(完整版)三角函數(shù)題型分類總結(jié)材料

1、實(shí)用文檔專題三角函數(shù)題型分類總結(jié)三角函數(shù)公式一覽表.錯誤 ! 未定義書簽。一 求值問題 .- 1 -練習(xí) .- 2 -二 最值問題 .- 3 -練習(xí) .- 3 -三 單調(diào)性問題 .- 4 -練習(xí) .- 4 -四.周期性問題 .- 5 -練習(xí) .- 5 -五 對稱性問題 .- 6 -練習(xí) .- 6 -六.圖象變換問題.- 7 -練習(xí) .- 8 -七識圖問題 .- 9 -練習(xí) .-10-一 求值問題類型 1 知一求二即已知正余弦、正切中的一個，求另外兩個方法：根據(jù)三角函數(shù)的定義，注意角所在的范圍（象限），確定符號；例 sin4是第二象限角，求cos, tan，5解： siny4，因?yàn)槭堑诙笙藿牵?/p>

2、所以取y4, r5 ，于是 cosx3 , tany4r5r5x3類型 2 給值求值例 1 已知 tan2 ，求（ 1） cossin；（ 2） sin 2sin.cos2 cos2的值 .cossincossin1sin1tan12解：（ 1）cos32 2 ；cossinsin1tan121cossin 22 cos2(2)sin 2sincos2 cos2sincossin2sin 2cos2sin222242cos2cossin212 13cos2sin,cos本題也可以利用“知一求二”的方法，求出常見的幾個結(jié)構(gòu)：（1） 角的關(guān)系： ()() 2等；實(shí)用文檔（2）式的關(guān)系：(sinco

3、s)2 1 sin 2練習(xí)1、 sin330 =tan690 °=sin 585o =2、（ 1） 是第四象限角， cos12，則 sin13（2）若 sin4 , tan0，則 cos.512（3）已知 ABC 中， cot A，則 cos A.51(4)是第三象限角，sin()=cos(5，則 cos223、 (1)已知 sin5 , 則 sin 4cos4=.5(2) 設(shè)(0,) ，若 sin32 cos() =.，則254（3）已知( ,),sin3 , 則 tan() =2544、下列各式中，值為3的是( )2（A ） 2sin15cos15（B ） cos 2 15sin

4、 2 15 （ C） 2 sin 2 155. (1) sin15 o cos75ocos15o sin105 o =(2) cos 43o cos77osin 43o cos167 o =。6.(1) 若 sin cos1 ，則 sin 2 =5（ 2）已知 sin(x)3 ，則 sin 2x的值為45(3) 若 tansincos=2 ,則cossin7. 若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1， 2) ，則 cos=38已知 cos()，且| |，則 tan222) =1 （ D） sin 2 15cos2 15實(shí)用文檔9.若cos22 ，則 cossin=sin2410.已知 cos(2)3，則 si

5、n 2cos2的值為（）5A 7B16C 9D 72525252511已知 sin =12 ，（2， 0），則 cos（4）的值為（）137272172172A BCD26262626二 最值問題相關(guān)公式兩角和差公式；二倍角公式；化一公式例 求函數(shù) y3sin x4cos x 的最大值與最小值例求函數(shù) y3sin 2x4sin x4 的最大值與最小值例求函數(shù) y1sin xcosx(sin xcos x)2 的值域。解：設(shè) tsin x cos x2 sin( x) 2， 2 ，則原函數(shù)可化為1 )234yt 2t1(t，因?yàn)?t2， 2，所以24當(dāng) t2 時， ymax32 ，當(dāng) t132時

6、， ymin，34所以，函數(shù)的值域?yàn)閥2。，34練習(xí)1.函數(shù) f ( x)sin x cos x 最小值是。2.函數(shù) f ( x)(13 tan x) cos x ， 0x，則 f ( x) 的最大值為23.函數(shù) f ( x)cos2x 2sin x 的最小值為最大值為。4已知函數(shù)f ( x)2sinx(0) 在區(qū)間,上的最小值是2 ，則的最小值等于345.設(shè) x0，則函數(shù)2sin 2 x1ysin 2x的最小值為26a 與函數(shù)f ( x)sin x和g( x)cos x的圖像分別交于M ， N兩點(diǎn)，則MN的最大值為（）動直線 x實(shí)用文檔A 1B2C 3D 27.函數(shù) f ( x)sin2 x

7、3sin x cos x 在區(qū)間4,上的最大值是()2A.113C.3D.1+3B.22三 單調(diào)性問題相關(guān)公式：（1） 正余弦函數(shù)的單調(diào)性；（2）化一公式例 已知函數(shù) f ( x)12sin 2x2sinx cosx 求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間888解： f ( x)sin(2 xcos(2x)442 sin(2 x 2 sin(2 x2 cos2x 4)2)4當(dāng) 2k 2x 2k，即 xk（kZ）時，函數(shù) f (x)2 cos 2x 是增函數(shù)， 故函數(shù)f (x)k2的單調(diào)遞增區(qū)間是kZ ）， k （ k2練習(xí)1.函數(shù) y2 sin(2x)(x0,) 為增函數(shù)的區(qū)間是（） .6A. 0

