端點截面為控制截面。在有均布 載荷的段內(nèi)，F(xiàn)s=O的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其彎矩值。將控制截面的內(nèi)力 值標(biāo)在的相應(yīng) 位置處。分段點之間的圖形可根據(jù) 剪力方程和 彎矩方程繪出。并注明Fs、Mm ax的數(shù)值。max(2)微分關(guān)系法：即利用載荷集度、剪力與彎矩之間的關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖。載荷集度q (X)、剪力Fs (X)與彎矩M (X)之間的關(guān)系為：dFs(x)=q(x)dM7(x) dx2d2M(x) dFs(x)dx月2月=q(x)dxdx根據(jù)上述微分關(guān)系，由梁上載荷的變化即可推知剪力圖和彎矩圖的形狀。(a) 若某

8、段梁上無分布載荷，即q(x)=O,貝U該段梁的剪力Fs(x)為常量，剪力圖為平行 于X軸的直線；而彎矩M(x)為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。(b) 若某段梁上的分布載荷q(x)=q (常量)，則該段梁的剪力Fs(x)為x的一次函數(shù)，剪 力圖為斜直線；而M(X)為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。當(dāng)q0 ( q向上)時，彎矩圖為 向下凸的曲線；當(dāng)q<0 ( q向下)時，彎矩圖為向上凸的曲線。(C)若某截面的剪力Fs (x) =0，根據(jù)dM=0，該截面的彎矩為極值。dx利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系 直接繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎

9、矩方程，其步驟如下：第一，求支座反力(對懸臂梁，若從自由端畫起，可省去求支反力)；第二，分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； 第三，求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖;max 和 MmaxFsmax可能出現(xiàn)的地方：集中力F作用處；支座處。M max可能出現(xiàn)的地方：剪力Fs=0的截面；集中力F作用處；集中力偶M作用處。6）平面剛架和平面曲桿的彎曲內(nèi)力剛架：桿系結(jié)構(gòu)若在節(jié)點處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱為平面剛架：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。各桿連接處稱為剛節(jié)點。剛架變形時，剛節(jié)點處各桿軸線之間的夾角保持不變。靜定剛架：凡未知反力和內(nèi)力能由靜力學(xué)平衡條件確定的

10、剛架。平面剛架各桿的內(nèi)力，除了剪力和彎矩外，一般還有軸力。作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟 與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定：彎矩圖畫在各桿的受壓 一側(cè)，且不注明正、負號。剪力圖及軸力圖可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外 側(cè)），且必須注明正負號；剪力正負號的規(guī)定與梁相同，軸力仍以拉伸為正，壓縮為負。平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿。平面曲桿橫截面上的內(nèi)力情況及其內(nèi)力圖的繪制方 法，與剛架相類似。三、典型例題分析例2-1在圖2-6（a）中，沿桿件軸線作用F1、F2、F3、F4。已知：F1=6kN，F(xiàn)2=18kN，F(xiàn)3=8kN， F4=4kN。試求各段橫截面上的軸力，并作軸

11、力圖。解：1.AC段：（圖（b）。由送Fx計算各段軸力以截面1-1將桿分為兩段，取左段部分剛架。上J1C22aDa.12門121牛,CD段: （圖（C）。由送Fx=0得Fnj =F1 =6kN以截面2-2將桿分為兩段，取左段部分（拉力）=0得 Fn2 =F1 -F2 = -12kN （壓力）Fn2的方向與圖中所示方向相反。DB段：以截面3-3將桿分為兩段，取右段部分 （圖（d）。由W Fx = 0得Fn3 = -F4 = -4kN （壓力）Fn3的方向與圖中所示方向相反。2.繪軸力圖2C1圖2-6以橫坐標(biāo)X表示橫截面位置，縱軸表示對應(yīng)橫截面上的軸力 力圖（圖（e）。在軸力圖中正的軸力（拉力）畫

