(完整版)兩角和與差的正弦余弦正切公式

1、兩角和與差的正弦余弦正切公式教學(xué)目標1能根據(jù)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦公式，并靈活運用 (重點 )2能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式 (難點 )3掌握兩角和與差的正切公式及變形應(yīng)用(難點、易錯點 )基礎(chǔ) 初探 教材整理 1兩角和與差的余弦公式閱讀教材128“思考 ”以下至 “探究 ”以上內(nèi)容，完成下列問題 .P名稱簡記符號公式使用條件cos()cos兩角差的余弦公式C( )cos sin，Rsincos()cos兩角和的余弦公式 cossin，RC( )sincos 75cos 15 sin 75sin 15的值等于 _【解析】逆用兩角和的余弦公式可

2、得cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0第1頁共21頁教材整理 2兩角和與差的正弦公式閱讀教材 P128“探究 ”以下內(nèi)容，完成下列問題1公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sin cos、Rcos sin 兩角差的正弦S( )sin()sin cos、Rcos sin 2.重要結(jié)論輔助角公式y(tǒng)asin xbcos x2b2 ，不同時為0)，其中cosasin(x )(a ba，sin ba2b2a2b2判斷 (正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的 ()(2)存在 ，R，使得 si

3、n()sin sin 成立 ()(3) 對于任意， R ， sin( ) sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24 sin 36sin 24 sin 30.()解： (1).根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得(2).當 45，0時，sin()sin sin .(3).當 30， 30時，sin()sin sin 成立(4).因為 sin 54cos 24sin 36sin 24第2頁共21頁 sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正確【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理 3兩角和與差的正切公式閱讀教材 P129“探究 ”以下至 “例 3

4、”以上內(nèi)容， 完成下列問題名稱簡記符號公式使用條件tan()，k兩角和的T( )正切tan tan 2 (kZ) 且1tan tan tan tan 1，k兩角差的tan()T( ) 2 (kZ) 且tan tan 正切tan tan 1tan tan 1判斷 (正確的打“”，錯誤的打“” )(1)存在 ，R，使 tan()tan tan 成立 ()(2)對任意 ，R， tan tan 都成立 ()tan()1tan tan (3)tan( tan tan 等價于 tan tan tan()1tan tan )(1tantan )()第3頁共21頁解：(1).當 0，時， ，3tan()tan

5、 0 3tan 0 tan3但一般情況下不成立(2).兩角和的正切公式的適用范圍是， k2(kZ)(3).當 k2 (kZ)，k2 (kZ)，k2(kZ)時，由前一個式子兩邊同乘以1tantan可得后一個式子【答案】 (1) (2)(3) 小組合作型 靈活應(yīng)用和、差角公式化簡三角函數(shù)式(1)(2016 濟寧高一檢測 )sin 47 sin 17 cos 30 )cos 17 (A 3B12213C2D2(2)化簡求值：1tan 75；1tan 75 sin(75 )cos(45) 3cos(15)； (2016 遵義四中期末 )tan 20 tan 40 3tan 20tan 40.第4頁共2

6、1頁(1)化簡求值應(yīng)注意公式的逆用(2)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值sin 47sin 17 cos 30 解： (1)cos 17 sin（1730） sin 17 cos 30cos 17sin 17cos 30cos 17 sin 30 sin 17 cos 30 cos 17 cos 17sin 301sin 30.cos 172【答案】Ctan 45tan 75 (2)原式1tan 45 tan 75 tan(45 75 )tan 120 3.原式3.設(shè) 15，則原式 sin(60)cos(30)3cos 1331 2sin 2 cos 2 cos 2sin

7、 3cos 0.原式0.原式 tan 60 (1tan 20 tan40 ) 3tan 20tan 40 3.原式3.第5頁共21頁1公式 T()，T( )是變形較多的兩個公式， 公式中有 tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者知二可表示出或求出第三個化簡過程中注意 “”與“”、 “ 3”與“tan”、 “1”21tan432與“cos 3”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化 再練一題 1化簡求值：(1)cos 61cos 16 sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17 cos 13sin 17；1tan 12tan 72(3

