平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)題型教案

1、平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)題型命題解讀圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題, 常以求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題 為主.這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第 (2)問或第(3)問 中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問題的能力要求較高，通常作為壓軸 題的形式出現(xiàn).熱點(diǎn)1圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位.一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查 “直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法.離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的另一重點(diǎn)，涉及a, b, c 三者之間的關(guān)系.另外

2、拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn).22卜例口 (2018太原模擬)如圖1,橢圓$+ b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P, Q兩點(diǎn)，且PQXPFi.圖1(1)若|PFi| = 2 + 42, |PF2| = 2 42,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;若|PFi|=|PQ|,求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義,2a=|PFi|十|PF2| = (2 +/)+(2爽) = 4,故 a = 2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF11PF2,因此 2c=|FiF2|=M|PFi|2 + |PF2|2=2+V2 2+ 2-V2 2 = 2V3.即 c= 43

3、,從而 b =寸a2- c2 = 1,x22故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+ y2= 1.(2)連接F1Q,如圖，由橢圓的定義知|PFi|十|PF2|=2a,|QFi|十|QF2|=2a,又 |PF1|=|PQ|=|PF2|十|QF2|=(2a|PF1|)+(2a|QF1|),可得 |QF1| = 4a 2|PF1|.又因?yàn)?PF1LPQ 且|PF1|=|PQ|, 所以 |QF1| = a/2|PF1|. 由可得|PF1| = (4 242)a, 從而 |PF2| = 2a |PF1|=(2.2-2)A.10分12分同時(shí)應(yīng)注意由 PF11PF2,知|PF1十|PF2|2=|F1F2|2, 即(4-

4、2 版)2a2 + (272 2)2a2 = 4c2, 可得(9 6也后2=，即$=96/2,因此 e= a= y9 6a/2= V6 V3.規(guī)律方法1.用定義法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是常用的方法,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.圓錐曲線的離心率刻畫曲線的扁平程度，只需明確a, b, c中任意兩量的關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為¥,它的一 個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2=4y的焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線y = x 1與拋物線相切于點(diǎn)A,求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切 的圓的方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：7917030

5、6】解(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上.22設(shè)橢圓的方程為|2 + b2= 1(a>b>0),因?yàn)閽佄锞€x2 = 4y的焦點(diǎn)為(0,1),所以b=1.2分由離心率 e=c=乎，a2=b2+c2=1 + c2,a 2從而得a=也,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，y2=1.5分2x =4y,x=2,由解得所以點(diǎn)A(2,1).8分y=x1,y=1,因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y=1,所以圓白半徑r=1 (1)=2,所以圓的方程為(x-2)2+(y1)2 = 4.12分熱點(diǎn)2圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐

6、標(biāo)等的定值問題.角度1圓錐曲線的定值問題卜例 Bl (2017全國(guó)卷田)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+mx 2與x軸交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACLBC的情況？說明理由；(2)證明過A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79170307】解(1)不能出現(xiàn)ACLBC的情況.理由如下：設(shè) A(x1,0), B(x2,0),則 x1, x2滿足 x2+mx 2=0,所以x1x2= 2.2分又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),-1 1故AC的斜率與BC的斜率之積為 -x x2所以不能出現(xiàn)ACLBC的情況.(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)

7、為x25,1 一，一一、12 ,可得BC的中垂線方程為y-2x2=x2 x 2 .由（1）可得 x1 + x2= -m,所以AB的中垂線方程為x二m 萬.mx 2，聯(lián)立 d1 x2y2 = x2 x-萬又 x2+mx2 2 = 0,可得=2,1V2所以過A, B, C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為m2'm2 + 92.10 分故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2pr2 m 2 = 3,12分即過A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值規(guī)律方法1.求定值問題的常用方法:(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2 .定值問題就

