高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《三角函數(shù)與解三角形》難題匯編含答案解析

1、【最新】數(shù)學(xué)三角函數(shù)與解三角形高考復(fù)習(xí)知識點一、選擇題2c ,1 .在 ABC 中，若 sinAsinB cos ,則 ABC是()A.等邊三角形B.等腰三角形C.不等邊三角形 D.直角三角形【答案】B【解析】試題分析：因為 sinAsinB coJ C ,所以，sinAsinB 1 SVEBF B B ,利用基本不等式，確定點-8sC，即 222sin Asin B 1 cos (A B),cos( A B) 1 ,故 A=B,三角形為等腰三角形，選 B?？键c：本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式。點評：簡單題，判斷三角形的形狀，一般有兩種思路，一種是從角入手，一種是從

2、邊入 手。2 .如圖，直三棱柱 ABC ABC的側(cè)棱長為3, AB BC, AB BC 3,點E, F分別是棱AB , BC上的動點，且 AE BF ,當(dāng)三棱錐B EBF的體積取得最大值時，則異面直線A F與AC所成的角為()A.2【答案】C【解析】【分析】B.-C.D.設(shè) AE BF a, VB EBFE , F的位置，然后根據(jù) EF / AC ,得到 再利用余弦定理求解.【詳解】A FE即為異面直線 AF與AC所成的角,2a 3 a3 8、_ _-11設(shè) AEBFa，則 Vbebf31a ar3 ，一八a 3 a,即a 一時等號成立, 2即當(dāng)三棱錐BEBF的體積取得最大值時，點 E , F

3、分別是棱AB , BC的中點,方法一：連接一3 -AE , AF ,則 A E J5 , AF 23 亞,A F2AA2 AF223/2521EF -AC2因為EF / AC ,所以 A FE即為異面直線 A F由余弦定理得cos AFE222AF2 EF2 AE22 AF EF與AC所成的角,81 9 457 2 7-2BC、BA、BB分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐方法二：以B為坐標(biāo)原點，以標(biāo)系,3則 A 0,3,0 , C 3,0,0 , A 0,3,3 , F - ,0,02uum AF3umruum uuurAF AC-uuuuuttrAF AC2, 3, 3 , AC 3, 3

4、,0，uuuu uuur . 所以 cos A F, AC所以異面直線 A F與AC所成的角為一 .4故選：C【點睛】 本題主要考查異面直線所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，還考查了推理 論證運算求解的能力，屬于中檔題 .3 .在 ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c,且 ABC的面積S 2j5cosC ,且a 1,b 275,則 c ()A.壓B.布C. Vl9D. V2l【答案】B【解析】由題意得，三角形的面積 S labsinC 2，5cosC ,所以tanC 2, c 5所以cosC ,5由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC 17 ,所以c J17 ,故選

5、B.4 .在 ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c滿足，b2 c2 a2 bc ,uurABuumBC 0，c的取值范圍是（）A.1,2B.1 3C. 一，一2 2D.1,i利用余弦定理八b2 cosA 一2 c2bcA 一，由3uur uuur uur uurAB BC | AB | | BC | cos( B) 0,可得B為鈍角，由正弦定理可得b c sin B sin(120o B) J3sin(B 30o),結(jié)合 B 的范圍，可得解 【詳解】, 222由余弦定理有： cosA -,又b2 c2 a22bcbc故 cosA.222b c a2bcbc 12bc 2又A為三角形的

6、內(nèi)角，故 A 一3_3福萬二上-23 sin B sinC sin(120 B)2 uuu uuruiuruum又 AB BC | AB | | BC |cos( B) 0故cosB 0 B為鈍角b c sin B sin(120o B)- sin B -cos B . 3 sin( B 30o)22Q B (90o,120o),可得B 30o (120o,150°) sin(B30o)力)-o -,3 3b c -、3 sin( B 30 )(,)2 2故選：B【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理和向量的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù) 學(xué)運算能力，屬于中檔題5.已知在銳

7、角 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,若一 _ i1112bcosC ccosB ,貝U 的取小值為()tan A tan B tanCA. 2-7B. 45C. D. 2娓【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知條件，把邊化成角得到B,C關(guān)系式，結(jié)合均值定理可求.【詳解】2bcosC ccosB, 2sin BcosC sinCcos B ,tanC 2tanB.又 A B C ,tan A tan B Ctan B Ctan B tan C 3tan B 3tan B"""-"""2 _T 2 _?)1 tan B

