證題技巧之三——證明線段或角地和差倍分

1、證題技巧之三證明線段或角的和差倍分一、證明線段或角的倍分1 、方法：長(zhǎng)（或大）折半短（或?。┘颖? 、判斷：兩種方法有時(shí)對(duì)同一個(gè)題都能使用，但存在易繁的問(wèn)題，因此，究竟是折半還是加倍要以有利于利用已知條件為準(zhǔn)。3 、添線：為折半或加倍而添；為折半或加倍后創(chuàng)造條件或利于利用已知條件而添。4 、傳遞：在加倍或折半后，還不易或不能證明結(jié)論，則要找與被證二量有等量關(guān)系的量來(lái)傳遞，或者添加這個(gè)量來(lái)傳遞。此時(shí)，添線從兩方面考慮： 造等量為證等量與被證二量相等而添。 參考例4、例 5、例 6。例 1 AD 是ABC 的中線，ABEF 和 ACGH 是分別以 AB 和 AC為邊向形外作的正方形。求證：FH=2

2、AD證明：延長(zhǎng) AD 至 N 使 AD=DN則 ABNC 是平行四邊形CN=AB=FAAC=AH又FAH+ BAC=180 °BAC+ ACN=180 °FAHNCAFH=ANFH=2AD例 2、ABC 中，B=2 C，AD 是高， M 是 BC 邊上的中點(diǎn)。求證： DM=1AB2證明：取 AB 的中點(diǎn) N ，連接 MN 、DN則 MN AC 1= C2= B2=2 1 1= DNM DM=DN1又AN=DN=NDDM=AB2例 3 ABC 中， AB=AC ，E 是AB 的中點(diǎn)， D 在 AB 的延長(zhǎng)線上，且DB=AC 。求證： CD=2CE證明：過(guò) B 作 CD 的中線

3、 BF1則BFACA= DBF2AB=AC ，E 是 AB 的中點(diǎn)BF=AE又 DB=AC AECBFD DF=CE CD=2CE作業(yè)：1 、在ABC 中， D 為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AD 的中點(diǎn)， BE 的延長(zhǎng)1線交 AC 于 F，求證： AF=FC22 、AB 和 AC 分別切 O 于 B 和 C，BD 是直徑。求證 BAC=2CBD3 、圓內(nèi)接ABC 的 AB=AC ，過(guò) C 作切線交 AB 的延長(zhǎng)線于 D，DE 垂直于 AC 的延長(zhǎng)線于 E。求證： BD=2CE例 4 從平行四邊形的鈍角頂點(diǎn) A 向 BC 邊作垂線，垂足為 E， BD 交 AE 于 F 且 FD=2AB 。求證：

4、ABD=2 DBC證明：取 FD 的中點(diǎn) M ，連接 AM ，則 AB=FM=MD=AM1= 2 3= 43= 1+ 2=2 22= 53=2 54=2 5即ABD=2 DBC例 5 若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直， 則圓心到四邊形一邊的距離等于這邊的對(duì)邊的一半。分析：從圖上看， OE 與 AD 之間沒(méi)有任何關(guān)系，這時(shí)我們就要想法找一個(gè)量與他們倆都有關(guān)系的量。借助這個(gè)量進(jìn)行等量傳遞。但這個(gè)量也找不到。于是我們就想法造這個(gè)量。證明：過(guò) B 作直徑 BF，連接 CF。則 OE=1CF2在DHC 和FCB 中 DHC= FCBBDC= F 1= 2AD=CFAD=2OE例 6E 是正方形 ABCD

5、的 CD 邊的中點(diǎn)。 F 是 EC 的中點(diǎn)。求證：1DAE=FAB2證明：作FAD 的平分線交 BC 于 H，交 DC 的延長(zhǎng)線于 G則1= 2= GFA=FG設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a則 AF2=AD 2 +DF 25AF=a=FGCG=FG-FC=a4ABH GCH ADE3= 21DAE=FAB2作業(yè)：4 、ABCD 是正方形， P 是 CD 上一點(diǎn)， AP=PC+BC 。M 是 CD的中點(diǎn)。求證： BAP=2 MAD5 、ABC 中， AB=AC 。D 是 AC 的中點(diǎn)， DE 平分ADB ，交 AB 于 E。圓 ADE 交 BD 于 F。求證： BF=2EF BF=2AE6 、求證：三角形任

