第二章投影的基本知識和點、線、面的投影

1、第二章 投影的基本知識和點、線、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握 正投影的基本性質；掌握點線面的投影特性；根據(jù)投影能判斷出點、線、面的關系。主要內容：1、投影的基本知識；2、點的投影；3、直線的投影；4、平面的投影。2.1 投影的基本知識一、內容：1、投影的基本概念；2、投影的類型；3、工程中常用的投影圖。二、要求及重點：要求掌握投影的基本概念；了解投影的類型、用途。三、教學方式：通過實物及日常生活中的現(xiàn)象，使學生掌握投影的基本概念；了解投影的類型、用途。192.1 投影的基本知識一、 投影的概念1、在日常生活中，經?？吹娇臻g一個物體在光線照射下在某一平面產生影子的現(xiàn)象，抽象后的“影子”

2、稱為投影。2、產生投影的光源稱為投影中心S，接受投影的面稱為投影面，連接投影中心和形體上的點的直線稱為投影線。形成投影線的方法稱為投影法（圖2-1）。(a) (b)圖2-1 中心投影法 圖2-2 平行投影法 二、投影的類型投影法分為中心投影法和平行投影法兩大類。1、中心投影法光線由光源點發(fā)出，投射線成束線狀。投影的影子（圖形）隨光源的方向和距形體的距離而變化。光源距形體越近，形體投影越大，它不反映形體的真實大小。2、平行投影法光源在無限遠處，投射線相互平行，投影大小與形體到光源的距離無關，如圖2-2所示。平行投影法又可根據(jù)投射線（方向）與投影面的方向（角度）分為斜投影（a）和正投影（b）兩種。

3、(1)斜投影法：投射線相互平行，但與投影面傾斜，如圖2-2(a)所示。(2)正投影法：投射線相互平行且與投影面垂直，如圖2-2(b)所示。用正投影法得到的投影叫正投影。三、工程上常用的投影圖1、透視圖用中心投影法將空間形體投射到單一投影面上得到的圖形稱為透視圖，如圖2-3。透視圖與人的視覺習慣相符，能體現(xiàn)近大遠小的效果，所以形象逼真，具有豐富的立體感，但作圖比較麻煩，且度量性差，常用于繪制建筑效果圖。20圖2-3 透視圖 圖2-4 軸測圖2、軸測圖將空間形體正放用斜投影法畫出的圖或將空間形體斜放用正投影法畫出的圖稱為軸測圖。如圖 2-4所示，形體上互相平行且長度相等的線段，在軸測圖上仍互相平行

4、、長度相等。軸測圖雖不符合近大遠小的視覺習慣，但仍具有很強的直觀性，所以在工程上得到廣泛應用。3、標高投影圖根據(jù)正投影法所得到的圖形稱為正投影圖。如圖2-6所示為房屋（模型）的正投影圖。正投影圖直觀性不強，但能正確反映物體的形狀和大小，并且作圖方便，度量性好，所以工程上應用最廣。繪制房屋建筑圖主要用正投影，今后不作特別說明，“投影”即指“正投影”。212.2 點的投影一、內容：1、點在三投影面體系中第一分角的投影；2、兩點的相對位置。二、要求及重點：1、要求了解三投影面體系；2、掌握投影的特性；3、根據(jù)點的坐標，判定點的類型。4、掌握點的相對位置關系；5、了解重影點概念，判斷重影點的可見性。三

5、、教學方式：1、利用教具、模型使學生在頭腦中形成空間印象，做到平面投影與實際空間中的對應關系；2、利用例題使學生掌握并知道如何利用這些原理、概念；3、通過課上實際繪制，使學生更加深理解繪圖過程及技巧。四、作業(yè)：布置點投影的作業(yè)。222.2 點的投影一、 投影的形成與特性1、三個互相垂直的投影面V、H、W，組成一個三投影面體系，將空間劃分為八個分角。V面稱為正立投影面，簡稱正面；H面稱為水平投影面，簡稱水平面；W面稱為側立投影面，簡稱側面。規(guī)定三個投影軸OX 、OY、OZ向左、向前、向上為正，在三條投影軸都是正相的投影面之間的空間第一分角。、23例2-1 已知空間點B的坐標為X=12，Y=10，