8、 tanC12tan B2tan B121112 tan B 11127- tan B .tan A tan B tanC 3tan B tan B 2 tan B 36tan B又.在銳角 ABC 中，tanB 0, -. 2tan B 一7- 2./-tanB 7R7 ,當(dāng)且3 6tan B 3 6tan B 3僅當(dāng)tan B 立時取等號，21112.7 ,故選 A.tan A tan BtanC min 3【點睛】 本題主要考查正弦定理和均值定理，解三角形時邊角互化是求解的主要策略，側(cè)重考查數(shù) 學(xué)運算的核心素養(yǎng)6.在 ABC 中，若 sinA:sinB:sinC 2:3: 4,則 ABC

9、是()A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】 【分析】由題意利用正弦定理，推出a, b, c的關(guān)系，然后利用余弦定理求出cosC的值，即可得解.【詳解】. sinA： sinB： sinC=2： 3： 4，由正弦定理可得：a： b: c=2： 3: 4,. .不妨令 a=2x, b=3x, c=4x,2_2424x2 9x2 16x22 2x 3x222由余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC, 所以 cosC=a-2ab,0<C< Tt,.C為鈍角.故選B.【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，?？碱}型.7.

10、已知函數(shù)f x72sinx 30的最小正周期為，若f xif x22,則x2的最小值為（）A.一2【答案】A【解析】B.-3C.D.一4由正弦型函數(shù)的最小正周期可求得,得到函數(shù)解析式，從而確定函數(shù)的最大值和最小值；卞據(jù)f Xi f x22可知x Xi和x x?必須為最大值點和最小值點才能夠滿足等式；利用整體對應(yīng)的方式可構(gòu)造方程組求得Xi X2ki k2 , ki,k2 Z ；從2而可知k1 k20時取最小值.【詳解】由f x最小正周期為可得：2-2 f xJ2sin 2x 一3f x 2 , f x 2max,minQ f x1f x22 x x1和x x2分別為f x的最大值點和最小值點設(shè)x

11、 Xi為最大值點，x X2為最小值點2x1 2k132 k1,k2 Zx1x2k1k22x22k232當(dāng) k1 k20時，x1x2 min本題正確選項：A【點睛】 本題考查正弦型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及到正弦型函數(shù)最小正周期和函數(shù)值域的求解;關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的最值確定x1和x2為最值點，從而利用整體對應(yīng)的方式求得結(jié)果8.能使 y sin(2x ) 百 cos(2x是()為奇函數(shù)，且在0,上是減函數(shù)的的一個值5冗 A.3【答案】C【解析】 【分析】2C.一3D.首先利用輔助角公式化簡函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求得 【詳解】的值.兀 TT依題意y 2sin 2x 一,由于函數(shù)為奇函數(shù)，故

12、 一 k% 女冗一，當(dāng) 333.2 1t5 ir.2 1tk1,2時， 一或一，由此排除B,D兩個選項.當(dāng)一時，3335兀y 2sin 2x 兀 2sin 2x在0,一 上是減函數(shù)，付合題息.當(dāng) 時，43y 2sin 2x 2 冗2sin2x,在0,一上是增函數(shù)，不符合題意4故選C.【點睛】 本小題主要考查誘導(dǎo)公式的運用，考查三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題k _、9. an為等差數(shù)列，公差為 d,且0 d 1, a5 y(k Z), 2,22,sin a3 2sin a5 cosa5 sin a7 函數(shù) f(x) dsin(wx 4d) (w 0)在 0, 上單倜 3且存在X00,2使得

13、f （X）關(guān)于（X0,0）對稱，則w的取值范圍是（2A.0, 3B.3 0,22 °。3,D.3 34,2推導(dǎo)出sin4d=1,由此能求出d,可得函數(shù)解析式，利用在°，23上單調(diào)且存在-2.X00,，f3x f 2X0 x 0 ,即可得出結(jié)論.an為等差數(shù)列,公差為 d,且0vdv1, a5.22sin a3+2sina5?cosa5 = sin a7, 1- 2sina5cosa5= sin2a7 sin2a3=a3 a7 a2sin - cos -/. sin4d = 1,a7. a7a3-sin -2sina5cos2d?2cosa5sin2d,.d 81.f (x)

