相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用經(jīng)典題型

1、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用經(jīng)典題型考點(diǎn)一：相似三角形的判定與性質(zhì):例1、如圖， PCD是等邊三角形， A C、D B在同一直線上，且/ APB=120 求證：PASBPD (2) CD2 =AC - BD.例2、如圖，在等月ABC中，/BAC=90 ,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 B C重合)，在AC上取一點(diǎn) E,使/ ADE=45 (1)求證： ABM DCE(2)設(shè)BD=x, AE=y,求y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式及自變量 x值范圍，并求出當(dāng)x為何值時(shí)AE取得最小值?(3)在AC上是否存在點(diǎn)E,使得 ADE為等腰三角形？若存在， 求AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由？例6、已知：

2、如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB,將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E,交BC 邊于F,分別連結(jié)AF和CE.(1)求證：四邊形 AFCE是菱形；(2)若AE=10cm ABF的面 積為24cM,求 ABF的周長(zhǎng)；(3 )在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2A= AC AP?若存在， 請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.例3、如圖所示，在平行四邊形 ABC計(jì)，過點(diǎn)A作AE,BC,垂足為E,連接DE, F為線段DE上一點(diǎn),且/AFE=/ B: 1)求證：A ADF A DECC2)若 AB=4, AD 343 ,AE=3 ,求 AF 的長(zhǎng)考點(diǎn)

3、三：相似之共線線段的比例問題：例7、已知如圖，P為平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過P的直線與AR BC CD的延長(zhǎng)線、AB 的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) E、F、G H.求證：-PEPFPHPG考點(diǎn)二：射影定理：例 4、如圖，在 RtABC中，/ACB=90 ,CD，AB于 D, CD=4cm,AD=8cm, 求AC BC及BD的長(zhǎng)。例8、如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD勺對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng),交AD于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F. (1)求證：PC2=PE?PF; (2)若菱形邊長(zhǎng)為 8, PE=2, EF=6,求FB的長(zhǎng).精選1.,例5、如圖，已知正萬形 ABCD E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)

4、是AD上的一點(diǎn)，且 AF=4 AD, EG!CF于點(diǎn)G(1)求證： AEFA BCE(2)試說明：EG=CG FG.例9、如圖，CD是RtABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長(zhǎng)線于F.求證：BD?CF=CDDF.例10、如圖：已知在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D E分別是AR BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且 BD=CE直線- CD與AE相交于點(diǎn) F. (1)求證：DC=AE (2)求證：AD2=DC?DF.£/VD例11、如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EF± AE, EF分別交 AC CD-伊于點(diǎn)M F, BGL AC垂足為G BG交AE于點(diǎn)H. (1)找出與 ABH

5、t目似的 弋空尸三角形，并證明；(2)若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB AB=2,求EM的長(zhǎng).缸1rGF例12、如圖，四邊形 ABCD DEFGtB是正方形,連接 AB CG AE與CG/相交于點(diǎn) Ml, CG與 AD相交于點(diǎn) N.求證：(1)AE=CG ( 2) AN?DN=CNMN/MAc例13、如圖，在 RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn) M在CD上，DH!EBM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E.求證：(1) AE2ACBIM(2)/AE?CM=ACCD.- / /'AD5中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與 CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F. (1)求證：FD2=FB?FC;(2)若G是BC的中點(diǎn)，連接 GD

6、 GD與EF垂直嗎？并說明理由.例15、如圖，四邊形 ABCD CDEF EFGHtB是正方形.(1) /ACF與/ ACG相似嗎？說說你的理由.(2)求/ 1+/ 2的度數(shù). BCFG考點(diǎn)四：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用：例16、如圖， ABC是一塊銳角三角形余料，邊 BC=120mm高AD=80mm要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊 AR AC上.且(1)若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長(zhǎng)是多少？/1(2)若這個(gè)矩形的長(zhǎng) PQ是寬PN的2倍，則邊長(zhǎng)是多少？/ s N D .V C例17、已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8nf口 CD=12m兩樹的根部的距離 BD=5m 一

7、個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看見右邊較高的樹的頂端點(diǎn) C?門得4例14、如圖， ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC的例18、兩顆樹的高度分別為 AB=6m CD=8m兩樹的根部間的距離 AC=4m小強(qiáng)沿著正對(duì)這兩棵樹的方 向從左向右前進(jìn)，如果小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為1.6m,當(dāng)小強(qiáng)與樹AB的距離小于多少時(shí)，就不能看至ij樹CD的樹頂D?盲區(qū)考點(diǎn)五：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題：例22、在矩形ABC計(jì),AB=12cm AD=6crm點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿D

8、A邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果 P、Q同時(shí)出發(fā)，用t （秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0 <t<6）,那么當(dāng)t為何值時(shí)，APQf4ABD相似？說明理由.例19、小亮想利用太陽(yáng)光下的影子測(cè)量校園內(nèi)一棵大樹的高，小亮發(fā)現(xiàn)因大樹靠近學(xué)校圍墻，大樹的例 23、如圖，在 ABC中，/ B=90° , AB=6米, 向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q以1米/秒的速度從 時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t秒.（1）當(dāng)t=2.5秒時(shí)，求 CPQ的面積；求BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)CPQ的面積S （平方米）關(guān)于時(shí)

9、間t （秒）的函數(shù)解析式；（2）在P, Q移動(dòng)的過程中，當(dāng) CPQ為等腰三角形時(shí)，寫出t的值。例20、如圖，九年級(jí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面 CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米,CD與地面成30°角，且此時(shí)測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為 米，求電線桿的高度.從例24、如圖所示，在 ABC中,A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 X. （1）當(dāng)X為何值時(shí)，PQ/ BC （2）當(dāng)Sabcc：Saabc=1：3 ,求Sa bpSaabc的值；（3） APQi旨否與 CQ所目似？若

10、能，求出 AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.例21、如圖，有一路燈桿AB（底部B不能直接到達(dá)），在燈光下，小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng) DF=3m 沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)得自己得影長(zhǎng)例25、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABCM巨形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（6, 0）, （6, 8）.動(dòng)點(diǎn)Ml8N分別從O B同時(shí)出發(fā)，都以每秒 1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn) M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP，BC,交AC于點(diǎn)P,連接MP已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了 x秒.（1）用含x的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)（直接寫出答案）；（2）設(shè)y=S四邊形OMPC 求y的最小值，并求此時(shí)x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M為頂 點(diǎn)的三角形與 AOCffi似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例26、如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為4, E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P在射線AD上，過P作PF，AE于F.（1）求證： PF2 A ABE（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形也與 ABE 相似？若存在，請(qǐng)求出 x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例27、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAOB的兩條直角邊 OA OB分別在y軸和x軸上，并且OA OB的長(zhǎng)分別是方程 x2-7x+12=0的兩根（OA< OB）,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段A