直線與方程-知識點總結-例題習題精講-詳細答案-提高訓練知識講解

1、直線與方：-提高訓練課程星級：【知識點一：傾斜角與斜率】(1)直線的傾斜角關于傾斜角的概念要抓住三點：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。直線與X軸平行或重合時,規(guī)定它的彳斜角為00傾斜角的范圍01800(2)直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為900的直線斜率不存在.記作 k tan (900)當直線l與x軸平行或重合時，00,k tan00 0當直線l與x軸垂直時，900,k不存在.-經過兩點P(xi,y) P(x2,y2)(x) x2)的直線的斜率公式是 k x2 x1每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率(3)求斜率的一般方法：已知直線上兩點，根據斜

2、率公式k y_y1(x2 x,)求斜率；x2 x1已知直線的傾斜角或的某種三角函數根據 k tan來求斜率；(4)利用斜率證明三點共線的方法：已知 A(x,，y。B(x2,y2),C(x3, y3)，若 X x? x3或kAB kBc ,則有 A、B、C三點共線?！局R點二：直線平行與垂直】(1)兩條直線平行： 對于兩條不重合的直線|1,|2,其斜率分別為 匕*2,則有11 /l2k1 k2特別地，當直線1/2的斜率都不存在時，11與12的關系為也J(2)兩條直線垂直： 如果兩條直線|1,|2斜率存在，設為 KM,則有11 l2k1 k2 -1注：兩條直線li,l2垂直的充要條件是斜率之積為

3、-1,這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1 ,可以得出兩直線垂直； 反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果11,12中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為。時，11與12互相垂直.【知識點三：直線的方程】(1)直線方程的幾種形式需要更多的高考數學復習資料請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.：高考復習資料 高中數學 知識點總結 例題精講(詳細解答)或者搜.店鋪.：龍奇跡【學習資料網】名稱方程的形式已知條件局限性點斜式y(tǒng) y1 k(x X1)(X, y1)為直線上一定點，k為斜率不包括垂直于X軸的直線斜截式y(tǒng) kx bk為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于X軸的直線兩點式y(tǒng)yx

4、%y2y1X2 X1經過勵點(X, y1),( x2 , y2 ) 且(X1 X2,y1y)不包括垂直于 X軸和y軸的直線截距式工y 1 a ba是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于X軸和y軸或過原點的直線一般式Ax By C 02_ 2(A B 0)A, B,C為系數無限制，口表小任何位置的直線問題：過兩點 P(x1, y1)，P2(X2, y2)的直線是否一定可用兩點式方程表示？【不一定】若X1 X2且y1 y2 ,直線垂直于x軸,方程為x x1；(2)若X1 X2且y1 y2 ,直線垂直于y軸方程為y y2 ;(3)若X1 X2且y1 y2 ,直線方程可用兩點

5、式表示直線的點斜式方程實際上就是我們熟知的一次函數的解析式；利用斜截式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.用截距式方程表示直線時，要注意以下幾點：方程的條件限制為 a 0,b 0,即兩個截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過原點的直線以及與坐標軸平行的直線；用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標而不是長度.截距的值有正、負、零。距離的值是非負數。截距是實數，不是“距離”,可正可負。截距與距離的區(qū)別： 截距式方程的應用C 1:S= -1 ab | ； 2k1或直線過原點，常設此方程為x y a或ykx與坐標軸圍成的三角形的周長為：|a|+|b|+ . a2 b2 ； 直線與坐標軸圍成的三角

6、形面積為直線在兩坐標軸上的截距相等，則(2)線段的中點坐標公式若點Pi, P2的坐標分別是(Xi, %),( X2, y),Xi X2x 且線段pp2的中點M (x, y)的坐標為2y 22【知識點四直線的交點坐標與距離】(1)兩條直線的交點設兩條直線的方程是li ： Ax By Ci 0, I2 : A2x B2y C2 0,Ax B1y C1 0兩條直線的交點坐標就是方程組y的解。A2x B2y C20若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標;若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行(2)幾種距離兩點間的距離： 平面上的兩點P(xi, yi), P2(x2,y2)間