14、cos8cX,在X0,2上單調(diào)3 CO 2又存在X00,所以f(x)(0,2，）上存在零點,3即<2得到故答案為3 34,2故選D【點睛】本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確求解數(shù)列的公差是本 題關(guān)鍵，考查推理能力，是中檔題.10 .如圖，在等腰直角ABC中，D, E分別為斜邊BC的三等分點（D靠近點過E作AD的垂線，垂足為F ,則AFv3 uuur A. -AB4 uuv C. AB【答案】D【解析】 【分析】1 uuv -AC 58 uuur AC15B.D.2 uuv -AB58 uuv AB 151 uuur -AC 54 uuuv AC15設(shè)出等腰直角三

15、角形 ABC的斜邊長,由此結(jié)合余弦定理求得各邊長，并求得cosuuur 4 uuuDAE,由此得到 AF AD,進而利用平面向量加法和減法的線性運算，將 5uurAF4 uuurAD表本為以 AB, AC為基底來表小的形式.uuu uuur5【詳解】設(shè) BC 6,則 AB AC 372, BD DEADAE2_ 2BD BA2BD花BA cos- 4cos DAE10 10 42 10222考查利用基底表示向量,屬于中檔題AFAF4uuur4 uuu所以所以AFAD.ADAE55uuuuuruuruuu duuu uur 2 uur因為ADAB1BCAB AC AB - AB333uuur42

16、 uur1 uur8 uuu 4 uuur所以AF-AB-ACABAC .53315151 uuur 1AC , 3故選：D【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形,11 .已知函數(shù)f (x) = sin2x+sin2 (x &),則f (x)的最小值為(1A.一2C 3 C. 4【解析】【分析】先通過降哥公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為1一 cos23sin2x11 cos2因為cos 2x 31,1 ，【詳解】已知函數(shù) f (x) = si吊x+sin cos2x =1 - 2 (x ) 3,-21 cos 2x=1 cos2x3，1所以f (x)的最小值為12故選：A 本題主要考查倍角公

17、式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12.函數(shù)f X1 sin x cosx1 sin x cosxsin x cosx1 sin x cos x1tanx 3一的最小值為2dW(). 1 62A.利用二倍角公式化簡函數(shù) f x ,求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值即可1 sin x cosx1 sin x cosx1 sin x cosx1 sin x cosx2 xxx2sin 2sin cos222。2 xxx2cos - 2sin - cosO 2 x2cos 一2x x2sin cos222sin2x 2sin - cos-222x . x2sin - s

18、in 一x cos-2x . x2cos- sin -x cos-2一 x . x2cos - sin 一x cos2x . x2sin - sin 一x cos2.一 x sin 一2x cos-2x cos-2.一 xsin 一2sin xsin x1tanx 3f (x)2sin xsin xcosx2cosxsin13cos2 xc 36cos x2 cos223sin xcos x令 t cosx 0,16t1為減函數(shù)，且所以當(dāng)0x 時,31, g0；，從而f ' x0.xmin533故選:【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，換元法，屬于中檔題1

19、3.若函數(shù)y f x同時滿足下列三個性質(zhì)：最小正周期為；圖象關(guān)于直線A.C.一對稱;3sincos在區(qū)間一,一上單調(diào)遞增，則6 32x2xB.D.利用性質(zhì)可排除B，利用性質(zhì)可排除C利用性質(zhì) 足三個性質(zhì).sinx的解析式可以是（cos 2x 一 3可排除D ,通過驗證選項A同時滿逐一驗證，由函數(shù)f x的最小正周期為，而B中函數(shù)最小正周期為；42，故排除B；又coscos 一 0 所以 y cos 22x 一 6的圖象不關(guān)于直線x 對稱, 3故排除C；2x 3cos2x一,一 上單調(diào)遞減, 6 3故排除D；2xsin2x增.由周期公式可得T2_2當(dāng) x 時,sin（2 一 一）33 6sin- 1

20、,所以函數(shù) 2sin 2x 同時滿足三個性質(zhì).6故選A.【點睛】6325本題考查了三角函數(shù)的周期性對稱性，單調(diào)性，屬于中檔題.14.已知0,sin24A. 一25【答案】BB.2425-7C. 25D.725根據(jù)余弦的二倍角公式先利用sin一求得cos 2 3.再由誘導(dǎo)公式求出cos.根據(jù)角的取值范sin 2-，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系中的平方關(guān)系求得6圍，舍去不合要求的解即可【詳解】由余弦二倍角公式可得cos1 2sin* 22725而 cos 2cos 2sincos由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得cos因為0,4-,而 sin 33 3所以所以3，即2又因為sin250,所以2sin2 22425

