求積分的幾種常規(guī)方法

1、合肥學(xué)院論文求積分的若干方法姓 名： 陳濤 學(xué) 號(hào)： 1506011005 學(xué) 院： 合肥學(xué)院 專 業(yè)： 機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化老 師： 左功武完成時(shí)間： 2015年12月29日 求積分的幾種常規(guī)方法陳濤摘要:數(shù)學(xué)分析中，不定積分是求導(dǎo)問(wèn)題的逆運(yùn)算，而且是聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的一條紐帶。為靈活運(yùn)用積分方法求不定積分，本文介紹了求積分的幾種重要方法和常用技巧，討論和分析了求積分的幾種方法：直接積分法，換元積分法，分部積分法以及有理函數(shù)積分的待定系數(shù)法，對(duì)于快速求不定積分有重要意義，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用積分方法求不定積分，才可以簡(jiǎn)捷，準(zhǔn)確。關(guān)鍵詞：定積分、不定積分、換元積分法、分部積分法、待定系數(shù)法 引言數(shù)學(xué)

2、分析是師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修專業(yè)課，微分和積分都是數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)，而不定積分是積分學(xué)的基礎(chǔ)，更是關(guān)鍵，直接關(guān)系到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。其任務(wù)是掌握邏輯思維方法和提高使用數(shù)學(xué)手段解決問(wèn)題的能力。一般地，求不定積分要比求導(dǎo)數(shù)難很多，運(yùn)用積分法則和積分公式只能解決一些簡(jiǎn)單的積分，更多的不定積分要因函數(shù)的不同形式和不同類型選用不同的方法，巧妙運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ梢曰y為易，從而簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確的求出不定積分。本文為解決求積分的困難問(wèn)題給出了相應(yīng)的解決方法，幫助理解不定積分。1 積分的概念設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分(i

3、ndefinite integral)。記作f(x)dx。其中叫做積分號(hào)(integral sign)，f(x)叫做被積函數(shù)(integrand)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。1.1 不定積分積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，那么F(x)+C（C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，也就是說(shuō)，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因?yàn)镕(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，C是任意的常數(shù)，所以f(x)積分的結(jié)果有無(wú)數(shù)個(gè)，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定

4、積分。用公式表示是:f'(x)=g(x)->g(x)dx=f(x)+c不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出的。例如：已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)f（x)，求一條曲線y=F（x），xI，使得它在每一點(diǎn)的切線斜率為F（x）= f（x）。函數(shù)f（x）的不定積分是f（x）的全體原函數(shù)（見(jiàn)原函數(shù)），記作 。如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。1.2 定積分相對(duì)于不定積分，還有定積分。所謂定積分，其形式為a:bf(x)dx 。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。微積分的最初發(fā)展中,定積分即黎曼積分。用自己的話來(lái)說(shuō)，就是把直角坐

5、標(biāo)系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線和x軸把其分割成無(wú)數(shù)個(gè)矩形，然后把某個(gè)區(qū)間a,b上的矩形的面積累加起來(lái)，所得到的就是這個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b的面積。實(shí)際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)a、b。而實(shí)變函數(shù)中,可以利用測(cè)度論將黎曼積分推廣到更加一般的情況,如勒貝格積分.用公式表示是： a,bf(x)dx=lim(n->)(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n定積分是以平面圖形的面積問(wèn)題引出的。y=f（x）為定義在a，b上的函數(shù)，為求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直代曲，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先

6、將a，b分成n等分：a=x0<x1<<xn=b，取ixi-1，xi，記xi=xixi-1，則pn為S的近似值，當(dāng)n+時(shí)，pn的極限應(yīng)可作為面積S。把這一類問(wèn)題的思想方法抽象出來(lái)，便得定積分的概念：對(duì)于定義在a，b上的函數(shù)y=f（x），作分劃a=x0<x1<<xn=b，若存在一個(gè)與分劃及ixi-1，xi的取法都無(wú)關(guān)的常數(shù)I，使得,其中則稱I為f（x）在a，b上的定積分，表為即 稱a，b為積分區(qū)間，f（x）為被積函數(shù)，a，b分別稱為積分的上限和下限。當(dāng)f（x）的原函數(shù)存在時(shí)，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求f（x）的不定積分：這是c牛頓萊布尼茲公式。1.3 定積分與不定積

7、分的聯(lián)系我們可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖象無(wú)限細(xì)分，再累加起來(lái)，而積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)。它們看起來(lái)沒(méi)有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢？定積分與積分看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個(gè)圖形無(wú)限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分。這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：若F'(x)=f(x)那么a:bf(x)dx =F(a)-F(b)但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個(gè)定值是沒(méi)意義的。雖然這種寫

8、法是可以的，但習(xí)慣上常把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：(x)=a:bf(t)dt牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說(shuō)一個(gè)定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。正這個(gè)理論揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見(jiàn)其在微積分學(xué)乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。1.4相關(guān)公式f(x)f(x)dxkkxxn1/(n+1)x（n+1）axax/lnasinx-cosxcosxsinxtanx-lncosxcotxlnsinxsecxln(secx+tanx)cscxln(cscx-cotx)(ax+b)n(ax+b)(n

