小學(xué)奧數(shù)奇妙的一筆畫題庫教師版?zhèn)湔n講稿

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除奇妙的一筆畫例題精講所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù)從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個問題的方法什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲我們把一個圖形中與偶數(shù)條線相連接的點叫做偶點相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點叫做奇點一筆畫問題：( 1) 能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；( 2) 凡是只由偶點組成的連通圖形一定可以一筆畫出畫時可以由任一偶點作為起點最后仍回到這點；( 3) 凡是只有兩個奇點的

2、連通圖形一定可以一筆畫出畫時必須以一個奇點作為起點，以另一個奇點為終點；( 4) 奇點個數(shù)超過兩個的圖形，一定不能一筆畫多筆畫問題：我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點個數(shù)的一半事實上，對于任意的連通圖來說，如果有2n 個奇點 ( n 為自然數(shù) ) ，那么這個圖一定可以用n 筆畫成【例 1】 我們把一個圖形上與偶數(shù)條線相連的點叫做偶點，與奇數(shù)條線相連的點叫做奇點下圖中，哪些點是偶點？哪些點是奇點？【解析】奇點：JDHF偶點：AEBCGI【例 2】 判斷下列圖a、圖 b、圖 c 能否一筆畫NMAFAADBEOBGEFBCKLCD圖 bCD圖 a圖 cword 可編輯資

3、料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】 圖 a 能，因為有2 個奇點，圖 b 不能，因為圖形不是連通的，圖 c 能，因為因為圖中全是奇點【例 3】 下面圖形能不能一筆畫成？若果能，應(yīng)該怎樣畫？【解析】 圖 1 能 因為圖中全是偶點，圖 2 能 因為圖中全是偶點，圖 3 不能因為有 4 個奇點【例 4】 下面的圖形，哪些能一筆畫出？哪些不能一筆畫出？【解析】 第 1 個能， 2、 3 不能【例 5】 下圖中不能一筆畫成，請你在下圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖【解析】 不能一筆畫出，因為圖中有E H G F 四個奇點，連結(jié)EH 就可以使圖形一筆畫出【例 6】 下圖中的

4、線段表示小路，請你仔細觀察， 認真思考， 能夠不重復(fù)的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？【解析】 要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個奇點，所以應(yīng)該從奇點出發(fā)才能一筆畫出圖形，所以甲螞蟻能夠【例 7】 能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個正方形和兩個三角形？【解析】 可以word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【例 8】 下圖是兒童樂園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？【解析】要想不重復(fù)，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個奇點，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個奇點出，即 F和I點【例 9】 郵遞員叔叔向11 個地點送信一次信，不

5、走重復(fù)路，怎樣走最合適？【解析】 不走重復(fù)路，一筆能畫出路線圖，圖中有2 個奇點，應(yīng)該從奇點處出發(fā)，下面有一種參考路線：4- 1- 2- 5- 8- 9- 6- 10- 11- 7- 4-3【例 10】觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成？【解析】 圖 ( 1) 有 8 個奇點，所以要4 筆畫出，圖 ( 2) 有 12 個奇點，所以要一筆畫出，圖 ( 3) 能一筆畫出【例 11】 判斷下列圖形能否一筆畫若能，請給出一種畫法；若不能，請加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形HAAGGHBBIFAIJFEFGHBKLECCDECDD圖 a圖 b圖 c【解析】 圖 ( 1) 不能一筆畫出，因為圖中有

6、4 個奇點，連結(jié)BD ，或者去掉 BF 都可以使圖形能一筆畫出圖 ( 2) 不能一筆畫出，因為圖中有 4 個奇點，去掉 KL ，或者 BK 都可以使圖形能一筆畫出圖 ( 3) 不能一筆畫出，因為圖中有 4 個奇點，去掉 AB 可以使圖形能一筆畫出word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除一個 K ( K 1) 筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K 筆畫有2K 個奇點，如果在任意兩個奇點之間添加一條連線，那么這兩個奇點同時變成了偶點如左下圖中的B， C 兩個奇點在右下圖中都變成了偶點所以只要在K 筆畫的 2K 個奇點間添加( K- 1) 筆就可以使奇點數(shù)目減少為2 個，

7、從而變成一筆畫【例 12】18 世紀的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島A 和一座半島D，人們在這里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個小島連接起來 ( 如圖 a) 如果游人要一次走過這七座橋，而且對每座橋只許走一次，問如何走才能成功？【解析】 歐拉解決這個問題的方法非常巧妙他認為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線這樣，一個實際問題就轉(zhuǎn)化為一個幾何圖形( 如下圖 ) 能否一筆畫出的問題了而圖B 中有 4 個奇

8、點顯然不能一筆畫出【鞏固】如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個島，有七座橋連接這兩個島及河岸問：一個散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？【解析】 能【例 13】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有的門，并且從入口進，從出口出？word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】 將圖形中的6 個區(qū)域看成6 個點，每個門看成連結(jié)他們的線段，顯然6 個點都是偶點，所以有人能一次不重復(fù)的走過所有的門【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由如果能，應(yīng)從

9、哪開始走？EABDC【解析】 不能【例 14】 一條小蟲沿長 6 分米，寬 4 分米，高 5 分米的長方體的棱爬行如果它只能進不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？【解析】 8 個定點都是奇點，所以至少需要4 筆多畫長和高能保證總路程最長，為A B G H AD C F ED總長為 6×4 5×4 4×1 48 分米【鞏固】一只木箱的長、寬、高分別為 5，4， 3 厘米 ( 見右圖 ) ，有一只甲蟲從 A 點出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復(fù)，則甲蟲回到 A 點時，最多能爬行多少厘米？【解析】 最多 34 厘米【例 15】【例 16】如圖是某餐廳的

10、平面圖，共有五個小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設(shè)有入口請問你能否從入口進入一次不重復(fù)地穿過所有的門如果可以，請指明穿行路線，如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個門就可以辦到？word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】【解析】 可以將圖中的五個小廳以及廳外的部分都抽象成點，為方便解題，給它們分別編號這時，連通廳與廳之間的門就相當(dāng)于各點之間的連線于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個連通的圖形，求穿形路線的問題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問題在抽象出的圖形中，我們可以找到四個奇點，即、和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進入不可能一次不重復(fù)的穿過所有的門但根據(jù)一筆畫問題的知識，只要關(guān)閉門，把、變?yōu)?/p>

11、偶點，就可以辦到，可行路線如下圖：B【例 17】【例 18】【例 19】【例 21】 在 3× 3的方陣中每個小正方形的邊長都是 100 米小明沿線段從 A點到 B 點，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【解析】【解析】【解析】 這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解首先，圖中有8 個奇點，在 8個奇點之間至少要去掉4 條線段，才能使這 8 個奇點變成偶點； 其次，從 A點出發(fā)到 B 點， A， B 兩點必須是奇點，現(xiàn)在 A， B 都是偶點，必須在與 A，B 連接的線段中各去掉 1 條線段，使 A，B 成為奇點所以至少要去掉 6 條線段，也就是最多能走 1800 米，走法如圖【例 22】【例 23】【例 24】【例 25】【例 26】 一個郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)， 要走遍各街道，最后回到郵局怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？【解析】【解析】【解析】