數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1、第六章數(shù) 列6.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法考點(diǎn)梳理1.數(shù)列的概念(1) 定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的_數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第_ 1 項(xiàng)(通 常也叫做_ )，排在第 n 位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第_n 項(xiàng)所以，數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成_ ，其中 an是數(shù)列的第 n 項(xiàng)，叫做數(shù)列的通項(xiàng)常把一般形式的數(shù)列簡(jiǎn)記作(2) 通項(xiàng)公式：如果數(shù)列 an的_ 與序號(hào)_ 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3) 從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N N*(或它的有限子集1 , 2,3,，

2、n)的函數(shù)(離散的)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列 _數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1 項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)_ 與它的前一項(xiàng) _(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(5)數(shù)列的表示方法有 _、_ 、_ 、_ .2 數(shù)列的分類(1) 數(shù)列按項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限來(lái)分，分為 _ 、_ .(2) 按項(xiàng)的增減規(guī)律分為 _、_ 、_ 和_ .遞增數(shù)列？an+1_an；遞減數(shù)列？an+1_an；常數(shù)列？an+1_an.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為_(kāi)3 數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn與 an的關(guān)系.(n = 1) _,已知 Sn,貝 V

3、an=* / c、_ (n2) _.自查自糾：1 (1)項(xiàng)首項(xiàng) a1,a2,a3，an,(2)第 n 項(xiàng) n (3)函數(shù)值(4)anan-1(5)通項(xiàng)公式法(解析式法)列表法圖象法遞推公式法2 (1)有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列(2)遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列 v= 單調(diào)數(shù)列3 S1Sn Sn-1典型例題講練類型一數(shù)列的通項(xiàng)公式例題 1 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:一 1，7, 13, 19,;246810(2)3 15 35 63 99(4)5, 55, 555, 5 555,解：(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式正負(fù)性可用(1)n調(diào)節(jié)，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總

4、比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(1)n(6 n 5).(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1X3, 3X5, 5X7, 7x9, 9x11 ,，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=_2n_(2n 1)( 2n+ 1).(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即1 4 9 16 25n21 4, 2, 2,25，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=555將原數(shù)列改寫(xiě)為 9x9, 9x99, 9X999,，易知數(shù)列 9, 99, 999,的通項(xiàng)為 10nvJvJvJ51，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an= 5(10

5、n 1).變式 1 寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:1111(1)1 ,2， 3,4， . .(2)3, 5,9, 17,33 ,-;21,1017263,7， 9， (4)1, 2,2, 4, 3 , 8 ,4, 16,1解: (1)an= ( 1)n；;(2) an= 2n+ 1;5(3)由于一 1 = 5，故分母為 3, 5,乙26,，即n2+ 1 符號(hào)看作各項(xiàng)依次乘觀察數(shù)列an可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，/.an=n + 1(n 為奇數(shù))，22(n 為偶數(shù)).n,11)+n2+ 12n+ 19, 11,，即2n+ 1，分子為 2, 5, 10, 17,1, 1, 1, 1,，

6、即( 1)n+1，故 an=(3類型二由前 n 項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式例題 2 (1)若數(shù)列a*的前 n 項(xiàng)和 Sn= n2 10n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為a*=若數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn=2n+ 1,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=_解： 當(dāng) n= 1 時(shí)，ai= Si= 1 10 = 9;當(dāng) n 2 時(shí)，2 2an= Sn Sn1=n 10n (n 1) 10(n 1) = 2n 11.當(dāng) n = 1 時(shí)，2X1 11 = 9= a1. /an= 2n 11.故填 2n2n 11.11.當(dāng) n = 1 時(shí)，a1= S1= 21+ 1 = 3;當(dāng) n 2 時(shí)，an= Sn- Sn1= (2“ + 1

7、) - (2“-勺 + 1)n n 1 n 1=2 2= 2.3 (n= 1), 綜上有an= 2n-1(n 2)3 3 ( n n = 1 1)變式 2 已知下列數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn,分別求它們的通項(xiàng)公式an.(1) Sn= 2n2 3n; (2)Sn= 3n+ b.解：(1)a= S1= 2 3 = 1，當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn Sn1= (2n 3n) 2(n 1) 3(n 1) =4n 5,a1也適合此等式，an= 4n 5.(2) a1= S1= 3 + b,當(dāng)n2時(shí)，an= SnSn1=(3n+ b) (3n1+ b)= 2 3n1.當(dāng) b = 1 時(shí)，a1適合此等式.當(dāng)