7、的距離公式I PP2 | 他 xi)2%一療特別地，原點 0(0,0)與任一點P(x, y)的距離|OP| Jx2 y2點到直線的距離：點P0(x0,y。)到直線Ax By C 0的距離z | Ax 0 By 0 C | d .=、A 2 B 2兩條平行線間的距離：兩條平行線Ax By Ci 0與Ax By C2 0間的距離d|Ci C2|A2 B2注:i求點到直線的距離時，直線方程要化為一般必2求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數相同的一般形式后,才能套用公式計算。需要更多的高考數學復習資料請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.：高考復習資料 高中數學 知識點總結例題精講（詳細解答）或

8、者搜.店鋪.：龍奇跡【學習資料網】【例】已知b（I，V5）, B （心2、弓），直線1過原點。且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A 冬娟 B 冬C噂,百D 李哼答案：B分析：由于直線1與線段AB有公共點，故直線1的斜率應介于 OA, OB斜率之間.解：由題意， %廣、口，飛工亨 由于直線1與線段AB有公共點，所以直線1的斜率的取值范圍是 與巧考點：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線1與線段AB有公共點，應注意結合圖象理解.【例】在坐標平面內，與點 A （1, 2）距離為1,且與點B （3, 1）距離為2的直線共有（A 1條B 2條C 3條D 4條答案：B分析：由題意，A、B

9、到直線距離是1和2,則以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條 數即可.解：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.考點：本題考查點到直線的距離公式，考查轉化思想【例】將直線11 ： y=2x繞原點逆時針旋轉 60彳導直線12,則直線12到直線13： x+2y-3=0的角為（）A 30B 60 C 120 D 150 答案：A分析：結合圖象，由題意知直線1113互相垂直，不難推出12到直線13： x+2y-3=0的角.解：記直線11的斜率為k1,直線13的斜率為k3,注意到k1k3= - 1, 11 13,依題意畫出示意圖，結合圖形 分析可知，直線12

10、到直線13的角是30 需要更多的高考數學復習資料請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.：高考復習資料 高中數學 知識點總結例題精講（詳細解答） 或者搜.店鋪.：龍奇跡【學習資料網】考點：本題考查直線與直線所成的角，涉及到角公式【例】方程x |y 1所表示的圖形的面積為 。答案：2解：方程x |y 1所表示的圖形是一個正方形，其邊長為22【例】設a b k(k Q k為常數)，則直線ax by 1恒過定點.-1 1答案：( ，) k k解：ax by 1 變化為 ax (k a)y 1,a(x y) ky 1 0,x y 0對于任何a R都成立，則ky 1 0【例】一直線過點M ( 3,4),并且在兩

11、坐標軸上截距之和為12,這條直線方程是答案:4x y 16 0 ,或 x 3y 94斛：設 y 4 k(x 3), y 0, x 3; xk423k 11 0,3k11k 4 0,kk【例】已知A (1, 2) , B (3, 4),直線11：40,y 3k 4;3 3k 4 12k14,或 k 一3x=0 , 12： y=0 和 13： x+3y 1=0、設 Pi 是 li (i=1 ,2, 3)上與A、B兩點距離平方和最小的點，則4P1P2P3的面積是答案:分析：設出P1 , P2, P3,求出 P1 到 A ,B兩點的距離和最小時,P1坐標，求出P2, P3的坐標,然后再解三角形的面積即

12、可.解：設P1(0, b),P2(a,0),P3(x0,y0)由題設點P1到A, B兩點的距離和為(4-b) 2+12+ C2-b)所以顯然當b=3即P1(0,3)時，點P1到A, B兩點的距離和最小，同理P2(2, 0) ,P3(1 ,0),SAP.P：PX 3考點：本題考查得到直線的距離公式，函數的最值，考查函數與方程的思想，是中檔題.【例】已知直線（a- 2） y= （3a- 1） x-1,為使這條直線不經過第二象限，則實數 a的范圍是 答案：2, +8）分析：由已知中直線（a-2） y= （3a-1） x-1不經過第二象限，我們分別討論 a- 2=0 （斜率不存在），a-2W0 （斜率