9、+1)/a(n+1)1/(ax+b)1/a*ln(ax+b)2求積分的常見(jiàn)方法2.1求不定積分的方法2.1.1直接積分法 直接積分法就是利用積分公式和積分的基礎(chǔ)性質(zhì)求不定積分的方法。該方法是求不定積分的基本方法，是其它積分方法的基礎(chǔ)，熟練地掌握基本的公式，在記憶基本積分公式時(shí)，一定要把公式的兩邊一起記，這樣就清楚被積函數(shù)變形到怎樣的式子簡(jiǎn)便。 (1) 利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式變?yōu)槎囗?xiàng)式，從而變?yōu)槎鄠€(gè)單項(xiàng)式求積分；例1： (2) 利用代數(shù)公式或三角公式將積商形式的被積函數(shù)化為代數(shù)和的形式，并使每一項(xiàng)都符合積分公式；例2： (3) 對(duì)分式函數(shù)還可以根據(jù)分母的情況，將分子拆項(xiàng)或拼湊，化為幾個(gè)分式的代數(shù)

10、和后再約分，使其符合積分公式； 例3： (4) 對(duì)于含有絕對(duì)值的積分問(wèn)題，要求先處理絕對(duì)值再積分。由此可得，直接積分法使熟練掌握基本公式的基礎(chǔ)。但是，利用積分公式和性質(zhì)，只能求一些簡(jiǎn)單的積分，對(duì)于比較復(fù)雜的積分，需要設(shè)法把它變形為能利用基本積分公式的形式求解積分。2.1.2換元積分法所謂不定積分的換元法，其實(shí)質(zhì)就是：當(dāng)直接求某個(gè)積分有困難時(shí)， ，把原來(lái)的積分轉(zhuǎn)化為對(duì)新變量t的積分。那么，不定積分的換元法有（其逆運(yùn)算）導(dǎo)數(shù)的換元法（即復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法）而來(lái)，它是通過(guò)改變積分變量的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)不定積分問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。不定積分的換元法按照換元前后新舊積分變量的關(guān)系可分為：第一類換元積分法和第二類換元積分

11、法。2.1.3有理函數(shù)的不定積分及待定系數(shù)法 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析有理函數(shù)的不定積分不僅是微分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是不定積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：R(x)=.其中有理函數(shù)可以分解為多項(xiàng)式（即有理整式）與真分式之和，多項(xiàng)式易于求積分，而真分式可以化為部分分式的和求積分。在將真分式分解成部分分式的和時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以用觀察法進(jìn)行拆分；復(fù)雜的則要另尋他法。那么，有理函數(shù)的積分形如的積分，其中；m和n均為非負(fù)整數(shù)；都是實(shí)數(shù)，且.當(dāng)m<n時(shí)，R(x)為有理真分式，否則為有理假分式，因假分式可以化為一多項(xiàng)式與真分式之

12、和，所以只用掌握有理真分式的積分思想。 待定系數(shù)法在不定積分中的運(yùn)用那么，有理真分式的積分該如何求解呢？9 (1) 第一步：對(duì)分母Q（x）在實(shí)數(shù)解內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：，在多項(xiàng)式Q（x）中 均為自然數(shù)，而且的前s項(xiàng)的和與的前t項(xiàng)的和的二倍相加等于m；j=1，2，t.第二步：根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：對(duì)于每個(gè)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 對(duì)每個(gè)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 .把所有部分分式加起來(lái)，使之等于R（x）。第三步：確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母Q(x)，而其分子亦應(yīng)與原分子P(x)恒等。于是，按同冪項(xiàng)系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于

13、待定系數(shù)的線性方程，這組方程即為要確定的系數(shù)。 (2) 對(duì)于有理真分式，可以看成以下幾種情況： 當(dāng)分母Q(x)含有單因式x-a時(shí)，分解式中應(yīng)有一項(xiàng)，A為待定系數(shù)；當(dāng)分母Q(x)含有重因式時(shí)，部分分式中相應(yīng)有n個(gè)項(xiàng)，分母按的次數(shù)依次降低為一次，分子為待定系數(shù)； 當(dāng)分母Q(x)中含有質(zhì)因式時(shí)，部分分式中相應(yīng)的有一項(xiàng). 例15：求積分. 解：該被積函數(shù)為假分式，利用多項(xiàng)式除法，得 = 然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系數(shù)法，令 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.故= 用待定系數(shù)法將其復(fù)雜的有理函數(shù)變?yōu)橛欣碚娣质降拇鷶?shù)和，然后用前面的方法逐項(xiàng)積分。該方法的基本步驟： 先考察被積有理函數(shù)是真分式，還是假分式。如果是假分式，在通過(guò)帶余除法化為多項(xiàng)式和真分式之和；如果是真分式，則進(jìn)行第（2）步; 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把分母多項(xiàng)式分解成若干個(gè)一次因式和二次因式之積; 設(shè)定真分式函數(shù)分解成若干部分分式之和的形式; 利用待定系數(shù)法等方法求出各部分分式的分子所有系數(shù)； 對(duì)多項(xiàng)式（如果有理函數(shù)是假分式）和各部分分式分別進(jìn)行積分并求和。