北大隨機過程課件：第 5 章 第 4 講 高斯隨機過程通過非線性系統(tǒng)

1、高斯隨機過程通過非線性系統(tǒng)（續(xù)1） 高斯隨機過程通過半波整流器的研究bx,半波整流非線性函數(shù)關(guān)系：y=0,x0 x<01輸入是窄帶平穩(wěn)實高斯隨機過程輸入隨機過程的概率密度f;t(x)=x2 exp22221輸出隨機過程的概率密度12U(yt) f;t(y)=(yt)+2各階矩、方差偶數(shù)階矩，考慮到輸入窄帶平穩(wěn)實高斯隨機過程的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)， E2m=奇數(shù)階矩 12m1bE2m=b2m2m(2m1)"31 22E2m+1=均值 m!222mb2m+12m+1(2m1)"531E(t)=方差 12bD(t)=E2(t)E(t)221221122=b(11/)=bb2

2、22相關(guān)函數(shù)R()=R(t1,t2)=222x12+x2 2()x1x2x1x2expdx1dx22222(1()(1()00b2其中，()=Ext1xt22，利用典型的積分變換1，得：b212212R()b+bR()+R2()2244R()=2()功率譜P(f)=R()ej2fdb1221b(f)+b2P(f)+2442P(f)P(ff)df2輸入信號是矩形帶通窄帶實平穩(wěn)隨機過程輸入的功率譜密度：N0/2,P(f)=0,f0ff<f<f0+22 otherwise2fN0非線性器件輸出信號的功率譜密度：直流分量：12212b(f)=b(fN0)(f) 22低頻分量0fffb2N0

3、21ff422b2N0f=142f 帶通信號分量fcf/2ffc+f/212N0b42二倍頻分量2fcff2fc+ffb2N0f1f4222b2N0f=182f 低通濾波器輸出信號的功率譜密度：直流分量：12212b(f)=b(fN0)(f) 22低頻分量0fffb2N021ff4222b2N0f=142f 典型的坐標(biāo)變換1原積分：R()=R(t1,t2)=222x12+x2 2()x1x2xxexpdxdx12122222(1()(1()00b2其中，()=Ex(t1)x(t2)/ 2變換u=v=x122(12()x222(12()(x1,x2)=22(12() (u,v)積分R()=R(t

4、1,t2)b2=22(12()1/2=2x12+x22()x1x2dx1dx2 expxx12222(1()0022uvexpu+v2()uvdudv002b22(12()3/2()典型的坐標(biāo)變換2積分之間的關(guān)系：I=expu2+v22wuvdudv00()dI=2uvexpu2+v22wuvdudvdw00()22uvexpu+v2wuvdudv=00()1dI2dw典型的坐標(biāo)變換3原積分：I=expu2+v22wuvdudv00()積分變換：從u,v平面到r,平面，參數(shù)cos=w1,(0,)rcos+2u=sin， rcos2v=sin注意到下列關(guān)系：u=0,v=0,2+=,=2222,=

5、222urucos+v2sinr=vrsin+2sinrcos2rsin =sinrsin2sinu2+v22()uvcos2+cos2cos+cos+r22222r2cos2=r2sinsinsin2sin2r2(1+cos(+2)+1+cos(2)2coscos2coscos2) =2sin2r2(1+cos(+2)+1+cos(2)=2sin2cos21cos(+2)cos(2)=r2原積分：I=expu2+v22wuvdudv00()2=02rexpr2drdsin/2+sin1w=2sin2w2cos=w=/2sin1w原積分：dId/2+sin1w=dwdw2w21ww2+/2+sin1ww2w2=21w21w1=+/2+sinw23/2221w21w()()原積分：22+2wuvdudv=uvexpuv00()1dI2dw1=1w+41w241w23/2(/2+sinw)原積分：R()=R(t1,t2)2x12+x22()x1x2b2dx1dx2x1x2exp=22222(1()002(1()1221/2b(1()+()/2+sin1()21221211b1()4()6()"=2242462=() 1313()+5(