6、一頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對(duì)邊距離的2 倍。二、證明三倍以外的倍分問(wèn)題1、 方法：當(dāng)是偶數(shù)倍時(shí)，采取折半再折半或折半傳遞。當(dāng)是奇數(shù)倍時(shí)采用傳遞或減一傳遞。1例 1ABC 中， E 是 AB 的中點(diǎn)。 D 是 AC 上一點(diǎn)，且 CD=21DA 。BD 交 CE 于 F。求證： FD=BE41證明：作 EGAD2EG=CDBG=GDGEFDCF1FD=BE4例 2ABC 中，C 是鈍角， EC 垂直于BC 交 AB 于 E 且BE=2AC 。求證：外角 ACD=3 B證明：作 CFAB 則1= B2= A取 BE 中點(diǎn) G,連接 CG則B= 4A= 33=2 4= 2ACD= 2+ 1=3 B例

7、 3E 是平行四邊形ABCD 的邊 AB 的中點(diǎn)， F 在 AD 上，且11AF=AD ，F(xiàn)E 交 AC 于 G。求證：AG=35AC證明：延長(zhǎng) FE 交 CB 的延長(zhǎng)線于 H則AFEBHEAF=BHAD=3AFCH=4AFAFGCHGCG=4AG1 AG=AC5例 4AB 是O 的直徑。弦 CD 交 AB 1于 P，且 PC=PO 。求證： AC= 3BD證明：連接 OC 、OD則1= C= D3= 1+ C=2 1BOD= 3+ D=3 1 1AC= 3BD作業(yè)：7 、ABC 中， AC 垂直2BC，AD BC 交 BD 于 D，BD 交 AC 于 E 且 ED=2AB 。求證：ABE=3

8、ABC8、延長(zhǎng) O 的半徑 OA 到 B，使 AB=OA ，CD 切 O 于 D，且 CD 不經(jīng)過(guò) AB 之間。 BCCD 于 C。求證：ABC= CAD9、AB 弧=120 °，PA、PB 切 O 于 A 、B。O，分別切 AB 弧、1PA、 PB 于 C、D 、F。求證： O， 的周長(zhǎng) =O 的周長(zhǎng)。3三、證線段或角的和差方法 1 、在長(zhǎng)者上截一短者，證明余者等于另一短者。方法 2、延長(zhǎng)一短者，使其等于二短者之和。證明延長(zhǎng)后與長(zhǎng)者相等。例 1ABC 是圓內(nèi)接正三角形， P 是 BC 弧上任一點(diǎn)。求證：PA=PB+PC 。證明：在 AP 上截 AE=PC ，連接 BE1= 2AB=

9、ACPC=AEABECBPBE=BP3= 4=60 °BP=BE=EPPA=PB+PE證法 2：在 AP 上截 AE=PB 連接 CE則ACEBCP 根據(jù)APC=60 °可證PEC 是正三角形，從而命題得證。證法 3、延長(zhǎng) BP 交 AC 的延長(zhǎng)線于 E，則BPA+ APC+ CPE=180 °ACB+ BCP+ PCE=180 °， 可證PCE 是正三角形。繼而可證 BECAPC，從而命題得證。證法 4、延長(zhǎng) BP 至 E，使 PE=PC 。連接 CE。從而可證PCE 是正三角形。繼而可證BECAPC，從而命題得證。（右圖可用于證法3 和證法 4）例2

10、 ABC 中， AB=AC ，A=100 °,BD 是角平分線。求證：BD+AD=BC證明：在 BC 上截 BE=BD 。則3= 4 A=100 °AB=AC ABC= C=40 °1= 2=20 °3= 4=80 °5=180 °-ADB- 3=40 °= CDE=EC又 A、B、E、D 四點(diǎn)共圓 AD=ED BD+AD=BC證法2延長(zhǎng)BD至E，使DE=AD 。在 BC 上截 BF=BA ，則ABD FBDAD=FD=DEADB= BDF=60 °FDC=60 °= EDCCEDCFDDEC= DFC=

