建立空間直角坐標(biāo)系解立體幾何題

1、建立空間直角坐標(biāo)系，解立體幾何高考題立體幾何重點(diǎn)、熱點(diǎn)：求二面角、求線段的長(zhǎng)度、求點(diǎn)到平面的距離、求直線與平面所成的夾角、求兩異面直線的夾角、 證明平行關(guān)系和垂直關(guān)系等.常用公式：1、求線段的長(zhǎng)度:2丄2y +Z=J(X2 xj+(y2y1 )2+(Z2 乙 22、求P點(diǎn)到平面a的距離:PN卜呼|n|（N為垂足，M為斜足，n為平面a的法向量）|PMn|3、求直線丨與平面a所成的角：Isin日卜一,（PM U I , M , n為a的法向量）|PMHn|4、5、| AB CD|求兩異面直線 ab與CD的夾角：cos =_AB| .|CD|,” |n 1 -n21一 一|co少卜 _，（ n1，n

2、2為二面角的兩個(gè)面的法向量） | ni M n2 |求二面角的平面角9 :6、求二面角的平面角9 :S射I寸影射影面積法）7、求法向量：找；求:設(shè) a,b為平面a內(nèi)的任意兩個(gè)向量，n = （x,y,1）為a的法向量,a n = 0則由方程組r，可求得法向量n.lb n = 0高中新教材9（B）引入了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算這一內(nèi)容，使得空間立體幾何的平行、垂直、 角、距離等問(wèn)題避免了傳統(tǒng)方法中進(jìn)行大量繁瑣的定性分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行 定量分析，使問(wèn)題得到了大大的簡(jiǎn)化。而用向量坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角 坐標(biāo)系。一、直接建系。當(dāng)圖形中有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，可以利用這三

3、條直線直接建系。例1.（2002年全國(guó)高考題）如圖，正方形ABCD ABEF勺邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCDABEF互相垂直。點(diǎn) M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若 CM=BN=aV2 ）。（1）求MN勺長(zhǎng)；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。唬?）當(dāng)MN最小時(shí)，求面MNA與面MNB成二面角a的大小。解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ba、be、BC為X、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐丄丿27272V2標(biāo)系 B-xyz，由 CM=BN=a M（a， 0， 1 - a）,N （ a， a， 0）2 2 2 2.麗=（。，爭(zhēng)，疥一1）MN屮(f a1)2+(節(jié))2J（a爭(zhēng)1 + ( 0 c a “2

4、 )2(2)由(1)MN_ I-J2 2 1=(ap)+2所以,當(dāng)a=M時(shí),2MNmin 2即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN勺長(zhǎng)最小，最小值為2（3）取MN勺中點(diǎn) 所以API MNMN的長(zhǎng)最小時(shí)P,連結(jié) AP、BP,因?yàn)?AM=AN BM=BN BP丄MN / APB即為二面角a的平面角。1111mG , 0 ,1),N(11,0)2222由中點(diǎn)坐標(biāo)公式P(1 , 124 111-PA=(1, -1, -1),244 cos / APB=PA PBPA -PB11),又 A (1 , 0 ,4PB=(- 1- 1-(2，4，_1 +丄+丄4 _1616 =耳£0), B (

5、0,0, 0)寸）面MNAf面MNB所成二面角a的大小為n -arccos解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由題意 C（0, 0, 0）, G（0, 0, 2）, GE= (2, 4, -2 ), GF = (4, 2,-2), BE= (2, 0, 0)GC即 n=( 3, 5, 1)，GC在n方向上的射影的長(zhǎng)度為d = BEBE nBE nBE= 271111J9+9+1例3. （2000年二省一市高考題）在直三棱柱 ABC- A1B1G中CA=CB=,1 / BCA=90,棱 A A1=2 , M、N分別是 A1B1、A A 的中點(diǎn)。0, 2), Bi (0, 1, 2), CAB?GM