6、Z=15，也可以寫成B（12、10、15）。單位為mm（下同）。求作B點的三投影。1、分析圖2-10 由點的坐標作三面投影2、作圖畫投影軸，在OX軸上由O點向左量取12，定出bX，過bX作OX軸的垂線，如圖2-10（a）。 在OZ軸上由O點向上量取15，定出bZ，過bZ作OZ軸垂線，兩條線交點即為b，如圖2-10（b）。 在bbX的延長線上，從bX向下量取10得b；在bbZ的延長線上，從bZ向右量取10得b。或者由b和b用圖2-10（c）所示的方法作出b。點與投影面的相對位置有四類：空間點；投影面上的點；投影軸上的點；與原點O重合的點。 二、兩點的相對位置1、 兩點的相對位置是指空間兩個點的上

7、下、左右、前后關系，在投影圖中，是以它們的坐標差來確定的。2、兩點的V面投影反映上下、左右關系；兩點的H面投影反映左右、前后關系；兩點的W面投影反映上下、前后關系。例2-2 已知空間點C（15，8，12），D點在C點的右方7，前方5，下方6。求作D點的三投影。 分析D點在C點的右方和下方，說明D點的X、Z坐標小于C點的X、Z坐標；D點在C點的前方，說明D點的Y坐標大于C點的Y坐標?？筛鶕?jù)兩點的坐標差作出D點的三投影。圖2-11 求作D點的三投影243、重影點：252.3 直線的投影一、內容：1、直線的類型；2、直線的投影特性；3、求一般位置直線的實長與傾角；4、直線上點的投影；5、兩直線的相對

8、位置；6、一邊平行與投影面的直角的投影。二、要求及重點：掌握上述幾部分內容的基本概念、原理，并應用。三、教學方式：1、通過教具、模型使學生在頭腦中形成空間概念，做到平面投影與空間的轉換；2、利用例題，使學生掌握、運用這些原理、方法、技巧；3、通過繪制，使學生對點的投影有更加深刻的理解。四、作業(yè)：布置相關直線投影的作業(yè)，鞏固知識，靈活運用。262.3 直線的投影空間直線與投影面的相對位置有三種： 投影面平行線特殊位置直線 投影面垂直線 一般位置直線一、特殊位置直線及其投影特性1、投影面平行線只平行于一個投影面，而對另外兩個投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。 投影面平行線又有三種位置： 水平線：平

9、行于水平面 正平線：平行于正平面 側平線；平行于側面投影面平行線的投影特性見表2-1。直線對投影面所夾的角即直線對投影面的傾角，、分別表示直線對H面、V面和W面的傾角。表2-1 投影面平行線的投影特性27投影面垂直線也有三種位置： 鉛垂線：垂直于水平面的直線 正垂線：垂直于正面的直線 側垂線：垂直于側面的直線 投影面垂直線的投影特性見表2-2。 表2-2 投影面垂直線的投影特性二、一般位置直線及其真長與傾角1、一般位置直線既不平行也不垂直于任何一個投影面，即與三個投影面都處于傾斜位置的直線。2、一般位置直線的投影特性：三個投影都傾斜于投影軸，長度縮短，不能直接反映直線與投影面的真實傾角。圖2-

10、13 一般位置直線圖2-14 用直角三角形法求直線的真長和傾角三、直線上的點的投影特性1、 直線上的點的投影，必在直線的同面投影上；2、 若直線不垂直于投影面，則點的投影分割直線線段投影的長度比，都等于點分割直線線段的長度比。例2-3 如圖2-15a所示，已知直線AB求作AB上的C點，使AC：CB=2：3。圖2-15 作分割AB成2：3的C點29解 根據(jù)直線上的點的投影特性，作圖過程見圖2-15b所示：自a任引一直線，以任意直線長度為單位長度，從a順次量5個單位，得點1、2、3、4、5。 連5與b，作2c/5b，與ab交于c。由c引投影連線，與ab交得c。c與c即為所求的C點的兩面投影。例2-