8、 b 1 時(shí)，a1不適合此等式.當(dāng) b= 1 時(shí)，an= 2 3n1;(3+ b, n = 1,當(dāng) b 工一 1 時(shí)，an= 12 3n, n2.類型三由遞推公式求通項(xiàng)公式例題 3 寫(xiě)出下面各數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)a1=2,an+1=an+n+1；(2)a1= 1，前 n 項(xiàng)和 Sn=n+ 2(3)ai=1,an+i= 3an+ 2.解：由題意得，當(dāng) n2 時(shí)，an an-1= n, an= a1+ (a2 a”+(a3 a2)+ + (an an1)(n- 1)( 2 + n)n (n+ 1)=2+ (2 + 3+ - + n) = 2+1x (i+1)又 a1= 2 =+ 1,適合上式

9、，n (n + 1)因此 an=2+ 1.(2)由題設(shè)知，ai= 1.n + 2 n+1當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn Sn1= 3 an 3 an1.ann+1an1n 1a45 a34 a?a33， a22， a1以上 n- 1 個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘,n (n+ 1)2an+1+ 1an+1= 3an+ 2,得 an+1+ 1 = 3(an+ 1)，即=3,a2+ 1a3+ 1a4+ 1an+1+ 1na1= 1, = 3 ,1 +1即 an+1= 2x3n 1(n 1),an= 2x3n1 1(n2),又 a1= 1 也適合上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an= 2X3n1 1.解法二

10、：(迭代法)an+1=3an+2,2將這些等式兩邊分別相乘得an+1+ 1n3n.a1+ 1+ 1.an=n+1an1n 1又 a1= 1,n (n+ 1)(3)解法(累乘法)an+1+ 13.an+13即 an+1+ 1 = 3(an+ 1) = 3 (an1+ 1) =33(an2+ 1)= = 3n(a1+ 1)= 2x3n( n1),3, =3, =3,a1+ 1a2+ 1a3+ 1 1,n + 111整理得一廠 10，解得 n2時(shí)，anan1=)=Rn，n 2 時(shí)，an= (an an1)+(an1an2)+ +(a2 a1)+ a1=曠 2 n 土F +g3)當(dāng) n = 1時(shí)，適a

11、n+1na21=2, 滬2,ananon1=2 ,an1將這 n 1 個(gè)等式疊乘，n(n1)得芋 21+2+(n1)=2,.an= 2n(n1)2n(n1)當(dāng) n = 1 時(shí)，適合.故 an= 22(3)由題意知 an+1+ 1 = 2(an+ 1)，數(shù)列 an+ 1是以 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列， an+1 = 2n,.an= 2n 1.類型四數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)例題 4 已知數(shù)列an，且 an= (n+ 1)11 是積幕形式的式子且an0，所以可用作商法比較an與 an1解：因?yàn)?an= (n + 1)的大小.解：令建1(n 2),an1(n+ 1)即(n N N ).求數(shù)列an的最大項(xiàng)

12、.10整理得 石，解得 n 9.n + 211方法規(guī)律總結(jié)1. 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)從以下幾方面考慮：(1) 如果符號(hào)正負(fù)相間，則符號(hào)可用(1)n或(1)n+1來(lái)調(diào)節(jié).(2) 分式形式的數(shù)列，分子和分母分別找通項(xiàng)，并充分借助分子和分母的關(guān)系來(lái)解決.(3) 對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來(lái)解決.S1(n=1),2.an=注意 an= Sn Sn-1的條件是 n2，還須驗(yàn)證 印是否符合|SnSn-1(n2),an( n2)，是則合并，否則寫(xiě)成分段形式.3. 已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)掌握先由 a1和遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想an的方法，以及“累加法”

13、“累乘法”等.(1)已知 a1且 an a.1= f(n),可以用“累加法”得：an= a1+ f(2) + f(3) + + f(n 1) + f(n).已知 a1且玉=f(n),可以用“累乘法”得：an-1an=a1f(2) f(3)f(n1)f(n).注：以上兩式均要求f(n)易求和或積.4. 數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)單調(diào)性：若 an+1 an,則an為遞增數(shù)列；若 an+1 1,an+1(n+ 1)即(n + 2)(n11 / 1,從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增,從第 10 項(xiàng)起遞減.1。10故 a9= a10=不最大.變式 4 數(shù)列an的通項(xiàng)A. 3 .10an=2n cc， 則數(shù)歹 U n106

