微積分(曹定華)(修訂版)課后題答案第二章習(xí)題詳解

1、第二章1、試?yán)帽竟?jié)定義習(xí)題2-15后面得注(3)證明：若lim Xn=a,則對(duì)任何自然數(shù) k，有l(wèi)imxn+k=a、 nn證：由 lim xna，n0， N1，當(dāng)n N1時(shí)，有0，Xna，設(shè)n N時(shí)(此時(shí)n k NJ有Xn k a由數(shù)列極限得定義得lim Xn k2、 試?yán)貌坏仁紸 B說(shuō)明：若lim xn=a,則 lim I Xn 1 =|a|、考察數(shù)列 nXn=(-1)n，說(shuō)明上述結(jié)論反之不成立、證：Q lim Xn aXN時(shí)，有Xn0, N,使當(dāng)XnXn于就是N,使當(dāng)nN時(shí)，有XnXnaXn由數(shù)列極限得定義得limnXn考察數(shù)列Xn(1)n，知lim Xn不存在，而XnXn所以前面所證

2、結(jié)論反之不成立。利用夾逼定理證明：3、(1)lim -2 n n1(n 1)1 212 =0 ；(2n)2limn2n一 =0、n!證:(1)因?yàn)?2n12n2(2n)而且2lim 一n n（2）因?yàn)? 乙n!所以，由夾逼定理得4、lim 1 亠 n n2 （n 1）22n lim n n!4，而且n禾U用單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則證明下列數(shù)列得極限存在、 xn= & , n=1,2,； X1=,xn+1= J 2Xn , n=1,2, 丫證：（1）略。2，不妨設(shè)Xk2，則故有對(duì)于任意正整數(shù) n，有Xn 2，即數(shù)列Xn有上界,Xn 1Xn貳（近賦），而Xn所以Xn1Xn0即Xn 1即數(shù)列就是

3、單調(diào)遞增數(shù)列。綜上所述，數(shù)列 Xn就是單調(diào)遞增有上界得數(shù)列,習(xí)題2-2lim 40 ,n n0,Xn 2 ,Xn，故其極限存在。1 *、證明：lim f（X）=a得充要條件就是f（x）在X0處得左、右極限均存在且都等于X X0證：先證充分性：即證若lim f（X）X Xolim f（X） a ,貝y limf（X） a、由limX Xf（X）a 及 lim f（X）X Xqa知：0,10,當(dāng)0XqX1時(shí),有f（X）a ,20當(dāng)0XXq2時(shí),有f（X）a 。取min1 , 2 ，則當(dāng)0XqX或0XXq時(shí)，有f（X）a而0X X或0 XXq就就是0XXqX于就是0,0,當(dāng) 0X X0時(shí)，有f(x)

4、所以lim f (x) a、X X再證必要性：即若lim f(x)Xx0a，則 lim f (X)X Xlim f (X)X X0a,limX Xf(x)a知,0,當(dāng) 0 x x.時(shí)，有f(x)X X0就就是X0x0,于就是0,0，當(dāng)或 0 X X0時(shí),f (x) a所以lim f(x) limX XX X0f(x)綜上所述,lim f(x)=a得充要條件就是X X)f(x)在X0處得左、右極限均存在且都等于2、利用極限得幾何意義確定嘰1(x2+a),與 lim ex ；X 01設(shè)f(x)= eX, X 0,，問(wèn)常數(shù)a為何值時(shí)，limf(x)存在、 2cX 0X a,x 0,解:(1)因?yàn)閤無(wú)

5、限接近于0時(shí),X2 a得值無(wú)限接近于a，故 Hm( X2 a)當(dāng)x從小于0得方向無(wú)限接近于 0時(shí),1e，得值無(wú)限接近于 0,1lim exX 0由(1 )知(2)若 lim f (x)存在，則 lim f (x) lim f (x)，x 0x 0x 0lim f (x) lim( x2 a) lim( x2 a) a，X 0X 0X 0lim f (X) lim e'0X 0X 0所以，當(dāng)a 0 時(shí)，lim f (x)存在。3、解:因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，sinx得值在-1與1之間來(lái)回振擺動(dòng),即sin X不無(wú)限接近某一利用極限得幾何意義說(shuō)明lim sinx不存在、X定直線(xiàn)y A，亦即y f (x)

6、不以直線(xiàn)y A為漸近線(xiàn)，所以lim sinx不存在。X習(xí)題2-31、舉例說(shuō)明：在某極限過(guò)程中，兩個(gè)無(wú)窮小量之商、兩個(gè)無(wú)窮大量之商、無(wú)窮小量與 無(wú)窮大量之積都不一定就是無(wú)窮小量，也不一定就是無(wú)窮大量、sin X解：例1：當(dāng)X 0時(shí)，tan x,si nx都就是無(wú)窮小量， 但由 cosx (當(dāng)x 0時(shí),tanxcosx 1 )不就是無(wú)窮大量，也不就是無(wú)窮小量。例2 :當(dāng)x2x時(shí)，2x與X都就是無(wú)窮大量，但一 2不就是無(wú)窮大量，也不就X是無(wú)窮小量。例3:當(dāng)X 0時(shí)，tanx就是無(wú)窮小量，而cotx就是無(wú)窮大量，但tanxgcotx2、(1)不就是無(wú)窮大量，也不就是無(wú)窮小量。判斷下列命題就是否正確：無(wú)