21、3故cos所以cos2425故選:B【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的化簡應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變形及角的范圍確定綜合性較強，屬于中檔題.15.若函數(shù)y tan2xX 0, 的圖象都在X軸上方，則實數(shù)k的取值范6圍為（）B.C.3,D.3,0計算3 tan2x2x 3k恒成立，得到答案.tan 2x 0,3函數(shù) y tan 2x k , x 30,的圖象都在x軸上方, 6即對任意的x0,一,都有 tan 2x 63k 0 ,即 tan 2x 3' tan 2x -73,k33, k 33.故選：A.【點睛】 本題考查了三角函數(shù)恒成立問題，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域是解題的關(guān)鍵16.已

22、知曲線Ci : y sin x ,C2: yicos x 一，則下面結(jié)論正確的是（）23A.把Ci上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的i4-倍,2縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移一個3單位長度，得到曲線 C2B.把Ci上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個3單位長度，得到曲線 C2C.把Ci上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的i4-倍,2縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個3單位長度，得到曲線 C2D.把Ci上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移一個3單位長度，得到曲線 C2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期變換和左右平移變換依次得到各選項中所

23、得的函數(shù)解析式，從而得到 正確選項.【詳解】A中，將y sin x橫坐標(biāo)縮短到原來的sin2x；向右平移一個單位長度后32得：y sin 2 x sin 2x 33sin 2xcos 2x , A錯誤;6B中，將y sin x橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得：y.isin - x ；向右平移 -個單位長度后，口. i. i得：y sin- x sin -x 2326cos 一 2i2-x 一 cos 一263誤;C中，將y sin x橫坐標(biāo)縮短到原來的1 .、1倍得：y sin2x；向左平移個單位長度后232得：y sin 2 x sin 2x 33sin 2x 一 cos 2x 一 , C 錯誤;2

24、66D中，將y sin x橫坐標(biāo)伸長到原來的-12倍得：y sin x；向左平移 一個單位長度后23得：ysin- x1sin - x 一261 cos - x 226故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期變換和平移變換的問題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確掌握變換原則，得到變 換后的函數(shù)解析式.17 .關(guān)于函數(shù)f x sin tanx cos tanx有下述四個結(jié)論: f x是奇函數(shù);f x在區(qū)間0,單調(diào)遞增；4是f x的周期；f x的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】計算f x sin tanx cos tanx得到 錯誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

25、判斷法則判斷正確，f x f x正確，假設(shè)f x的最大值為2,取f a 2,得到矛 盾，錯誤，得到答案.【詳解】f x sin tanx cos tanx ,f x sin tan x cos tan x sin tanx cos tanx ,所以f x為非奇非偶函數(shù)， 錯誤；當(dāng) x 0,一時，令 t tanx, t 0,1 , 4又t 0,1時y sint單調(diào)遞增，y cost單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則,當(dāng) x 0, 時，y sin tanx , y cos tanx 均為增函數(shù)， 4所以f x在區(qū)間0,- 單調(diào)遞增，所以正確； 4f x sin tan x cos tan x s

26、in tanx cos tanx f x ,所以 是f x的周期，所以 正確；假設(shè)f x的最大值為2,取f a 2,必然sin tana 1 , cos tana 1,則tana 2k , k Z與tana 2k , k Z矛盾，所以f x的最大值小于 22,所以錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，周期，最值，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用._ 2兀 .18 .在三棱錐P ABC中，PA 平面ABC, BAC ，AP 4,3AB AC 273,則三棱錐P ABC的外接球的表面積為（）A. 32 兀B. 48 兀C. 64nD. 72 幾【答案】C【解析】【分析】先求出VABC的外接圓的半徑，然后取 VABC的外接圓的圓心 G ,過G作GO/AP ,1 一且GO 2AP 2,由于pa 平面ABC,故點。為三棱錐P ABC的外接球的球心, OA為外接球半徑，求解即可.【詳解】在VABC 中，AB AC 273, BAC2，可得 ACB3AB則VABC的外接圓的半徑r