第二章 參數(shù)估計

1、第二章 參數(shù)估計一、填空題1、總體的分布函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，則對常用的點估計方法有 ， 。2、設(shè)總體的概率密度為 而是來自總體的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)的矩估計量為3、設(shè)是來自總體的簡單隨機樣本，且，記， 則哪個是的有偏估計 ，哪個是的較有效估計 。4、隨機變量的分布函數(shù)中未知參數(shù)的有效估計量和極大似然估計量的關(guān)系為 。5、隨機變量的分布函數(shù)中未知參數(shù)的有效估計量和最優(yōu)無偏估計量的關(guān)系為 。6、稱統(tǒng)計量為可估函數(shù)的（弱）一致估計量是指 。7、判斷對錯：設(shè)總體，且與都未知，設(shè)是來自該總體的一個樣本，設(shè)用矩法求得的估計量為、用極大似然法求得的估計量為，則=。 _8、是總體未知參數(shù)的相合估計量的

2、一個充分條件是_ .解：9、已知是來自總體的簡單隨機樣本，。令，則當 時，為總體均值的無偏估計。10、 設(shè)總體，現(xiàn)從該總體中抽取容量為10的樣本，樣本值為則參數(shù)的矩估計為 。11、 設(shè)與都是總體未知參數(shù)的估計，且比有效，則與的期望與方差滿足_ .解：12、設(shè)和均是未知參數(shù)的無偏估計量，且，則其中的統(tǒng)計量 更有效。13、在參數(shù)的區(qū)間估計中，當樣本容量固定時，精度提高時，置信度 。14、設(shè)是來自總體的樣本，則的置信度為0.95的置信區(qū)間為 。15、設(shè)是來自總體的樣本，其中未知，則的置信度為0.95的置信區(qū)間為 。16、設(shè)是來自總體的樣本，其中未知，則的置信度為0.95的置信區(qū)間為 。17、設(shè)服從參

3、數(shù)為的指數(shù)分布，是來自總體的樣本，為其樣本均值，則服從 分布。18、設(shè)總體服從正態(tài)分布，且未知，設(shè)為來自該總體的一個樣本，記，則的置信水平為的置信區(qū)間公式是_；若已知，則要使上面這個置信區(qū)間長度小于等于0.2，則樣本容量至少要取多大_。18、為估計大學(xué)生近視眼所占的百分比，用重復(fù)抽樣方式抽取200名同學(xué)進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有68個同學(xué)是近視眼。則大學(xué)生近視眼所占的百分比的95%的置信區(qū)間為 。19、設(shè)總體未知參數(shù)為，為樣本均值, 若近似服從，則的一個雙側(cè)近似1-置信區(qū)間為 。20、設(shè)總體為樣本，則的矩估計量為 ，極大似然估計量為 。21、設(shè)總體為樣本，、 未知，則的置信度為1的置信區(qū)間為 。22

4、、設(shè)總體X在區(qū)間上服從均勻分布，則的矩估計 ； 。23、設(shè)總體，若和均未知，為樣本容量，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為，則的值為_； 24、在實際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時，總是希望置信水平愈 愈好，而置信區(qū)間的長度愈 愈好。但當增大置信水平時，則相應(yīng)的置信區(qū)間長度總是 。二、簡述題1、描述矩估計法的原理。2、描述極大似然估計法的原理。3、極大似然估計法的一般步驟是什么？4、評價估計量好壞的標準有哪幾個？5、什么是無偏估計？6、什么是較有效？7、什么叫有效估計量？8、判斷可估函數(shù)是有效估計量的充要條件是什么？9、什么是最優(yōu)無偏估計量？10、什么是一致最小方差無偏估計量？11、有效估計量和最優(yōu)

5、無偏估計量的關(guān)系是什么？12、什么叫均方誤差最小估計量？13、敘述一致估計量的概念。14、試述評價一個置信區(qū)間好壞的標準。15、描述區(qū)間估計中樣本容量、精度、置信度的關(guān)系。三、單選題1、設(shè)總體未知參數(shù)的估計量滿足,則一定是的( )A 極大似然估計 B 矩估計 C 無偏估計 D 有效估計2、設(shè)總體未知參數(shù)的估計量滿足,則一定是的( )A 極大似然估計 B 矩估計 C 有偏估計 D 有效估計3、設(shè)為來自均值為的總體的簡單隨機樣本，則（ ）A是的有效估計量 B是的一致估計量C是的無偏估計量 D不是的估計量4、估計量的有效性是指( )A.估計量的抽樣方差比較小B.估計量的抽樣方差比較大C.估計量的置信