8、,B. , 7C. , 5D. 5, 312123662.函數(shù) ysin x 的一個單調(diào)增區(qū)間是（），B3C，D3，A ，23.函數(shù) f ( x)sin x3 cos x( x ,0) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A ,5B 5,C ,0D ,0666364 設(shè)函數(shù) f ( x)sinx3( xR ) ，則 f (x)（）A 在區(qū)間27上是增函數(shù)B在區(qū)間，上是減函數(shù)，362實(shí)用文檔C在區(qū)間，上是增函數(shù)D在區(qū)間5上是減函數(shù)，3436四 .周期性問題相關(guān)公式：二倍角公式；化一公式；兩角和差公式公式：（ 1） 正（余）弦型函數(shù)yAsin(x)( A,0)的最小正周期 T2，（2）正切型函數(shù) yA tan(x

9、)(0) 的最小正周期T，例 1 已知函數(shù) f (x)12sin 2 x2sinx cosx ，求函數(shù) f ( x) 的最小正周期888解： f ( x) cos(2xsin(2 x 2 cos2x )2 sin(2x4)2 sin(2 x )42442函數(shù) f (x) 的最小正周期是T2；例 2 函數(shù) f (x) | sin x | 的周期是。解：畫出圖像，觀察可知周期為結(jié)論：一般情況，函數(shù)| f ( x) | 的周期將減半。方法總結(jié) ：求函數(shù)的周期，必須將函數(shù)化為yA sin(x) k 的形式才可以練習(xí)1下列函數(shù)中，周期為的是（）2A ysin xB ysin 2xC ycos xD y

10、cos 4x242. f xcosx的最小正周期為5，其中0 ，則=63.函數(shù) y| sinx| 的最小正周期是.24.（ 1）函數(shù) f ( x) sin x cos x 的最小正周期是.（ 2）函數(shù) y2cos2x 1 (x R) 的最小正周期為.5.（ 1）函數(shù) f (x) sin 2x cos 2x 的最小正周期是(2)函數(shù) f ( x)(13 tan x) cos x 的最小正周期為(3). 函數(shù) f (x)(sin xcos x)sin x 的最小正周期是實(shí)用文檔(4)函數(shù) f ( x)cos 2x2 3 sin x cos x 的最小正周期是.6.函數(shù) y2 cos2 (x)1是(

11、)4A 最小正周期為的奇函數(shù)B. 最小正周期為的偶函數(shù)C. 最小正周期為的奇函數(shù)D. 最小正周期為的偶函數(shù)227.函數(shù) y (sin xcos x)21 的最小正周期是.五 對稱性問題以正弦型函數(shù) yAsin(x)( A,0) 為例，說明對稱問題的解法：（ 1）求對稱中心，令xk ，解得 x ，寫為 ( x,0) 的形式，即對稱中心；（ 2）求對稱軸，令xk，解得 x0 ，則直線 xx0 即為對稱軸；20 ，即 sin0 ，故（ 3）若函數(shù)是奇函數(shù)，則必有f (0)k；若函數(shù)是偶函數(shù)，則必有f (0)A ，即 sin1，故k；2例y2sin(2 x) 的對稱中心是，對稱軸方程是.3練習(xí)1.函數(shù)

12、 y 4sin(2 x) 圖像的對稱軸方程可能是（）3A xB x12C xD x12662下列函數(shù)中，圖象關(guān)于直線x對稱的是（）3xA y sin( 2x)B ysin(2x) C y sin( 2x)D y)sin(636623函數(shù) y sin 2 x 的圖象（）3對稱 關(guān)于直線關(guān)于直線關(guān)于點(diǎn)，x對稱 關(guān)于點(diǎn)， 對稱x對稱0034434.如果函數(shù) y3cos(2 x) 的圖像關(guān)于點(diǎn) ( 4,0) 中心對稱，那么的最小值為（）3(A)(B)(C)(D)6432實(shí)用文檔 ，則下列判斷正確的是()5已知函數(shù) y sin x 12 cos x12A 此函數(shù)的最小正周期為2，其圖象的一個對稱中心是，

13、 012B此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是， 012C此函數(shù)的最小正周期為2，其圖象的一個對稱中心是， 06D 此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是， 06六 .圖象變換問題函數(shù) y A sin( x)( A,0) 中， A 叫振幅，周期 T2叫初相，它的圖象可以經(jīng)過函數(shù)，y sin x 的圖象經(jīng)過平移，伸縮變形得到，具體方法是：(1) 縱向伸縮：是由 A 的變化引起的 A 1,伸長； A 1,縮短(2) 橫向伸縮：是由的變化引起的 1，周期變小，故橫坐標(biāo)縮短； 1,周期變大，故橫坐標(biāo)伸長(3) 橫向平移：是由的變化引起的 0,左移；0，右移（法則：左 +右 -）說明：上述