14、0+ 90an中的最大項(xiàng)是(解：易得=9 或 10 時(shí),1 B . 19 C.9 D.an=，運(yùn)用基本不等式得，vJJn+ A1 an= 19 最大.故選 C.C.dr2；。，由于ncN*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n n+ nA .第 16 項(xiàng)B .第 24 項(xiàng)C.第 26 項(xiàng)D .第 28 項(xiàng)解：觀察 ai= 1 = 1 , a2= 2 = 4 , a3=, 7 , a4= 10, a5=，13 ,，所以 an=3n 2令 an= 3n 2= 2 19= 76,得 n= 26.故選 C.C.D.D.3 .數(shù)列an滿足 an+1+ an= 2n 3,若 a1= 2，貝 V a4=()A. 7 B. 6 C.

15、 5 D. 4解：依題意得(an+2+ an+1) (an+1+ a*)= 2(n + 1) 3 (2n 3)，即 an+2 an= 2,.心8a4= (a8 a6)+ (a6 a4)= 2 + 2 = 4.故選 D.D.4.已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn= 2an 1，則滿足旦IIIw2 的正整數(shù) n 的集合為(n)A.1,2B.123,4C.1,2,3D.1,2,4解：BIII1解：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足 a1= 2, an+1an= an 1，an+1= 1 ,.a2=:, a3= an21, a4= 2,，可知數(shù)列的周期為 3,T2017= 3X672 + 1 ,.玄017=內(nèi)=2

16、.故選 C.C.7._ 已知數(shù)列an滿足 as -1= a$at(s, t N N ),且 a2= 2,貝 V a$=_ .解：令 s= t = 2，貝 U a4= a2Xa2= 4,令 s= 2,t= 4,貝 V a8= a2X4= a2Xa4= 8.故填 8.8.8.下列關(guān)于星星圖案的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=_.2數(shù)列an的前 n 項(xiàng)積為 n2,那么當(dāng) n2 時(shí)，a*=()2(n+ 1)2A . 2n 1 B . n2C.2 n解：設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)積為2nD.2(n 1)Tn,貝 y Tn= n2,當(dāng) n2 時(shí),Tnn2an=Tn(n 1)2故選5.在數(shù)列an中

17、,a1= 2,A.C.2+ Ign2 + n lg n解法:- a*+1 an= lgan+1= an+ lg 1+十，則 an的值為(B. 2 + (n 1)lg nD. 1 + nig nn+ 1n-an= (an an1)+ (an1 an2) + + (a2 a” + a1=lg + ig + lg1+2 n 1 n21解法二： an+1= an+ lg(n+ 1) Ign,an+1 lg(n + 1)= an Ign,所以數(shù)列an Ign是常數(shù)列，an lgn= a1 lg1 = 2, an= 2 + Ign.故選 A.A.6.若數(shù)列 an 滿足 a1= 2, a*+1an= a“一

18、 1，貝 V玄20仃的值為()1A. 1 B.2 C. 2 D. 3+刑止H14 5I2 2 . .9.- 若數(shù)列an滿足p= 0, n N N*, p 為非零常數(shù)，則稱數(shù)列a*為夢(mèng)想數(shù)列”.已a(bǔ)n+1an5知正項(xiàng)數(shù)列丁為夢(mèng)想數(shù)列”，且 b1b2b3bg9= 299,則 b$+ b?2的最小值是 _ .bn解：4依題意可得5+ 1= pbn,則數(shù)列bn為等比數(shù)列.又匕心匕彳?= 2 = b59，則匕50= 2.b8+ b922：Jb8b92= 2b50= 4，當(dāng)且僅當(dāng) b8= b92，即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào).10 .已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.(1)若 Sn= ( 1)n 1 n,求 a5+ a6及 an； 若 Sn= 3n+2n+1，求an.解：(1)a5+ a6= S S4= ( 6) ( 4) = 2,當(dāng) n = 1 時(shí)，a1= S1= 1 ；當(dāng) n 2 時(shí)，an= Sn Sn1= ( 1)+n ( 1)*( n 1)=(1)n+1n