8、是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類問題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.角度2圓錐曲線中的定點(diǎn)問題卜例2-2設(shè)橢圓E:全+看=1(a>b>0)的離心率為e=坐，且過點(diǎn)一1,一卷.2mt求橢圓E的方程;(2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A,若直線l: x- my1 = 0與橢圓E相交于不同的兩 點(diǎn)M, N(M, N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點(diǎn) A,試判定直線l 是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).=2,可得 a2 = 2b2,2 c a2b2解(1)由 e=-a22橢圓方程為云+ b2= 1,代入點(diǎn)一1,乎可得b2

9、= 2, a2=4,4txi + x2 = m(yi + y2)+ 2t = 2xix2 = (myi + t)(my2 +1)22m yiy2+ tm(yi + y2)+1 =2t24m2m2 + 25分=0.10分O2-,因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A,所以AMXAN,所以AMAN=(xi + 2, yi)(x2 + 2, y2)=xix2 + 2(xi + x2) + 4+ yiy22t24m24tt2 4m2 + 2 +2><m2+2+4+ m2+23t2+8t + 4 t + 2 3t+ 2 m2+ 2m2+ 2 因?yàn)镸, N與A均不重合，所以tw2,所以t= 2,直線l的方

10、程是x= my-2,直線l過定點(diǎn)T 3，0 , 33由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于 0,規(guī)律方法1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組， 以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn).2.從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.熱點(diǎn)3圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在 最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題.X21 一卜例已知橢圓,+ y = 1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A, B關(guān)于直線y= mx+萬對(duì)稱.求實(shí)

11、數(shù)m的取值范圍；(2)求4AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).解(1)由題意知mw0, 1可設(shè)直線AB的方程為y= -mx+ B.22= 1,消去y,得|+y 由y=mx+b，1 , 12 2b 1, 八2+m2x-mx+ b1"1x2因?yàn)橹本€y= mx+b與橢圓2+y2=1有兩個(gè)不同的父點(diǎn)，所以 A= -2b2 + 22mbm2b1m2+ 2將線段AB中點(diǎn)M療+2' m?+2代入直線方程y= mx+ 5,解得b= 2m2 .由得m<夸或m>g.故m的取值范圍是一oo,&U 亞+oo33，.62OUO6 .2-1- m-AL令173-2+22t+42t-且

12、O到直線AB的距離為d =設(shè)AOB的面積為S(t),11 ，,2 1 22所以 S(t) = 2|AB| d=2J-2 t2-2 2 + 2<-,c 1當(dāng)且僅當(dāng)t2=2,即m=±72時(shí)，等號(hào)成立.12分一 一2故zAOB面積的取大值為2 .規(guī)律方法 范圍(最值)問題的主要求解方法:(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖 形性質(zhì)來解決.(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求 解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知橢圓C:9+色=1由金>0)的焦距為4,且過點(diǎn)(/，

13、-2). a b(1)求橢圓C的方程； . . . 一一(2)過橢圓焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別父于點(diǎn)E, F,求OE OF的取值范圍.22解由橢圓C：，+ b2=1(a>b>0)的焦距為4.得曲線C的焦點(diǎn)F© 2), F2(0,2).又點(diǎn)（色，一2）在橢圓C上,2a = aJ2+0 + 2+ 2 + 2 2 = 4也，所以a=2，b = 2,日，、1 y2 x2八即橢圓C的方程是8+=1.5分若直線l垂直于x軸，則點(diǎn) E(0,2a/2), F(0, -2® OEOF= 8.若直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y= kx+2,點(diǎn)E(xi, yi), F(x2, y2)

14、,將直線l的方程代入橢圓C的方程得到：(2+k2)x2+4kx 4 = 0,4k 4則 xi + x2=2, xix2=2,8 分2+k22+k2所以 OE OF = xix2+ yiy22=(i + k )xix2 + 2k(xi + x2) + 4- 4- 4k2+k2-8k+ ：2+k3+4=°-8.22+k2io分因?yàn)閛<上0 2+k2i0,所以8<OE OF<2.綜上可知，OE OF的取值范圍是（8,2.i2分熱點(diǎn)4圓錐曲線中的探索性問題（答題模板）圓錐曲線中的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（i）探索點(diǎn)是否存在；（2） 探索曲線是否存在；（3）探索命題

