河北省中考?jí)狠S題分析(類比探究)

1、河北省中考?jí)狠S題分析(類比探究)中考?jí)狠S題分析(類比探究)1. (1)閱讀理解利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖，點(diǎn)P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn),PA 1, PB J3, PC 2.求 BPC 的度數(shù).為利用已知條件，不妨把 BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得 APC ,連接PP,則PP的 長(zhǎng)為;在 PAP中，易證 PAP 90 ,且 PPA的度數(shù)為,綜上可 得 BPC的度數(shù)為;(2)類比遷移如圖，點(diǎn)P是等腰Rt ABC內(nèi)的一點(diǎn)， ACBPA 2, PB V2，PC 1 .求(3)拓展應(yīng)用1 / 15BAC 2 ADC ,1如圖，在四邊形 ABCD 中，BC 5, CD 8, AB AC

2、 AD, 2請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng).【答案】(1) 2, 30。，90。；(2) 90。；(3) 2J41.【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知/CP P=60,根據(jù)勾股定理逆定理可得 那P P是直角三角形，繼而可得答案.(2)如圖2,把ABPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AAPC,連接PP ,同理可得CP P是等腰 直角三角形和 AAP P是等腰直角三角形，所以/ APC=90 ；(3)如圖3,將9BD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 AACG,連接DG.則BD=CG ,根據(jù)勾股定 理求CG的長(zhǎng)，就可以得 BD的長(zhǎng).【詳解】(1)把4BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

3、60得祥PC,連接PP (如圖1).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CP P是等邊三角形；.尸 A=PB=6、/ CP P=6Q。P，P=PC=2在AAP P中，: AP2+P抬12+ (73) 2=4=PP2;.AP P是直角三角形;河北省中考?jí)狠S題分析（類比探究）/ P AP=90. . PA= 1 PC 2，/ AP P=30;，/BPC=/CP A=L CP P吆 AP P=60 +30 =90(2)如圖2,把ABPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得祥PC,連接PP.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知ACP P是等腰直角三角形；P C=PC=1 / CPP =45： P P=/2 , PB=AP=近,在AAP P中，: AP2+P

4、，2= ( 72)2+ ( 72 ) 2=4=AP2；.AP P是等腰直角三角形； . / AP P=90. . / APP=45 . / APC= / APP+ / CPP=45 +45 =90(3)如圖3,B E CS3 . AB=AC ,WAABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 AACG,連接DG .則BD=CG , / BAD= / CAG , . / BAC= / DAG ,. AB=AC , AD=AG , . / ABC= / ACB= / ADG= / AGD ,ABQc/dA ADG , . AD=2AB ,.DG=2BC=10 ,過A作AE，BC于E, . / BAE+ Z ABC=

5、90 , / BAE= / ADC , / ADG+ / ADC=90 , . / GDC=90 , CG= DG2 CD2. 102 82 2不，BD=CG=2 V41 【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，2.（操作發(fā)現(xiàn)）如圖（1）,在4OAB 和OCD 中，OA = OB, OC=OD, / AOB = / COD = 45 ,連接AC, BD交于點(diǎn)M .AC與BD之間的數(shù)量關(guān)系為 ;/ AMB的度

6、數(shù)為;（類比探究）如圖（2）,在4OAB 和OCD 中，Z AOB = Z COD = 90 , / OAB = / OCD= 30。，連接AC,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M.請(qǐng)計(jì)算空的值及/ AMB的度數(shù)；BD（實(shí)際應(yīng)用）如圖（3）,是一個(gè)由兩個(gè)都含有 30。角的大小不同的直角三角板 ABC、DCE組成的圖形，其中/ ACB = / DCE =90。，/A=/D=30且D、E、B在同一直線上，CE = 1, BC= J2T ,求點(diǎn)A、D之間的距離.【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】 AC=BD；/AMB=45 ；【類比探究】ACBDV3 , / AMB=9011 / 15【實(shí)際應(yīng)用】4或5，3【分析】操作發(fā)現(xiàn)：

7、如圖（1）,證明COADOB （SAS）,即可解決問題.類比探究：如圖（2）,證明NCOAs ODB，可得任 CO 展MAK =/ OBK ,已BD OD解決可解決問題.實(shí)際應(yīng)用：分兩種情形解直角三角形求出BE,再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.【詳解】解：操作發(fā)現(xiàn)：如圖（1）中，設(shè)OA交BD于K. . / AOB = / COD = 45,COA = Z DOB , . OA = OB, OC=OD, .COAQDOB (SAS),AC = DB , / CAO = / DBO , . / MKA =Z BKO , ./ AMK =Z BOK =45,故答案為：AC = BD , Z AM

8、B =45類比探究：如圖(2)中，圖（2）在 AOAB 和OCD 中，. / AOB =Z COD = 90, Z OAB =Z OCD= 30, ./ COA = / DOB , OC= 73OD, OA = 73OB ,OC OA ,OD OB COAc/dA odb ,AC COBD ODAMK =/ BOK =90.實(shí)際應(yīng)用：如圖3 - 1中，作CHBD于H,連接AD .C在 RtDCE 中，. / DCE = 90, /CDE = 30, EC=1, ./ CEH=60, . / CHE = 90, ./ HCE = 30,EH = EC =,221 .CH= 3L,2在 RtABC