11、4 如圖2-16a所示，試判斷K點是否在側平線MN上？解 可按直線上點的投影特性，用方法一或方法二進行判斷。方法一的判斷過程如圖2-16b所示：加W面，即過O作投影軸OYH、OYW、OZ。由mn、mn和k、k作出mn和k。由于k不在mn上，所以K點不在MN上。方法二的判斷過程如圖2-16c所示：MN上。四、兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：平行相交共面直線交叉 異面直線它們的投影特性列在表2-3中。當兩直線處于交叉位置時，有時需要判斷可見性，即判斷它們的重影點的重合投影的可見性。確定和表達兩交叉線的重影點投影可見性的方法是：從兩交叉線同面投影的交點，向相鄰投影引垂直于投影軸的投影連線

12、，分別與這兩交叉線的相鄰投影各交得一個點，標注出交點的投影符號。按左遮右、前遮后、上遮下的規(guī)定，確定在重影點的投影重合處，是哪一條直線上的點的投影可見 。30圖2-17 檢驗側平線AB和一般位置直線CD的相對位置五、一邊平行于投影面的直角的投影當直角的一邊為投影面平行線時，則在它所平行的投影面上的投影，仍為直角。例2-5 如圖2-18a所示，已知交叉兩直線AB、CD，作出它們的公垂線MN（M、N分別是公圖2-18 作交叉線AB、CD的公垂線MN和距離31解 如圖2-18b所示，先進行幾何分析和投影分析：公垂線MN是與交叉兩直線AB、CD都垂直的直線，垂足M與N之間的距離，即為這兩條交叉直線之間

13、的距離。由于圖2-18a中給出的直線AB是鉛垂線，MN與AB垂直，MN必為水平線。既然MN是水平線，MN與CD垂直，按一邊平行于投影面的直角的投影特性，mn也應與cd垂直。由于AB是鉛垂線，MN在AB上的垂足M的H面投影m，必積聚在ab上，于是就可由此開始，按上述的幾何分析和投影分析逐步進行作圖，作圖過程如圖2-18c所示。點m積聚在ab上，從m引cd的垂線，得交點n，即為MN與CD的垂足N的H面投影。 由n作投影連線，與cd交得n，就是MN與CD的垂足N的V面投影。由n作OX軸的平行線，與ab交得m，即為MN與AB的垂足M的V面投影。于是mn、mn即為所求的公垂線MN的兩面投影。由于MN是水

14、平線，則其H面投影mn的長度，即為真長，也就是交叉兩直線AB與CD之間的距離，用引出線在圖中注明。322.4 平面的投影一、內容：1、平面對投影面的相對位置及投影特性；2、平面上點、線、圖形的投影特性及判斷方法；3、最大斜度線；4、換面法。二、要求及重點：1、掌握平面及平面上點、線、圖形的投影特性，知道如何判定平面上點、線、圖形；2、了解最大斜度線的原理，能應用最大斜度線求出平面與投影面夾角、；3、掌握換面法的基本用法。三、教學方式：1、通過教具、模型使學生在頭腦中形成空間概念，做到平面投影與空間的轉換；2、利用例題，使學生掌握、運用這些原理、方法、技巧；3、通過繪制，使學生對點、線、圖形的投

15、影有更加深刻的理解。四、作業(yè)：布置相關平面投影的作業(yè)，鞏固知識，靈活運用。332.4 平面的投影一、各種位置的平面及其投影特性平面對投影面的相對位置有三種： 投影面平行面特殊位置平面投影面垂直面一般位置平面平面與投影面H、V、W的傾角，分別用、表示。 （一） 投影面垂直面垂直于一個投影面，而傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。正垂面：垂直于正面的平面 鉛垂面：垂直于水平面的平面 側垂面：垂直于側面的平面 投影面垂直面的投影特性見表2-4。平行于一個投影面，而垂直于另外兩個投影面的平面稱為投影面平行面 。水平面：平行于水平面的平面 正平面：平行于正面的平面 側平面：平行于側面的平面34投