14、 3 種變換的順序可以是任意的，特別注意，在進(jìn)行橫向平移時考慮x 前的系數(shù)，比如y cos2x 向右平移個單位，應(yīng)得到 y cos2( x)cos(2x2) 的圖象333例描述如何由ysin x 的圖像得到y(tǒng)3sin(2 x) 的圖像。4解： y sin x向右平移個單位x4（）y sin4橫坐標(biāo)縮短y sin(2x)到原來的 1倍42ysin(2 x)4所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)y 3sin(2 x)伸長到原來的 3倍4例將函數(shù) ysin 2x 的圖象向左平移個單位 , 再向上平移1 個單位 ,所得圖象的函數(shù)解析式是().4A. ycos2xB. y2cos 2 xC. y1sin(2x)D. y2si

15、n 2 x4解析： 將函數(shù) ysin 2x 的圖象向左平移個單位 ,得到函數(shù)ysin 2( x) 即 ysin(2 x)cos2x442的圖象 ,再向上平移1 個單位 ,所得圖象的函數(shù)解析式為y1cos2x2cos2 x ,故選 B.實(shí)用文檔例 （ 2009 天津理）已知函數(shù)()sin()(,0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)f xx4xRg( x)cosx 的圖象，只要將yf ( x) 的圖象A 向左平移個單位長度B 向右平移個單位長度88C 向左平移個單位長度D 向右平移個單位長度44解析：由題知2 ，所以 f ( x )sin( 2 x)cos(2 x)cos( 2x4) cos 2( x

16、) ，4248故選擇 A例 若將函數(shù) ytanx0的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)ytanx的圖466像重合，則的最小值為1B.1C.1D.1A 4326解析：注意這種說法， “與函數(shù) ytanx的圖像重合” ，也就是“得到函數(shù)ytanx的圖66向右平移個單位像”重合，則ytanx6ytan( x)tanx4664( x)kxk， 又 Q01，即6min.故選 D646462練習(xí)1.函數(shù) y=cosx(x R)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)y=g(x )的圖象，則 g(x)的解析式為22.把函數(shù) ysin x （ xR）的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐31標(biāo)

17、縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變） ，得到的圖象所表示的函數(shù)是3.將函數(shù) ysin 2x 的圖象向左平移個單位 , 再向上平移1 個單位 ,所得圖象的函數(shù)解析式是44.要得到函數(shù)y sin x 的圖象，只需將函數(shù) y cos x的圖象向平移個單位5.已知函數(shù)f (x)sin(x)( xR,0) 的最小正周期為，將 yf ( x) 的圖像向左平移|個單位4長度，所得圖像關(guān)于y 軸對稱，則的一個值是（）實(shí)用文檔3AB8CD2486.將函數(shù) f (x)3 cos xsin x 的圖象向左平移m（ m > 0）個單位，所得到的圖象關(guān)于y 軸對稱，則 m的最小正值是（）A. 625B.3C.3D. 67

18、.若函數(shù) y2 sin x的圖象向右平移個單位后，它的一條對稱軸是x，則的一個可能的值是645BCDA 123612七識圖問題例 已知函數(shù) f (x)A sin(x)( A,0,| |) 的圖像如圖所示，則7。f212解： 由圖象知 A=2 ，最小正周期T2（54）2 2，故3，又 x時， f（x） 0，即334342 sin(3） 0，所以k，因?yàn)?|，所以，于是 f ( x)2sin(3 x) ，則4442472 sin(37) 0f12124總結(jié)：對于根據(jù)圖像，求( )sin()(,0,|) 的表達(dá)式的題型，三個參數(shù)的確定方法：fxAxA2（1）A ；根據(jù)最大（?。┲登螅?）根據(jù)周期求；

19、（3）根據(jù)圖中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)求，根據(jù)已知的范圍確定值（4）一般先求周期、振幅，最后求。例（ 2010 天津文）5右圖是函數(shù) yAsin（x+ ）（ xR）在區(qū)間-，上的圖象，66為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將ysin x（ xR）的圖象上所有的點(diǎn)實(shí)用文檔(A) 向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1 倍，縱坐標(biāo)不變32(B) 向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變31 倍，縱坐標(biāo)不變(C) 向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的62(D) 向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變6解：由圖像可知函數(shù)的周期為，振幅為1，所以函數(shù)的表達(dá)式是y=sin(2x+)，代入（ -，0）可得的6一個值為，故圖像中函數(shù)的一個表達(dá)式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+)，所以只需將y=sinx （ x R）3361 倍，縱坐標(biāo)不變。的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的62例 函數(shù) y xcosx 的部分圖象是（）例（2009浙江理）已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f (x) 1 a sin ax的圖象不可能 是 ()【解析】對于振幅大于 1時，三角函數(shù)的周期為 T2 ,Q a 1, T 2 ，而 D 不符合要求，它的振幅a大于 1，但周