(完整版)三次函數(shù)專題

1、三次函數(shù)專題一、定義：定義 1、形如 yax3bx2cxd (a0) 的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)”（從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名） 。定義 2、三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y3ax22bxc(a0) ，把4b212ac 叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，所以三次函數(shù)的問題，已經(jīng)成為高考命題的一個新的熱點和亮點。二、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究：1、單調(diào)性。一般地，當(dāng) b 23ac0 時，三次函數(shù)yax3bx 2cxd (a0) 在 R 上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng) b23ac0 時，三次函數(shù)yax3bx 2cxd ( a0) 在 R 上有三個單調(diào)區(qū)間。（根據(jù) a0, a0

2、 兩種不同情況進(jìn)行分類討論）2、對稱中心。三 次 函 數(shù)f ( x)ax 3bx 2cxd (a0) 是 關(guān) 于 點 對 稱 ， 且 對 稱 中 心 為 點bb(, f () ，此點的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點的橫坐標(biāo)。3a3a證明：設(shè)函數(shù)的對稱中心為（m， n）。按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)， 所以化簡得：上式對恒成立，故，得，。所以，函數(shù)的對稱中心是（）?？梢姡?y f(x) 圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)y的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導(dǎo)為零的點。13、三次方程根的問題。（1）當(dāng) = 4 212ac0時，由于不等式f(x)0 恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原b方程僅有

3、一個實根。（ 2 ）當(dāng) = 4b212ac0 時，由于方程f(x)0 有兩個不同的實根x1 , x2 ，不妨設(shè)x1 x2 ，可知， (x1, f (x1 ) 為函數(shù)的極大值點，( x2 , f (x2 ) 為極小值點， 且函數(shù) y f (x)在 (, x1 ) 和 ( x2 ,) 上單調(diào)遞增，在x1 , x2 上單調(diào)遞減。此時：若 f (x1 )f ( x2 )0 ，即函數(shù)yf (x) 極大值點和極小值點在x 軸同側(cè)，圖象均與x 軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根。若 f ( x1 )f ( x2 )0 ，即函數(shù) yf (x) 極大值點與極小值點在x 軸異側(cè)，圖象與 x軸必有三個交點，

4、所以原方程有三個不等實根。若 f (x1 )f ( x2 )0 ，即 f (x1 ) 與 f ( x2 ) 中有且只有一個值為0，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等。4、極值點問題。若函數(shù) f(x) 在點 x0 的附近恒有 f(x 0) f(x) ( 或 f(x 0) f(x) ，則稱函數(shù) f(x) 在點 x0 處取得極大值（或極小值） ，稱點 x0 為極大值點（或極小值點） 。當(dāng)0 時，三次函數(shù)yfx 在,上的極值點要么有兩個。當(dāng)0 時，三次函數(shù)yfx 在,上不存在極值點。5、最值問題。函數(shù)若，且，則：fmaxxfm , fx0, fn；。三、例題講解：例 1、（函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)

5、與方程的）已知函數(shù)32f （ x） =x -3ax+3x+1。（）設(shè) a=2，求 f （ x）的單調(diào)期間；（）設(shè) f （ x）在區(qū)間（ 2,3 ）中至少有一個極值點，求a 的取值范圍。解：25555式無解，式的解為 4a因此 a 的取值范圍是 4，3 ，3 .例 2、 已知函數(shù) f (x) 滿足 f ( x) x3f ' 2 x 2x C （其中 C 為常數(shù)）3（ 1）求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 2）若方程 f (x)0 有且只有兩個不等的實數(shù)根，求常數(shù)C ；1（ 3）在（ 2）的條件下，若f0 ，求函數(shù) f (x) 的圖象與 x 軸圍成的封閉3圖形的面積解：（ 1）由 f (

6、 x)x3f ' 2 x2x C ，得 f '( x) 3x 22 f ' 2 x 1 332 ，得 f '222222取 x32 f '1 ，解之，得 f '1 ，333333fx x3x 2xC( )從而 f '( x)3x22x13x1 x1 ，3列表如下：x(,1)1(1, 1)1(1,)f ' ( x)33300f (x)有極大值有極小值3 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是( ,1) 和 (1,) ； f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是3( 1,1) 3（2）由（ 1）知， f ( x) 極大值f13321 C f ( x)

