復(fù)變函數(shù)與積分變換(劉建亞版)2.1講解_第1頁
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文檔簡介

1、 (3可導(dǎo)與連續(xù) 若 w=f (z 在點(diǎn) z0 處可導(dǎo) Þ w=f (z 點(diǎn) z0 處連續(xù). Ü ? 證明 : 若f ( z 在z0可導(dǎo), 則"e > 0, $d > 0, f ( z 0 + Dz - f ( z 0 使得當(dāng) 0 < Dz < d , 時(shí), 有 - f ¢( z 0 < e , Dz f ( z 0 + Dz - f ( z 0 令r (Dz ) = - f ¢( z0 , 則 lim r (Dz ) = 0, Dz ® 0 Dz 由此可得f ( z0 + Dz - f ( z0 = f

2、 ¢( z0 Dz + r (Dz )Dz , Dz ® 0 lim f ( z0 + Dz = f ( z0 , 所以f ( z 在z0連續(xù) 二. 解析函數(shù)的概念 定義 如果函數(shù)w=f (z在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，則稱f (z在z0解析； 如果f (z在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 f (z在D內(nèi)解析，或稱f (z是D內(nèi)的解析函數(shù) (全純函數(shù)或正則函數(shù)）。 如果f (z在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f (z的奇點(diǎn)。 A (1 w=f (z 在 D 內(nèi)解析 在D內(nèi)可導(dǎo)。 Û (2 函數(shù)f (z在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。 例如 (1 w=z2 在整個(gè)復(fù)

3、平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù)； (2 w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù)； (3 w=zRez 在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例4。 定理1 設(shè)w=f (z及w=g(z是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)， 則 f (z±g(z，f (zg(z 及 f (z ¤ g(z (g (z0時(shí) 均是D內(nèi)的解析函數(shù)。 由以上討論Þ P ( z = a0 + a1 z + L + an z n是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù)； P(z R( z = 是復(fù)平面上 (除分母為 0點(diǎn)外的解析函數(shù) . Q( z 定理 2 設(shè) w=f (h 在 h 平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析, h=g(z 在 z 平面上的區(qū)域 D

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