9、H 中，BH = JBC2 CH21 .BE = BH EH =4, DCAc/dA ECB,2 .AD : BE = CD： EC=事, .AD =46.如圖3- 2中，連接AD ,作CHIDE于H.同法可得BH = 9, EH = 1 ,22.BE =2+2” DCAc/dA ECB,2 .AD : BE = CD： EC=技 -AD=573.本題屬于相似形綜合題， 考查了全等三角形的判定和性質(zhì)， 相似三角形的判定和性質(zhì)， 解直 角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題， 學(xué)會(huì)用分類討 論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.3.（ I）如圖1,在等邊 ABC中，點(diǎn)M是

10、BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B , C）,連ZAM , 以AM為邊作等邊 AMN ,并連結(jié)CN .求證： AB MC CN .（n）【類比探究】如圖2,在等邊 ABC中，若點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn) C）,其它條件 不變，則AB MC CN是否還成立？若成立， 請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出AB, MC , CN三者間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.（出）【拓展延伸】如圖3,在等月ABC中，BA BC ,點(diǎn)M是AC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)BM , 以BM為邊作等腰 BMN，使BM BN ,試探究 AMN與 MBC的數(shù)量關(guān)系，并說 明理由.【答案】（I）證明見解析（n ）結(jié)論不成立（出）1

11、-AMN = MBC2【解析】 試題分析：（I）通過證明ABAM 9 ACAN ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BM CN ,從而證得 AB BC BM MC CN MC ；（n）結(jié)論不成立，通過證明 ABAM 9 腐AN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BM CN ,由 BM CN BC CM AB CM ,得 AB CN CM1-.(出) AMN二一MBC ,設(shè)2得 BNM A AMN yABMC的外角，可得BMA1 -AMN= MBC .2AMN=x, A y ,由x ,從而可得 BMAMBC y ,從而有2xBNM為AAMN的外角，可2x y ,又 BMA 為y MBC y ,繼而推得試題解析：（I

12、） AABC ,MMN都是等邊三角形,AB=AC , AM AN , BAC MAN 60 ,BAC MAC MAN MAC 即 BAM CAN ,AB AC在相AM 和 ACAN 中， BAM CAN , AM ANBAM 色 ACAN SAS ,. BM CN ,. AB BC BM MC CN MC ；(n)結(jié)論不成立，理由： AABC , MMN都是等邊三角形，AB=AC , AM AN , BAC MAN 60 ,BAC+ MAC MAN+ MAC 即 BAM CANAB AC在出AM 和 ACAN 中， BAM CAN , AM ANBAM 9 ACAN SAS ,B BM CN,

13、 BM CN BC CM AB CM ,即 AB CN CM ;1 一 一，（出） AMN= MBC ,理由： 2設(shè) AMN=x, A y , BA BC ,， A C y ,BNM為MMN的外角，BNM A AMN y x,又 BM BN , BMN BNM y x,BMABMNNMA y x x 2x y ,又 BMA為ABMC的外角，BMAMBCCMBC y , 2x y MBC y,1 MBC 2x 2 AMN ,即 AMN二一MBC .2【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，結(jié)合圖形熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵.4. （1）問題發(fā)現(xiàn)如圖 1

14、,在 ZABC 和 AADE 中，AB = AC, AD = AE , / BAC = / DAE = 50,連接 BD , CE交于點(diǎn)F.填空：河北省中考?jí)狠S題分析（類比探究）的值為 ;/ BFC的度數(shù)為 (2)類比探究如圖 2,在矩形 ABCD 和 4DEF 中，AD= J3ab, / EDF = 90, / DEF =60,連接 AF交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P.求AF的值及/ APC的度數(shù)，并說明理由；CE(3)拓展延伸在(2)的條件下，將4DEF繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋裝，AF,CE所在直線交于點(diǎn) P,若DF = J3 , AB =后,求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)AF的長(zhǎng).AF【答案】(1) 1, 50

15、 ; (2) J3, APC 90 ,理由見解析；(3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合 CE時(shí)，AF的長(zhǎng)為3或6,理由見解析【解析】【分析】(1)問題發(fā)現(xiàn)：由SAS可證 DAB0EAC,可得BD = CE, / ACE = / ABD ,即可求 解；(2)類比探究：通過證明 ADFACDE,可得處 近FAD = DCE ,即可求解；CE(3)拓展延伸：過點(diǎn) C作CMLDE,由勾股定理可求 CE的長(zhǎng)，即可求 AF的長(zhǎng).【詳解】. / BAC = Z DAE = 50,DAB = Z EAC,且 AB = AC, AD = AEDABA EAC (SAS).-.BD = CE, / ACE=Z ABDBD .1

16、CE. / BAC+Z ABC+Z ACB= 180,且/ BFC+/ FBC+/ FCB= / BFC+Z ABC+Z ABF+Z FCB=Z BFC + Z ABC+Z ACB= 180 ./ BFC = Z BAC=50故答案為：1, 50。(2)類比探究：AF -。V3 , Z APC=90CE理由如下：.一/ DEF = 60, /FDE=90 .DF = 33 DE,四邊形ABCD是矩形.CD = AB, / ADC =90 .AD= V3 DC, Z ADC=Z EDF = 90 ./ EDC = /ADF ,且股忑3 DFCD DE . ADFsCDEAF 八V3 , / FAD = DCECE，點(diǎn)A,點(diǎn)P,點(diǎn)D,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓APC = Z ADC= 90(3)拓展延伸:如圖，過點(diǎn)C作CMXDE,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,DF = 33 , D DEF = 60, /AEC=90.DE= 1 , / CEM = 30. / CEM = 30, CM LEDCM CE,EM 后 CE22.cd2=cm2+dm2,.-7= CE1+ (EM-1) 2,4.CE = 2 ,3.AF =6如圖，