16、影面平行面的投影特性見表2-5。在三面投影體系中，立體的平面對三個投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面 。 一般位置平面的三個投影既不反映實形，又無積聚性。均為縮小的類似圖形。二、平面上的點、直線和圖形（一）特殊位置平面上的點、直線和圖形特殊位置上的點、直線和圖形，在該平面的有積聚性的投影所在的投影面上的投影，必定積聚在該平面的有積聚性的投影上。利用這個投影特性，可以求做特殊位置平面上的點、直線和圖形的投影。例2-6 如圖2-19a所示，ABC為水平面，已知它的H面投影abc和頂點A的V面投影a，求作ABC的V面投影和W面投影，并求作ABC的外接圓圓心D的三面投影。解 因為水平面的V面投影和W面

17、投影有積聚性，并且分別平行于OX軸和OYW軸，所以按已知條件就可作出這個三角形分別積聚成直線的V面投影和W面投影。又因水平面的H面投影反映真形，所以就能直接用平面幾何的作圖方法在H面投影中作出ABC的外接圓圓心D的H面投影d；然后，由d引投影連線，分別在已作出的ABC的有積聚性的V面投影和W面投影上，作出D點的V面投影d和W面投影d。35D具體的作圖過程如圖2-19b所示：分別由a、a引投影連線，交得a。分別過a、a引OX、OYW軸的平行線，再分別由b、c引投影連線，與上述平行線交得頂點B、C的V面投影b、c和W面投影b、c，從而就作出了ABC的有積聚性的V面投影abc和W面投影abc。在H面

18、投影中，分別作abc的任意兩條邊（例如ab和ca）的中垂線，就交得ABC的外接圓圓心D的H面投影d。由d分別作投影連線，與ABC的有積聚性的V面投影abc和W面投影 abc交得D點的V面投影d和W面投影d。（二）一般位置平面上的點、直線和圖形1、 點和直線在平面上的幾何條件（1）平面上的點，必在該平面的直線上。平面上的直線必通過平面上的兩點；（2）通過平面上的一點，且平行于平面上的另一直線。例2-7 如圖2-20aABCD和KABCD上的直線MN的H面投影mn，試檢驗K ABCD平面上，并作出直線MN的V面投影mn。檢驗K點的作圖過程如下：連a和k，延長后，與bc交于e。由e引投影連線，與BC

19、交得e。連a和e。36若k在ae上，則KABCD的直線AE上，KABCD上。但圖中的k不在ae上，就表明K ABCD上。求作mn的作圖過程如下：延長mn，與ad交得s，與bc交得f。由s、f作投影連線，分別在ad、bc上交得s、f，連s與f。平面上的投影面平行線不僅應滿足直線在平面上的幾何條件，它的投影又符合投影面平行線的投影特性。例2-8 如圖2-21a所示，已知ABC，在ABC上求作一條距V面為13mm正平線。解 作圖過程如圖2-21b所示：在OX軸之下（即OX軸之前）13mm處，作OX軸的平行線，即為這條正平線的H面投影，與ab、bc分別交得d、e，de即為所求作的正平線DE的H面投影。

20、由d、e作投影連線，分別與ab、bc交得d、e，連d和e，de即為所求的正平線圖2-21 在ABC上求作正平線平面上垂直于該平面的某一投影面平行線的直線，是平面上對這個投影面的最大斜度線，它與這個投 37例2-9 如圖2-23a所示，已知ABC，求作ABC與H面的傾角。解 只要在ABC平面上作一條對H面的最大斜度線，再求出它與H面的傾角，也就是ABC與H面的傾角。為了在ABC平面上作對H面的最大斜度線，先要在ABC平面上作一條水平線。過A點作ABC平面上的水平線AD：先作adOX，再由ad作出ad。在ABC平面上作對H面的最大斜度線BE：過b作bead，與ad交得e，再由be作出be。 作BE與H面的傾角：用直角三角形法作出BE對