6、 = -1(0 , 0，2)，m(7（1）求 BN 的長(zhǎng)；（2） 求 coscBA'CBjA ; （3）求證：AB丄GM解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz ,則C（0 , 0 , 0） , B（0 , 1 , 0）,(1, 0, 1), A (1,1, 2）X -+1X - +(-2) X 0=02 2A 1B 丄 CiM一二、利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建系。有些圖形雖然沒(méi)有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，但是圖形中有一定的對(duì)稱關(guān)系（如：正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐等），我們可以利用圖形的對(duì)稱性建立空間直角坐標(biāo)系 來(lái)解題。0-xyz，其中 Ox/ BC, Oy/ AB E為 VC的

7、中點(diǎn)，高 OV為 h。(1)求 coscBE,DE A;P的平面角,求/ BED。 解：(1)由題意B (a , a ,aD (-a, -a, 0), E (-,2例4. （2001年二省一市高考題）如圖,以底面邊長(zhǎng)為2a的正四棱錐V-ABCD底面中心O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 BE= (-3a2,a 3aDE =( 7，V2 2cos < BE, DE >=BE3a2百h23a2-"VJ5ah2+4一 +242 2-6a + h22-10 a + h(2) V V (0, 0, h), C (-a, a, 0)-VC = (-a , a, - h )又/ BED是

8、二面角a -VC- P的平面角 BE 丄 VC , DE 丄 VC2.2.22 h2 a =2代入 cos <BE, DE2 2-6a + h 1> = 10 a2 + h231即/ BEDn -arccos -3三、利用面面垂直的性質(zhì)建系。但是有兩個(gè)互相垂直的平面，我們可 -點(diǎn)的三條直線， 建立空間直角坐標(biāo)系。有些圖形沒(méi)有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線， 以利用面面垂直的性質(zhì)定理作出互相垂直且相交于(2000年全國(guó)高考題)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為72 a 。例5.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出 A、B、A、C的坐標(biāo); 求ACi與側(cè)面AB BiAi所成的

9、角。(1)如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與ABBA1垂直的直線為x軸，(1)(2)解:以AB所在直線為y軸，以AA所在直線為z軸，以 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由已知得：A (0, 0, 0), B (0, a,0),A (0, o 忌)，C (-¥a，I '屁)(2)取A1B1的中點(diǎn) M 于是有M( 0, - , 72 a),連AM、MC有2a h 2 h c =a=0,MCi =(-于a , 0, 0),且 AB= (0, a, 0), AR = (0, 0, 72 a)由于 MCi AB =0, MCi AA =0,故 MC丄平面 AB BA。 A Ci與AM所

10、成的角就是AC與側(cè)面AB BiAi所成的角。V ACi=(-當(dāng) a , I ,逅 a), AM =(0,二ACi 2c 2AM =0+2a2 = -a-44ACi=2冷=辰,AMcos c AC1, AM >=3a29a2_4二品.a 3 a 22I，屁）,Sin / OBA=YOA2 +OB27 DE=DBsin/ OBA=7 AC1與AM所成的角，即AC與側(cè)面AB BA所成的角為30°。例6. （2002年上海高考題）如圖，三棱柱OAB-OAiBi,平面OBB1丄平面OAB / OOB=60, / AOB=90 且 OB= OO2，OA=/3。求：（1） 二面角O- AB-

11、 O的大小；（2）異面直線AiB與A Oi所成角的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：（i）如圖，取OB的中點(diǎn)D,連接OD,則OD丄OBV平面OBEO丄平面OAB OiD丄面 OAB則OE丄OEZ過(guò)D作AB的垂線，垂足為E,連結(jié)OE,/ DEO為二面角O- AB-O的平面角。由題設(shè)得od=73V 在 Rt A ODE中，tan / DE 0=77 / DE O=arctan 打，即二面角 0- AB- O的大小為 arctan(7。(2)以0為原點(diǎn)，分別以0A、0B所在直線為X、y軸，過(guò)點(diǎn)0且與平面AOB垂直的直線 為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則 0( 0 , 0 , 0), 0( 0 , 1 , J3 ),A(罷,0, 0), Ai (73 , 1, J3), B (0, 2, 0),則 AB =(-罷,1,-昭),OX =( 73 , -1, - J3)141417cos AB,喬=AB OA 一-3-1+3AjB OA故異面直線AiB與A Oi所成角的大小1arccos 。7姓名:張傳法地