12、在 X軸上側(cè), 側(cè)。Fn，選取適當(dāng)比例，繪出軸負的軸力（壓力）畫在 x軸下例2-2 傳動軸在圖2-7 （a）所示。主動輪A輸入功率為輸出功率分別為Pb= Pc= 11kW，Pd= 14kW，軸的轉(zhuǎn)速為n = 300r/min。試作軸的扭矩圖。 解：1.計算各輪上的外力偶矩Pa= 36kW，從動輪 B、C、DM a =9549 =1146 N -mnMb = Mc =9549 里=350 N gnM d =9549 生= 446 N、mn2.計算各段扭矩BC段：以截面I I將軸分為兩段，取左段部 分（圖（b）。由平衡方程+ M B =0圖2-7T = -M b = -350N m負號說明T1所假

13、定的方向與實際扭矩相反 同理，在CA段內(nèi)，丁2 + Mc+Mb=0T2 = M c M b = 700 N'm在AD段內(nèi),T3 -Md =0T3 = Md =446N m3.以橫坐標(biāo)X表示橫截面位置，縱軸表示對應(yīng)橫截面上的扭矩大小，選取適當(dāng)比例，繪 出扭矩圖。正的扭矩畫在X軸上側(cè)，負的扭矩畫在X軸下側(cè)。例2-3彎矩圖。解:圖示簡支梁受集中力F作用，試利用剪力方程 和彎矩方程繪出該梁的剪力圖和1.求支反力。Ma(F) =0,得Fb= ,Fb2.列剪力、彎矩方程 在AC段內(nèi)，F(xiàn)aFa -lFs(x)=Fa和0<X<a)1£21IIIHIIIII1i圖2-8M(X)=

14、Fa x =Fbx,(O<x<a)在BC段內(nèi)FsM = -FbFa-X )=F(l -X )(a <x <丨氏求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。 CB段內(nèi)，剪力方程均為常數(shù)，因此兩段剪力圖均為平行于x軸的直線。M(x) =Fb(IFs圖：在AC、在集中力F作用處,Fsc左 =-旱，F(xiàn)sc右=牛，左、右兩側(cè)截面的剪力值發(fā)生突變，突變量=Fb _(_Fa；llM圖：在AC、CB段內(nèi)，彎矩方程M(x)均是x的一次函數(shù)，因此兩段彎矩圖均為斜直線。求出控制截面彎矩M A = M B分別連成直線，即得該梁的彎矩圖。顯然在集中力 但在該截面處彎矩圖斜率發(fā)生突變，因此在集中力=O, M

15、 =-Fab，標(biāo)在M - x坐標(biāo)系中，并F作用處左、右兩側(cè)截面上彎矩值不變，f作用處彎矩圖上為折角點。例2-4 受均布載荷作用的簡支梁，如圖2-9所示，試作 梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力FAy = FBy =ql/22.列剪力、彎矩方程C IFs(x) =FAy -qx -qx,(0 CX cl )ql/b7 qi/2丨 2M(X)= FAy，x -qx 匕=2，x,(O < X 蘭 l )2 2 2ql2 /83.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。Fs(O)=-,Fs(l2 2M(O) = O,M (I )=0,M 化=也 l2丿88圖2-9單M2在某一段上作用分布載荷，剪力圖

16、為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。且在Fs=O處彎矩 M取得極值。F Smaxmax例2-5 如圖2-10所示簡支梁，在C點處受矩為Me的集中力偶作用，試作梁的剪力圖 和彎矩圖。解：1.求支反力變。由平衡方程s Mb(F) =0和s Ma(F) =0得2.列剪力、在AC段內(nèi)在BC段內(nèi)Fa = Fb彎矩方程Me1FS1(X FAyM 1(X)= FAyFs2(X)=FBy牛,(0cx<a)=-j-0, (a 蘭xcl )M2(x) =3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。, M eFs(0 )= FsQ )= -yMeaM (0)=M (l ) = 0, M 左= I在集中力偶作用處，彎矩圖上