7、極小值 f (1) 11 1 C312511CC ；33327 方 程 f (x)0 有且 只有 兩 個不 等的 實數(shù) 根， 等價 于 f ( x) 極大值0 或 f (x) 極小值08 分常數(shù) C5 或 C127（3）由（ 2）知， f ( x)x 3x2x5或 f (x)x3x 2x127而 f10 ，所以 f ( x)x3x 2x13令 f ( x)x3x 2x1 0 ，得 ( x 1) 2 ( x1) 0 ， x11， x21 11 x 41 x31 x 214 所求封閉圖形的面積x 2x1 dxxx3143213例 3、（恒成立問題） 已知函數(shù) f ( x)1x31x2cxd 有極值

8、（ 1）求 c 的取值范圍；32（ 2）若 f (x) 在 x2 處取得極值， 且當(dāng) x0 時， f (x)1d22d 恒成立，求 d 的6取值范圍解：（ 1） f (x)1 x31 x2cxd ， f( x)x2xc ，32x2要使 f ( x) 有極值，則方程 f( x)xc0有兩個實數(shù)解，從而 14c 0 ， c1 （ 2） f ( x) 在 x2 處取得極值，4 f(2)42c0 ， c2 f ( x)1 x31 x22x d ，32 f ( x)x2x 2( x2)( x 1) ，當(dāng) x(,1 時， f (x)0 ，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) x(1,2時， f(x)0，函數(shù)單調(diào)遞減 x0 時

9、， f (x) 在 x1處取得最大值 7d ，6 x0時， f (x)1 d22d 恒成立，64 7d1 d 22d ，即 (d 7)( d1) 0，66 d7 或 d1 ，即 d 的取值范圍是 (, 7)U(1,) 例 4、（信息遷移題） 對于三次函數(shù) f (x)ax3bx2cxd (a0) 。定義：（1） f (x)的導(dǎo)數(shù) f(x) （也叫 f( x) 一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)f( x) 為 f (x) 的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f (x)0有實數(shù)解x0，則稱點(x0 , f ( x0 )為函數(shù)y f ( x)的“拐點”；定義：（2）設(shè) x0 為常數(shù)，若定義在R 上的函數(shù) yf (x) 對于定義域內(nèi)的一切

10、實數(shù)x ，都有f ( x0x)f ( x0x)2 f ( x0 )恒成立，則函數(shù)yf ( x)的圖象關(guān)于點(x0, f ( x0 )對稱。（ 1）己知 f ( x)x33x22x2 ，求函數(shù) f ( x) 的“拐點” A 的坐標(biāo)；（ 2）檢驗（ 1）中的函數(shù)f (x) 的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱;（ 3）對于任意的三次函數(shù)f (x) ax3bx2cxd (a0) 寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論（不必證明）。解：（1）依題意，得： f ( x)3x26x2，f ( x)6x 6 。由 f( x)0，即 6x60 。 x1 ，又f (1)2 ， f (x) x33x22x2 的“拐點”坐標(biāo)是 (1,

11、 2) 。（ 2）由 (1)知“拐點”坐標(biāo)是(1, 2) 。 而f (1x)f (1x) = (1x)33(1x) 22(1x) 2(1x)33(1 x) 22(1 x) 2= 26x266x244 4 = 2 f (1) ，由定義 (2)知： fxx33x22x2 關(guān)于點 (1, 2) 對稱。（3）一般地，三次函數(shù)f x ax3bx2cxd(a 0)的“拐點”是b,f (b)，它就是 f ( x) 的對稱中心。3 a3 a或者：任何一個三次函數(shù)都有拐點；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù).例 5、（與線性規(guī)劃的交匯問題） 設(shè)函數(shù),其中,是的導(dǎo)函數(shù) .5(1) 若

