定積分的換元法

1、定積分的換元法重點：熟練運用換元積分法難點：靈活運用換元法定理假設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，函數(shù)x=e(t)滿足條件:(1) (d) =a, ( ') =b;a,b(2)' (t)在:(或一 ：)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值不越出bP I- 1則有 f(x)dx 二 f(t)(t)dta?例 1 計算；a2 _ x2 dx ( a>0)解軍：設(shè) x 二asint 貝U dx 二 acosdt 且TtX"時； X2匕故2 a2o2 (1 cos2t )dt芻 t fsin2tji2換元公式也可以反過來使用，即af(x*(x)dx 二,.f(t)dt例2 計算；cos5

2、 xsin xdx5 0 5解：設(shè) t = cosx，貝U - o2cos5 xd cosxt5dt例3 計算解:1 5=0t5dt=；t6To . sin3x-sin5 xdx3 x - sin5 xdx3sinx 2 < cos2 xdx03二9-(sin x)2 cosxdx-3(sin x p|cosxdx衛(wèi)3=2 sin x 2 cosxdx - 03sin x 2dsin x -3-(sinx)2d2sin x4 x +2 例4計算o.»idx解:設(shè) .2x1，則 x 二t2x = 0 時 t = 1 ； x = 4寸 t = 3dx =t2 -12t2tdt31

3、(t2 +3dt例5 證明(1) 若f(x)在a,b上連續(xù)且為偶函數(shù)，則aa二 f(x)dx = 2 0 f(x)dx(2)(2)若f (x)在a,b上連續(xù)且為奇函數(shù)，則aL f (x)dx=0a0a證明： y f (x)dx= - f (x)dx+ o f (x)dx0a=- a f ( -X)dx + .0 f (x)dxaa=0 f (-x)dx + 0 f(x)dxa=0 f(x) f(-x)dx(1) f (x)為偶函數(shù)時，f (x) + f (-x) =2 f (x)aa故 y f (x)dx =2 o f (x)dx(2) f(x)為奇函數(shù)時，f(x)+f(_x)=Oa故f (x

4、)dx=0例6 若f(x)在0 , 1上連續(xù)，證明TtJI(1) 02 f (sinx)dx 二 02 f (cosx)dx ；(2)° xf (sin x) dx =ji ji2 of (sin x)dx，由此計算二 xsinx0 1 cos2xdx證明：(1)設(shè) x t,則dx - -dt2且當(dāng)x"時，；當(dāng)時"0故。片伽工叫-1dt0二 f cost dt20二 f cost dx2.nxf (sin x)dx =0(2)設(shè) X =二-t，0(-1) f sin(二 t)d(t) jt0 0二f (sin t)dt - tf (sin t)dt jiJI .JT利用此公式可得:(si nt)dx=f (si nt)dt: xsinx ,: : sinx ,dx= dx2 ® 1 + cos2x12x1 cosJI JI '2x d cosx1 cos2xbrctg (cosx) 0xe , x 蘭 0設(shè)函數(shù)f (x) = <11cxc0J + COSX4計算彳f(x