17、發(fā)生突變，突變值為C：-F滬詠圖 2-10FBy(l -x)=m(l x)(a ex <l )Meb，M 右=IM ebMea=Me，而剪力圖無改例2-6如圖2-11所示簡支梁。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力。由平衡方程送M b(F) = 0和送M a(F)=0求得FA=|ql，F(xiàn)B=8qlM川川.L丄cl2T,3 .I r. 18w q2.列剪力、彎矩方程AC段：Till, QCB段:Fs(x)M (x)Fs(x)M (x)3=Fa -qx = -ql -qx8= FAX-qx2 Jqlx2 8(0<X£1-qx21l二Fb x)匚q

18、l(lX)q 蘭X 蘭"3l |丨|丨卜|門mE8ql9 ,2乩 qlailil"詡2圖 2-113.求控制截面內(nèi)力，繪Q、M圖Fs圖：AC段內(nèi)，剪力方程Fs(x)是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，求出兩個端截面的31剪力值，F(xiàn)sa =3ql，F(xiàn)sc = -ql，標(biāo)在Fs - X坐標(biāo)系中，連接兩點即得該段的剪力圖。CBAB88段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值，連一水平線即為該段剪力圖。梁的剪力圖如圖2-11(b)所示。M圖：AC段內(nèi)，彎矩方程M(x)是x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次曲線，求出兩個端截面1的彎矩，Ma =0，Me =丄412，分別標(biāo)在M -X坐標(biāo)系中。

19、在Fs =0處彎矩取得極值。令剪16339力方程Fs(x) =0，解得X = -1，求得M (-1) = ql2，標(biāo)在M -x坐標(biāo)系中。根據(jù)上面三點88128繪出該段的彎矩圖。CB段內(nèi)，彎矩方程M(x)是x的一次函數(shù)，分別求出兩個端點的彎矩， 標(biāo)在M -X坐標(biāo)系中，并連成直線。AB梁的M圖如圖2-11(c)所示。4 0.6m0.6m11.2mF=3kNq=10kN/m0.5m?kN4幾t m=3.6kN.m例2-7 梁的受力如圖2-12(a所示，試利用微分關(guān)系作梁的Fs、M圖。 解：1.求支反力。由平衡方程S M b(F) = 0和S M a(F) =0求得Fa =10kN，F(xiàn)b =5kND處

20、不連續(xù)，應(yīng)將梁分為三段繪2.分段確定曲線形狀 由于載荷在A、內(nèi)力圖。根據(jù)微分關(guān)系些5)，dM=Fs(x)，dxdx2.4kN.m41'd2M(x) dFs(x)= q(x)，在 CA 和 AD 段內(nèi)，q =0,wr"1.8kN.m圖 2-121.25kN.m +| I I .1.2kN.mdx2dx剪力圖為水平 線，彎矩圖為斜直線；DB段內(nèi)， q =常數(shù)，且為負值，剪力圖為斜直線，M圖為向上凸的拋物線。3.求控制截面的內(nèi)力值，繪Fs、M圖Fs圖：Fse右=-3kN，F(xiàn)sa右=7kN，據(jù)此可作出 CA和AD兩段Fs圖的水平線。Fsd右=7 kN，F(xiàn)sb左=-5kN，據(jù)此作出DB段Fs圖的斜直線。M圖：Me =0，Ma左=-1.8KN m，據(jù)此可以作出CA段彎矩圖的斜直線。A支座的約 束反力Fa只會使截面A左右兩側(cè)剪力發(fā)生突變，不改變兩側(cè)的彎矩值，故 Ma左=Ma右=Ma = T.8KN m，皿0左=2.4kN m，據(jù)此可作出 AD段彎矩圖的斜直線。D 處的集中力偶會使D截面左右兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變，故需求出 Md右=T.2KN”m，M 0 ； 由DB段的剪力圖知在E處Fs =0，該處彎矩為極值。根據(jù) BE段的平衡條件送Fy = 0，知 BE段的長度為0.5m,于是求得Me