12、, 求函數(shù)的解析式 ;(2) 若, 函數(shù)的兩個極值點為滿足.設(shè),試求實數(shù)的取值范圍 .解 :()據(jù)題意,由知 ,是二次函數(shù)圖象的對稱軸又,故是方程的兩根.設(shè),將代入得比較系數(shù)得 :故為所求 .另解：，據(jù)題意得解得故為所求 .(2) 據(jù)題意,則又是方程的兩根 , 且6則則點的可行區(qū)域如圖的幾何意義為點P與點的距離的平方 . 觀察圖形知點， A 到直線的距離的平方為的最小值故的取值范圍是例 6：（ 1）已知函數(shù) f(x)=x 3-x , 其圖像記為曲線 C.（ i ）求函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間；（ ii ）證明：若對于任意非零實數(shù)x, 曲線 C與其在點 P（ x ,f(x1) ）處的切111線交

13、于另一點P2（ x2,f(x2) ），曲線 C 與其在點 P2 處的切線交于另一點P3（ x,f(x)），線段 P P2,P P與曲線 C 所圍成封閉圖形的面積分別記為33123S112為定值；S，S ，則S2320), 請給出類似于（） （ ii ）的（ 2）對于一般的三次函數(shù) g(x)=ax +bx +cx+d(a正確命題，并予以證明。解法一：（ 1）（i ）有 f(x)=x3-x 得 f (x)=3x 2-1=3(x-3 )(x+3 ).33當(dāng) x(,3) 和(3 ，) 時， f (x)>0;33當(dāng) x(3，3 ) 時， f (x)<0。337（）曲線C 在點 P1 處的切線

14、方程為y=(3x2)+x3-x，1-1)(x-x111即 y=(3x 12-1)x-2 x13.由得 x3-x=(3x12-1)x-2 x 13即（ x-x 1） 2(x+2x 1)=0,解得 x=x11或 x=-2x ,故 x2=-2x 1.進(jìn)而有用 x 代替 x , 重復(fù)上述計算過程，可得x = -2x和 S =2744x2 。21322又 x=-2x0，所以2716 40,因此有s111S =x1。224s216（ 2）記函數(shù) g(x)=ax3+bx2+cx+d（ a0）的圖像為曲線C，類似于（） （ ii ）的正確命題為：若對于任意不等于b的實數(shù) x1, 曲線 C與其在點 P1（ x1

15、, g(x 1) ）處的切線交于另一3a點 P （ x,g(x ) ）, 曲線 C與其在點 P 處的切線交于另一點P（ x , g(x ) ），線段 P P 、P P22223331223與曲線 C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1， S2，則 S1為定值。S2證明如下：因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線y=g(x)的對稱中心平移至解法二：（ 1）同解法一。（ 2）記函數(shù) g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0) 的圖像為曲線C，類似于（ 1）（ ii ）的正確命題為：若對于任意不等于b的實數(shù) x1, 曲線 C與其在點 P1（x1, g(x 1) ）處的切線交于另一點 P23a（ x2

16、, g(x2) ）, 曲線C與其在點P2 處的切線交于另一點P3（ x3, g(x3) ），線段P1P2、 P2P38與曲線 C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1， S2，則 S1 為定值。S2證明如下：用 x代替 x ，重復(fù)上述計算過程，可得x =b2x 和 S2(3ax2b)4。213a12a3又 x2= b2x1且x1b ,a3a所以 S2(3ax2 b)( 6ax1 2b)416(3 ax1b)412a312a312 a30,故S11. S2 16三次函數(shù)作業(yè)1、設(shè) 是函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)， 的圖象如圖所示，則 yf(x) 的圖象最有可能是（ ）2、函數(shù)在閉區(qū)間 3， 0 上的最大值

17、、最小值分別是（）A.1 ，1B.1，17C.3 ，17D.9 ，1993、設(shè)函數(shù) f (x) 6x33( a2) x22ax .（ 1）若 f ( x) 的兩個極值點為x1, x2 ，且 x1 x21，求實數(shù) a 的值；（ 2）是否存在實數(shù) a ，使得 f ( x) 是 (,) 上的單調(diào)函數(shù)？若存在, 求出 a 的值；若不存在，說明理由 .考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)極值單調(diào)性等知識4、設(shè)定函數(shù) f ( x)a x3bx2cxd ( a f 0) ，且方程 f ' (x)9x0的兩個根分別為1，34。（）當(dāng) a=3 且曲線 yf (x) 過原點時，求f ( x) 的解析式；（）若 f (