6、區(qū)間比較寬D.估計量的置信區(qū)間比較窄5、若置信水平保持不變，當增大樣本容量時，置信區(qū)間（）A將變寬 B將變窄 C保持不變 D寬窄無法確定6、一個95%的置信區(qū)間是指（ ）A總體參數(shù)有95%的概率落在這一區(qū)間內(nèi)B總體參數(shù)有5%的概率未落在這一區(qū)間內(nèi)C在用同樣方法構(gòu)造的總體參數(shù)的多個區(qū)間中，有95%的區(qū)間包含該總體參數(shù)D在用同樣方法構(gòu)造的總體參數(shù)的多個區(qū)間中，有95%的區(qū)間不包含該總體參數(shù)7、置信度表示區(qū)間估計的（ ）A精確性B顯著性 C可靠性D準確性8、抽取一個容量為100的隨機樣本，其均值為=81，標準差s =12?？傮w均值的99%的置信區(qū)間為（ ）其中：。A 811.97 B 812.35

7、C 813.09 D 813.52四、計算題1、設(shè)是來自總體X的樣本X的密度函數(shù)為 試求的極大似然估計量。2、設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，求未知參數(shù)的矩估計量。3、 設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，求未知參數(shù)的有效估計量。4、設(shè)總體的概率密度為是未知參數(shù),是來自的樣本，求的矩估計量 5、設(shè)是取自總體X的一個樣本，X的密度函數(shù)為其中 未知， 0。試求 的矩估計和極大似然估計。6、設(shè) 是取自總體X的一個樣本，X的密度函數(shù)為 其中 未知， 試求的矩估計。7、設(shè)總體的概率密度為是未知參數(shù),是來自的樣本，（1）求的矩估計量；（2）求的最大似然估計量；（3）和是不是的無偏估計量（說明原因）？8、設(shè)總體，且

8、與都未知，設(shè)為來自總體的一個樣本，設(shè)，。求與的極大似然估計量9、設(shè)總體的概率分布為01221-3其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值0，1，1，0，2，0，2，1，1，2（1）求的矩估計值；（2）求的最大似然估計值。10、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本,(1) 當時, 求未知參數(shù)的矩估計量;(2) 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; (3) 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 11、 設(shè)為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（1） 的方差； （2）與的協(xié)方差 （3）若是的無偏估計量，求常數(shù)c. 12、設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總

9、體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（1） 求的矩估計；（2）求的最大似然估計13、設(shè)總體的概率密度為為來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.（1）求參數(shù)的矩估計量；（2）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由.解：（1），令，代入上式得到的矩估計量為（2），因為，所以故不是的無偏估計量14、設(shè)總體服從上的均勻分布，是來自總體的一個樣本，試求參數(shù)的極大似然估計解：的密度函數(shù)為似然函數(shù)為顯然時，是單調(diào)減函數(shù)，而，所以是的極大似然估計15、 設(shè)總體的概率密度為 .是來自的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計量為_. 解:似然函數(shù)為 解似然方程得的極大似然估計為 .16、設(shè)總體的概率密度為 試用來自總體

10、的樣本，求未知參數(shù)的矩估計和極大似然估計. 解：先求矩估計 故的矩估計為 再求極大似然估計 所以的極大似然估計為 .17、已知分子運動的速度具有概率密度 為的簡單隨機樣本 （1）求未知參數(shù)的矩估計和極大似然估計； （2）驗證所求得的矩估計是否為的無偏估計。 解：（1）先求矩估計 再求極大似然估計 得的極大似然估計 ， （2）對矩估計 所以矩估計 是的無偏估計.18、假設(shè)、是來自總體的簡單隨機樣本值.已知服從正態(tài)分布（1） 求的數(shù)學(xué)期望值（記為）；（2） 求的置信度為的置信區(qū)間；（3） 利用上述結(jié)果求的置信度為的置信區(qū)間.19、設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本, 方差未知，總體均值的置信度為的置信區(qū)間的長

11、度記為，求。20、某出租車公司欲了解從財大南校到火車站乘租車的時間，隨機地抽查了9輛出租車，記錄其從財大南校到火車站的時間，算得（分鐘），修正樣本方差的標準差。若假設(shè)此樣本來自正態(tài)總體，其中與均未知，試求的置信水平為0.95的置信下限。21、已知兩個總體與獨立，,，未知，和分別是來自與的樣本，求的置信度為的置信區(qū)間.解：設(shè) ，則，所求的置信度為的置信區(qū)間為 22、一批糖袋的重量（單位：千克）服從正態(tài)分布。現(xiàn)在從該批糖袋中隨機抽取12袋，測得這12糖袋的平均重量為，方差為0.1291求這批糖袋的平均重量的置信度為95%的置信區(qū)間，并計算估計的精度。求這批糖袋的重量方差的置信度為95%的置信區(qū)間。23、設(shè)總體（方差已知），問需抽取容量多大時，才能使得總體均值的置信度為的置信區(qū)間的長度不大于L？五、證明題1、設(shè)是從總體抽取的一個樣本，的密度函數(shù)為證明樣本均值是未知參數(shù)的無偏、有效、一致估計量；2、設(shè)是總體為的簡單隨機樣本.記， （）證 是的無偏估計量.（）當時 ，求.3、設(shè)從均值為，方差為>0的總體中分別抽查容量為的兩獨立樣本。和分別是兩樣本的均值。試證明：對于任意