8、) tan 12 tan 72 .2解： (1)原式 cos(6116)cos 452 .1(2)原式 sin(1317)sin 30.2(3)原式1tan 12tan 7213.tan 12tan 72tan（7212）3給值求值3(2016 普 寧高 一檢測 ) 已知 4 4， 0 4 ，335cos 4 5， sin4 13，求 sin()的值 . 【導(dǎo)學(xué)號：00680069】第6頁共21頁3可先考慮拆角， ，然后再利用 sin(44) sin()求值解：因為3 ，所以 4424 .2 4所以 sin4 1cos45. 3 3又因為 04 ，44，3312所以 cos 41sin2 4

9、13，所以 sin( ) sin() sin 34 4 33 sin4cos 4cos4 sin4 41235 5 13 5 1363 65.1本題屬于給值求值問題，求解時，關(guān)鍵是從已知角間的關(guān)系入手，分析出已知角和待求角的關(guān)系如本題中巧用( ) 這一關(guān)系2常見角的變換為(1)2()，2()；(2)2 2 2 ，第7頁共21頁；222(3) 4 4 2()；(4) ()44 2 再練一題 2已知 cos 4， ，3，tan 1， ，5232求 cos()解：因為 3， 2，43cos 5，所以 sin 5.1因為 2 ， ，tan 3，所以3101010，sin10.cos 所以 cos()c

10、oscossinsin43 10310310551010.10給值求角510已知 sin 5，sin10，且 ，為銳角，求 的值sin ，sin 求cos ，cos 求cos（） 第8頁共21頁確定 的范圍 求的值5解： sin 5 ，為銳角，2cos 1sin25 5.10又 sin 10 ，為銳角，cos 1sin2103 10.cos()cos cos sin sin 253105102 5105102.又 ， 0， 2 ，0，因此 4.1 求解該類問題常犯的錯誤是對角的范圍討論程度過大(小)，導(dǎo)致求出的角不合題意或者漏解2求角的大小，要解決兩點： (1)確定所求角的范圍， (2)求角的

11、某一三角函數(shù)值，特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值 再練一題 3若把本例題的條件改為“ 0， 2 ， 2 ，0 ，且 cos(第9頁共21頁32)5，sin 10”，試求角 的大小解： 0， ， (0，)，2 2，034由 cos()5，知 sin()5.由 sin2，知 cos7 2.10 10sin sin() sin()cos cos()sin 4723225 10 5 10 2 .又 ， .0， 2 4 探究共研型 輔助角公式的應(yīng)用探究 1函數(shù) ysin xcos x(xZ)的最大值為 2 對嗎？為什么？【提示】不對因為 sin xcos x22 2 2 sin x 2

12、cos x 2 sin xcos4cos x sin 42sin x4 .所以函數(shù)的最大值為2.探究 2函數(shù) y3sin x4cos x 的最大值等于多少？第 10頁共21頁34【提示】因為 y3sin x4cos x5 5sin x5cos x ，34令 cos 5，sin 5，則 y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函數(shù) y 的最大值為 5.探究 3如何推導(dǎo) asin xbcos x a2b2 tan b公sin(x )a式【提示】asin xbcos x a2b2asin xbcos x，2b222aab令 cos a，sinb，則a2b2a2b2asin x

13、bcos xa2b2(sin xcos cos xsin ) a2b2sin(x)(其中 角所在象限由 a、b 的符號確定， 角的值由 tanb確定，或由 sinb和 cosa共 a2222a ba b同確定 )當函數(shù) ysin x3cos x(0x2)取得最大值時， x_.可先用公式S將函數(shù)化為yAsin(x)形式再求最大值對應(yīng)的 x 值解：函數(shù)為 ysin x 3cos x213cos xsin x22第 11頁共21頁 2 sin xcos3 cos xsin 3 2sin x 3 ， 5當 0x2時，3 x 3 3 ，所以當取得最大值時， 5y，所以 .x32x65【答案】61對于形如