13、存在）兩種情況，討論滿足條件的實數 a的取值，進而綜合討論結果，得到答案.解：若a-2=0,即a=2時，直線方程可化為 x=l,此時直線不經過第二象限，滿足條件；若a-2WQ直線方程可化為 y=皂二Lx-此時若直線不經過第二象限，則 里二解a- 2 a- 2|a_ 2 a_ 2得a 0綜上滿足條件的實數a的范圍是2, +8）考點：本題考查的知識點是確定直線位置的幾何要素，其中根據直線的斜截式方程中，當k0且bwo時,直線不過第二象限得到關于 a的不等式組，是解答本題的關鍵， 但解答時，易忽略對a-2=0（斜率不存在） 時的討論，而錯解為（2, +8）。【例】過點A（ 5, 4）作一直線l ,使

14、它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5。4解：設直線為y 4 k（x 5）,父x軸于點（5,0）,交y軸于點（0,5 k 4）, k105, 4022得25k30k 16 0,或25k50k 16 02 .8.斛得k 一，或k 一 2x 5y 10 0 ,或8x 5y 20 0為所求。55【例】直線y y x 1和x軸，y軸分別交于點 A, B ,在線段AB為邊在第一象限內作等邊 ABC,1如果在第一象限內有一點 P（m,1）使得 ABP和 ABC的面積相等，求 m的值。 2解：由已知可得直線 CP/AB ,設CP的方程為yx c,(c1)c1-3-八.31、則 AB v3, c3,

15、y x3 過 P(m, )12321 3/日 13 q 5.3得一 一 m 3,m 2 32122【例】已知點A(1,1), B(2,2),點P在直線y x上，求|pa PB取得最小值時P點的坐標。解：設 P(2t,t),則 PA2 PB2 (2t 1)2 (t 1)2 (2t 2)2 (t 2)2 10t2 14t 107i |22 77當t 一時，PA PB取得最小值，即 P(-)105 10【例】求函數f（x） Jx2 2x 2 Jx2 4x 8的最小值。解：f(x)；(x 1)2 (0 1)2點（1,1）關于x軸對稱的點（1, 1）f(x)min12 3210BC方程，解出C點坐標.逐

16、步解答.解：點A為y=0與x - 2y+1=0兩直線的交點，點A的坐標為（-1,0）.【例】在4ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x- 2y+1=0, / A的平分線所在直線的方程為kAB =2-0=1J（x 2）2 （0 2）2可看作點（x,0）到點（1,1）和點（2, 2）的距離之和，作又 / A的平分線所在直線的方程是y=0，.二kAC= - 1 . 直線AC的方程是y= - x - 1.而 BC 與 x-2y+1=0 垂直，kBC= - 2,直線 BC 的方程是 y-2=-2(xT).由 y= x 1 , y= - 2x+4 , 解得 C (5, 6)考點：直線的點斜式方程。本

17、題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉化求解【例】直線l過點P （2, 1）,且分別與x , y軸的正半軸于 A, B兩點，。為原點.分析：（1）設AB方程為（1）求4AOB面積最小值時l的方程；（2） |PA|?|P耶最小值時l的方程.二，點P （2, 1）代入后應用基本不等式求出 ab的最小值，即得三角形OAB,點P （2, 1）代入得面積面積的最小值.（2）設直線l的點斜式方程，求出 A, B兩點的坐標，代入|PA|?|PB的解析式，使用基 本不等式，求出最小值，注意檢驗等號成立條件.解：(1)設 A (a, 0)、B (0, b ), a0, b0, AB 方程為-1-ab8 （當且

18、僅當 a=4, b=2 時，等號成立），故三角形OAB面積S=ab 此時直線方程為:李詩二 1,即 x+2y 4=0.(2)設直線 l： y- 1=k (x-2),分別令 y=0, x=0 ,得 A (2-, 0), B (0, 1 2k). k2）八則|PA|?|PB|j（4+比工）（1+j）二小的 仙 當且僅當k2=1,即k= 十時，|PA|?|PB取最小值,又 k0),Saaob =1|-2-71|2k+1| =1(2 + ；)(2k+1) =1(4k+ 1 + 4) |(4+4) = 42 k2 k2 k 2當且僅當4k=1,即k=1時取等號。1即 AOB的面積的最小值為 4,此時直線l的萬程為y+1+1 = 0 ,即x2y+4=0【例】已知函數f (苫)=Vx, g (x) =x+a (a0)(1)求a的值，使點M (f (x), g (x)到直線x+y - 1=0的最短距離為(2)若不等式 I 土匚*在xS