11、80 °= FCEBC=BE=BD+DE=BD+AD作業(yè)10 、在ABC 中，B=2 C，AD 是角平分線。求證：AB+BD=AC 。11 、ABC 中，CE 是高， AB=AC ，D 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， DF AB 于 F，DM AC 交 AC 延長(zhǎng)線于 M 。求證： DM=DF-CE 。12 、E、F 分別是正方形 ABCD 邊 BC 和 CD 上的點(diǎn)且EAF=45 °。求證： EF=BE+DF方法 3、利用三角形的面積。判斷：當(dāng)結(jié)論中的三條線段分別是底邊相等的三個(gè)三角形的高時(shí)，考慮利用三角形的面積進(jìn)行證明。例 3 求證：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰

12、上的高。已知：如圖 AB=AC PE AB PD AC CFAB求證： CF=PE+PD1證明： SAPB=AB·PE21SAPC=AC·PD2S ABC=SAPB+S111APC AB ·CF=AB ·PE+222AB·PDCF=PE+PD方法 4：利用等量傳遞例 4 如圖 RtABC 中，A=90 °AB=AC ，MN 過(guò) A，BDMN 于 D ，CEMN 于 E。求證： DE=BD+CE證 明 ： 1+ 2=90 °2+ 3=90 °1= 3AB=ACADB CEADA=CEBD=AEDE=DA+AE=BD+

13、CE例 5 如圖 G 是ABC 的重心，直線 MN 過(guò) G。AD MN 于 D，BEMN 于 E，CFMN 于 F。求證：AD=BE+CF證明：連接 AG 并延長(zhǎng)交 BC 于 H ，1作 HI MN 于 I，則 HI=(BE+CF)2AGAD2ADG HIG =AD=2HI AD=BE+CFGHHI1例 6 定理：直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩條直角邊的和減斜邊的差。已知：如圖 RtABC 中C=90 °O 分別切BC、CA、AB 于 D、E、F，設(shè) O 的直徑是 d 求證： d=AC+BC-AB證明：連接 OE、OD 則 CD+CE=dDC=BC-BD=BC-BF CE=AC-AE=

14、AC-AF DC+CE=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB d=AC+BC-AB作業(yè)：13 、求證：正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和等于高。14 、在ABC 中，角平分線 BD、 CE 相交于 O 。過(guò) O 作 MN BC，分別交 AB、AC 于 M 、N 。求證： MN=BM+CN。15 、MN 是平行四邊形 ABCD 形外任一條直線。求證：一對(duì)角線上兩頂點(diǎn)到 MN 的距離之和等于另一條對(duì)角線上兩頂點(diǎn)到 MN 的距離之和。16 、CD 是 Rt ABC 斜邊上的高。求證：內(nèi)切于ABC、CAD 、CBD 的三個(gè)圓的半徑的和等于CD。四、證線段或角的和差倍分方法： 1、先作出和差，再證

15、明倍分。方法： 2 、先證明倍分，再計(jì)算和差。 （此法多用于證線段）方法： 3 、用計(jì)算的方法純代數(shù)法 證明和差倍分。（此法多用于證角，便于計(jì)算。 ）注意：在證明角的和差倍分時(shí)，涉及到的量比較多，往往用單一字母表示角進(jìn)行計(jì)算。例 1ABC 中， ABAC，AD 是角平分線， M 是 BC 的中點(diǎn)，1（AB-AC ）EM AD 交 AB 于 E，求證： BE=2證明：在 AB 上截 AF=AC則FCAD EM FC BF=AB-ACBM=MC BE=EF11BE=BF=(AB-AC)2 2例 2 梯形 ABCD 的腰 CDBA。E、F 是 AD 、BC 的中點(diǎn)。求1證： EF=（BC-AD ）2

16、證明：作 EM AB 交 BC 于 M ，ENCD 交 BC 于 N ，則AE=BM ，ED= FNMN=BC-ADCD BANEEMEF=MF=FN1 EF= （BC-AD ） 2證法二：延長(zhǎng)BA、CD 相交于 O ，連接 OF 交 AD 于 E，則， ，BF=FCBF:FC=A E : E DA E，= E，DE 和 E，都是 AD的中點(diǎn)，E 和 E， 重合。11OE=ADOF=BC2211EF=OF-OE=BC-AD221 EF= （BC-AD ） 2例 3 四邊形 ABCD 中，DAB 和ABC 的角平分線相交于點(diǎn) O。1求證：O=（C+ D）2證明：設(shè)DAB= ABC= C= D= 1O=180 ° (+ )2+ + + =360 ° + =360 °(+ )112(+ )=180 ° (+ )2111O=18