14、 sin cos ， 3sin cos 的三角函數(shù)式均可利用特殊值與特殊角的關(guān)系， 運用和差角正、 余弦公式化簡為含有一個三角函數(shù)的形式2在解法上充分體現(xiàn)了角的變換和整體思想，在三角函數(shù)求值化簡的變換過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則 再練一題 4函數(shù)f(x) 的值域為 ()sin xcos x6A 2，2B 3， 3C1，1D 3，322解： f(x)sin xcos x 631 sin x 2 cos x2sin x33 2sin x 2 cos x第 12頁共21頁 3sin x6 ，所以函數(shù) f(x)的值域為 3，3故選 B【答案】B構(gòu)建 體系 1(2016 清遠期末 )化簡：

15、sin 21cos 81 cos 21 sin 81 等于()11A 2B 233C 2D 2解：原式 sin(21 81) sin 60 32 .故選 D【答案】 D2已知 是銳角， sin3，則 cos 等于 ()5422A 10B 10C2D2553解：因為 是銳角， sin 5，第 13頁共21頁所以 cos4，5所以 cos2 4232.故選 B4 25 25 10【答案】B3函數(shù) ysin xcos x 的最小正周期是 ()A 2BC2D4解： ysin xcos x2sin x 4 ，所以 T2.【答案】C3tan 154計算 13tan 15_3tan 15tan 60tan

16、15解：13tan 15 1tan 60tan 15 tan 451.【答案】15已知 ，均為銳角， sin 5， cos 10，求 .510解： ，均為銳角， sin 5105，cos 10，sin31025，cos .105sinsin， ， 0， 2第 14頁共21頁sin()sincoscossin510253102.5105102， 4學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)達標 一、選擇題1若 ，則 (1tan )(1tan )等于 ()4A 1B 1C2D 2解： (1tan )(1tan ) 1(tan tan )tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan 1tan 4 (1ta

17、n tan )tan tan 2.【答案】C2cos 3sin 化簡的結(jié)果可以是 ()1B2cosA 2cos631D2cosC2cos 3613解： cos 3sin 2 cos 2sin 2 2 cos cos sin sin2cos3.33【答案】B第 15頁共21頁3(2016北京高一檢測 在ABC中，cos B10，則)A410sin C 等于 ()2525A 5B 555C 5D 5解：因為 cos B1010 且 0B，3 10所以 sin B 10又 A4，所以 sin Csin(AB)sin4 cos Bcos4sin B2 102 310 25 2102 10 5.【答案】

18、A4若 sin 3， ，則 cos5()225422A 10B 107272C 10D103 45解：因為 sin ， ，所以 ，故cos52，2cos 545sin523 22cos cos4sin44525210.【答案】A35若 sin 5，tan()1，且 是第二象限角，則tan 第 16頁共21頁的值為 ()44A 3B31C7D734解：由 sin 5，且 是第二象限角，可得 cos 5，則 tan 3，所 以 tan tan( ) tan（） tan 41tan（）tan 31 43 7.1 4【答案】C二、填空題6計算1tan 15_.3tan 60 tan 15 解：原式ta

19、n 45tan 153（1tan 45 tan 15 ）113tan(4515)3.【答案】137若sin(1，sin()3，則 tan _.)55tan 解：由題意得 sin cos cos sin15，第 17頁共21頁3sin cos cos sin 5，2得 sin cos 5，1 得 cos sin 5，tan 得 2.tan 【答案】2三、解答題8設(shè)方程 12x2 x12 0 的兩根分別為 ，求 cos cos 3sin cos 3cos sin sin sin 的值解：由題意知 12，故原式 cos()3sin() 2sin 6 （ ） 2sin 122sin4 6 2 sin 4cos 6 cos 4sin 62 32 1 2 22226 2.29.如圖 311，在平面直角