18、 x) 在 (,) 無極值點，求a 的取值范圍。ax 33 x21(x R)5、已知函數(shù) f （ x） =2，其中 a>0.（）若 a=1，求曲線 y=f （ x）在點（ 2， f （ 2）處的切線方程；1 , 1（）若在區(qū)間2 2上， f （x） >0 恒成立，求 a 的取值范圍 .6、已知函數(shù) f ( x) ax3x2bx（其中常數(shù) a， b R）， g( x)f ( x)f '( x) 是奇函數(shù) .（）求 f (x) 的表達(dá)式；（）討論 g( x) 的單調(diào)性，并求g (x) 在區(qū)間1,2上的最大值與最小值 .7、已知在函數(shù) f (x)mx 3x 的圖象上以 N（1，n

19、）為切點的切線的傾斜角為,（ 1）求 m、n 的值；4（ 2）是否存在最小的正整數(shù)k，使不等式 f ( x) k 1992對于 x 1,3 恒成立？求出最小的正整數(shù)k，若不存在說明理由；（ 3）求證： | f (sin x)f (cosx) |2 f (t1 )( x R, t0).2t8、已知函數(shù) f (x)(xa)2 （ a-b） (a,bR, a <b) 。（ I ）當(dāng) a=1，b=2 時，求曲線 yf ( x) 在點（ 2， f ( x) ）處的切線方程。（ II ）設(shè) x1 , x2 是 f ( x) 的兩個極值點，x3 是 f ( x) 的一個零點，且x3x1 ， x3x29

20、、已知函數(shù) f （ x）= 1x3x2axb 的圖像在點 P（0,f(0) ）處的切線方程為y=3x-2310( ) 求實數(shù) a,b 的值；( ) 設(shè) g（x） =f(x)+m 是 2, 上的增函數(shù)。x 1（ i ）求實數(shù) m的最大值；(ii)當(dāng) m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x) 圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。作業(yè)：1、解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)f(x)是三次函數(shù)。則的圖象給出了如下信息：；導(dǎo)方程兩根是0，2，（ f(x) 對稱中心的橫坐標(biāo)是1）；在（ 0，2）上；在（， 0）或（ 2，）上。由和性質(zhì)

21、1 可排除 B、 D；由和性質(zhì)1 確定選 C。2、解：函數(shù)的導(dǎo)方程是，兩根為1 和 1，由性質(zhì)2 得：，。故選 C。3、【解析】 f ( x) 18 x26(a2) x2a（ 1）由已知有 f ( x1 )f (x2 )x1x22a1189 ；0 ，從而，所以 a（ 2）由36(a 2) 24 182a36(a24) 0，所以不存在實數(shù) a ，使得 f ( x) 是 R 上的單調(diào)函數(shù) .4、115、【解析】（）解：當(dāng)x 33x2123x , f a=1 時， f （x） =2， f （2） =3； f (x)= 3x(2)=6.所以曲線 y=f （ x）在點（ 2， f （ 2）處的切線方程為y-3=6 （ x-2 ），即 y=6x-9.3ax21（）解： f (x)=3x 3x(ax 1) . 令 f (x)=0 ，解得 x=0 或 x= a .以下分兩種情況討論：0a 2，則 11若a2 ，當(dāng) x 變化時， f (x) ， f （x）的變化情況如下表：X1，010，202f (x)+0-12f(x)Z極大值f ( 1) 0,5a0,82即x11f ( 1) 0,5a0.， 時， f（ x） >0當(dāng)22等價于28，解不等式組得 -5<a<5. 因此 0a 2 .1102若 a>2，則a. 當(dāng) x 變化時， f (x),f（x）的變化情況如下表：X1，