15、是否成立.涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.x .,例(本小題酒分12分)(2015全國(guó)卷I )在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:y=4與直線l: y=kx+ a(a> 0)交于M , N兩點(diǎn).當(dāng)k= 0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/ OPM = /OPN?說明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79170308】規(guī)范解答(1)由題設(shè)可得 M(2«, a), N(2瓜，a),或 M(2«,a), Nig,a).1 分x -x2.又y =2,故y=4在x=27a處的導(dǎo)數(shù)值為c在點(diǎn)(2相，a)處的切線萬程為 y a =

16、 ,(x2聲)，即gx ya = 0.3 分2y=、在x= 25處的導(dǎo)數(shù)值為Va, C在點(diǎn)(2朋，a)處的切線方程為y-a=g(x+2g),即gx+ y+a = 0.5 分故所求切線方程為Vax ya=0或,x+ y+a=0.6分(2)存在符合題意的點(diǎn).證明如下：設(shè)P(0, b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2, y2),直線PM, PN的斜率分別為 k1，k2.將y=kx+ a代入C的方程，得x2-4kx-4a=0.故 x1 + x2 = 4k, x1x2= 4A.y1 b y2 b從而 k1 + k2=+x1x22kx1x2+ a b x + x2ka+b10分=.x1x2a當(dāng)b

17、= a時(shí)，有k1 + k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),12分故/OPM = /OPN,所以點(diǎn)P(0, a)符合題意.2答題模板第一步：分別求出曲線y=4在M點(diǎn)，N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).第二步：利用點(diǎn)斜式分別寫出在M點(diǎn)、N點(diǎn)的切線方程.一 x , x2第三步：聯(lián)立直線丫=卜乂+ a與拋物線y=z，并寫出根與系數(shù)的關(guān)系式.第四步：由kPM+kPN=0,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，探索點(diǎn) P的坐標(biāo).第五步：檢驗(yàn)反思，查關(guān)鍵點(diǎn)，規(guī)范步驟.溫馨提示1.(1)在第(2)問中，不能把條件/ OPM = /OPN適當(dāng)轉(zhuǎn)化為ki+k2=0,找不到解題的思路和方法，而不能得分.(2)運(yùn)算能力差或運(yùn)算不細(xì)心，導(dǎo)

18、致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤而扣分或者不得分.2.數(shù)學(xué)閱卷時(shí)，主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)，有則得分，無則扣分，所以解題 時(shí)要寫全關(guān)鍵步驟.(1)本題的關(guān)鍵點(diǎn)一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，二是把條件中轉(zhuǎn)化為只需直線PM , PN的斜率之和為0.(2)解析幾何對(duì)運(yùn)算能力要求較高，解題時(shí)一定要細(xì)心準(zhǔn)確，否則可能是思路正確，但是運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不得分.222對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖3,橢圓E: |2 + (=1g20)的離心率是3點(diǎn)P(0,1)在短，. ， 軸 CD 上，且 PC PD = 1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù) 小 使得OA OB+疝A pB為定值？若存在，求 入的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖3解(1)由已知，點(diǎn)C, D的坐標(biāo)分別為(0, b), (0, b).又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且PCPD = 1,1 b2= 1,于是C_ 二a 2，a2b2 = c2,解得 a=2, b=>/2.22所以橢圓E的方程為»1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y= kx+ 1, A,別為(x1, y1)，(x2, y2).22x y ,7 + 2 = 1， 聯(lián)立4 2y=kx+ 1,得(2k2+1)x2+4kx 2=0.4分5分B的坐標(biāo)分8分其判別式 A= (4k)2 + 8