一類n階非線性微分方程y(n)=p(x)y2的級數(shù)解_第1頁
一類n階非線性微分方程y(n)=p(x)y2的級數(shù)解_第2頁
一類n階非線性微分方程y(n)=p(x)y2的級數(shù)解_第3頁
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一類n階非線性微分方程y(n)=p(x)y2的級數(shù)解林文業(yè)湛江公路工程大隊 郵編:52400 電要: 階非線性微分方程一般很難用初等解法求解,但是可以用多重積分級數(shù)法求得通解。關鍵詞: 階非線性微分方程; 多重積分級數(shù)法; 通解。一. 基本解法對于階非線性微分方程 , (1)其中為實連續(xù)函數(shù), 。先作區(qū)間變換,令,則,(1)變?yōu)?(2)由于為實連續(xù)函數(shù),因而存在一正實數(shù),使得設,那么(2)變?yōu)?(3)令,則(3)變?yōu)?(4)假設微分方程(4)有級數(shù)解 (5)代入(4)的左邊得到 代入(4)的右邊得到 令 ,解,得個初始線性無關基解,。因此微分方程(4)的通解為其中、為任意常數(shù)。把,代入上式即得微分方程(1)的通解為其中、為任意常數(shù)。定理: 若函數(shù)且,那么多重積分級數(shù) 其中,級數(shù)除第一項外,其余每一項都由前一項代入下式得出 (1)在區(qū)間上一致收斂。證明: 由于,因而同理一般地假設 ,那么 由于為正項收斂級數(shù),因而由數(shù)學歸納法及維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法可證上述多重積分級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。參考文獻1. 華北師范大學數(shù)學系編常微分方程、劉玉璉、傅沛仁編數(shù)學分析講義。2. 2000年湛江師范學報.增刊。作者簡介: 林文業(yè),廣東省信宜鎮(zhèn)

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