第六講函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、第六講第六講 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式：設(shè)函數(shù)極限形式：設(shè)函數(shù) y = f (x) y = f (x) 在在 x0 x0 的一個(gè)鄰的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，并且域內(nèi)有定義，并且. )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y = f ( x ) y = f ( x ) 在在 x0 x0處連續(xù)，或稱處連續(xù)，或稱 x0 x0 為函數(shù)為函數(shù) y = f (x) y = f (x) 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) . .對(duì)自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy

2、xoy0 xxxy0lim0yx)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , 設(shè)函數(shù)增量形式增量形式:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , 設(shè)函數(shù)假設(shè)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf若函數(shù)若函數(shù) y = f (x) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處處有：有：，或或 )()(lim )()(lim0000 xfxfxfxfxxxx 則分別稱函數(shù)則分別稱函數(shù) y = f (x) y = f (x) 在在 x0 x0 處是左連續(xù)或右處是左連續(xù)或右連續(xù)連續(xù). . 由此可知，函數(shù)由此可知，函數(shù) y = f (x) y = f (x) 在在 x0 x0 處連續(xù)處連續(xù)的充要條件可表示為：的充要條件可

3、表示為：. )(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx 即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)處即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)處左、右連續(xù)左、右連續(xù)0在區(qū)間連續(xù)：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)：若函數(shù) y = f (x) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的各內(nèi)的各點(diǎn)處均連續(xù)，則稱該函數(shù)在開區(qū)間點(diǎn)處均連續(xù)，則稱該函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).若函數(shù)若函數(shù) y = f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則理解為除在上連續(xù)，則理解為除在(a, b)內(nèi)內(nèi)連續(xù)外，在左端點(diǎn)連續(xù)外，在左端點(diǎn)a為右連續(xù)，在右端點(diǎn)為右連續(xù)，在右端點(diǎn)b為左連續(xù)為左連續(xù). 幾何意義：函數(shù)y = f (x)在(a, b)連續(xù)的幾

4、何意義是：函數(shù)y = f (x) 的圖形在(a, b)內(nèi)連綿不斷。abx0Oyx.),()(1連連續(xù)續(xù)在在時(shí)時(shí)，因因此此當(dāng)當(dāng) xfa區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)；在在),0(),0,( ,)1ln(,2cos為為初初等等函函數(shù)數(shù)解解xxax ),0(12coslim)(lim000fxxfxxx 處處，.0,2cos0,)1ln()(axxxxxaxf）連連續(xù)續(xù)，求求，在在（設(shè)設(shè) 例例機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ,)1ln(lim)(lim00axxaxfxx xxxxcsc.seccot,tan，在其定義域內(nèi)連續(xù)1、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)

5、有限次和在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差差 , 積積 ,連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如例如,二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性.),(), 0(sin1ln1)(5連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)例例 eexxxxxf xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函

6、數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(0 xf 復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x且即例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因而xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin結(jié)論結(jié)論1 1 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。結(jié)論結(jié)論2 2 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。2 2、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性在在四、四、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的

7、間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn) . 在無定義 ;xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,

8、)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn) .討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數(shù)在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn). x =1 為函數(shù)的間斷點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn).yxO11P(1,2)y x + 1例例解解內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式可