7、窮小量與無(wú)窮小量得商一定就是無(wú)窮小量;y=xs inx在(-g, +s內(nèi)無(wú)界，但lim xsinxMgX(8)解:無(wú)窮大量得倒數(shù)都就是無(wú)窮小量; 無(wú)窮小量得倒數(shù)都就是無(wú)窮大量、(1) 錯(cuò)誤，如第1題例1;(2) 正確，見(jiàn)教材 §2、3定理(3) 錯(cuò)誤，例當(dāng)X3； 0時(shí)，cotx為無(wú)窮大量，sinX就是有界函數(shù)cotxgs inx cosx不就是無(wú)窮大量；見(jiàn)教材§2、(4)正確,(5)錯(cuò)誤,例如當(dāng)x3定理2;10時(shí)，一與X1都就是無(wú)窮大量,X但它們之與(丄)X有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小量； 有界函數(shù)與無(wú)窮大量之積為無(wú)窮大量； 有限個(gè)無(wú)窮小量之與為無(wú)窮小量； 有限個(gè)無(wú)窮大量

8、之與為無(wú)窮大量；不就是無(wú)窮大量;(6 )正確，因?yàn)檎麛?shù)k，f(2kn+ n) (2k n+ 才)si n(2kn+ 才)2knn+ M，即 yxsin x 在()內(nèi)無(wú)界,0 ,無(wú)論X多么大，總存在正整數(shù)k,使kn> X，使f(2kn k冗sin( k冗)時(shí)， XsinX不無(wú)限增大，即 lim xsinx(7)(8) 無(wú)意義。3、指出下列函數(shù)哪些就是該極限過(guò)程中得無(wú)窮小量, 量、正確，見(jiàn)教材§2、3定理5;錯(cuò)誤，只有非零得無(wú)窮小量得倒數(shù)才就是無(wú)窮大量。零就是無(wú)窮小量，但其倒數(shù)哪些就是該極限過(guò)程中得無(wú)窮大(1) f(x)=3,XT 2;X24(2) f(x)=lnx, XT0+,

9、 XT 1,XT+g; f(x)=1ex ,xT0 + , XT0(4) f(x)= -arcta nx,xT +g；2 f(x)=1sinx,xTg ; f(x)= X F，XVX V X解：(1)因?yàn)镠m(x2 4) 0,即X 2時(shí)，X2 4就是無(wú)窮小量，所以3無(wú)窮小量，因而2也就是無(wú)窮大量。X2 4-2就是x2 4所以，當(dāng)x所以，當(dāng)從f(x) lnx得圖像可以瞧出，lim lnx,limln xx 0x 10時(shí)，x時(shí)，f(x) Inx就是無(wú)窮大量;1時(shí)，f(x) Inx就是無(wú)窮小量。1 1f (X) ex得圖可以瞧出，lim e"X 01lim e"0,(4) Q0時(shí)

10、,0時(shí),xim(n0, limxInx1f(x) e"就是無(wú)窮大量;1f(x) e，就是無(wú)窮小量。arctanx) 0,n時(shí)，f(x) ? arctanx就是無(wú)窮小量。(5) Q 當(dāng) x時(shí)，-就是無(wú)窮小量，sin X就是有界函數(shù), x1 . -sin x x就是無(wú)窮小量。(6) Q當(dāng)X 時(shí)，一2就是無(wú)窮小量，1 2就是有界變量，xV x1 一就是無(wú)窮小量。x習(xí)題2-4lim g(x)不存在，問(wèn) lim :f(x) ±(x)： , lim :f(x) g(x)就是否存x x0X X0x x0在，為什么？解：若lim f(x)存在,x X0lim g(x)不存在，則x xlim

11、 : f(x) ±(x):存在，則由x Xo(1 ) lim : f(x) ±(x):不存在。因?yàn)槿魓 xg(x) f(x) f(x)g(x)或 g(x) f(x)g(x)f(x)以及極限得運(yùn)算法則可得1f (x) si nx , g(x),則 xlim g(x)，與題設(shè)矛盾。x x0存在。1 1limsi n x 0 , lim不存在，但 lim f(x) g(x)： = limsi nx X 0X 0 Xk 1，則兀 1 V1 2 XkJ2 Xk 1Xk , x01又如： f(x) sinx , g(x)lim : f(x) g(x):X Xlim tan X不存在。n

12、X 2則 limsin xnX -21lim不存在，而X ? COSX22、若呵。"刈與Xim0g（x）均存在，且f(x)君(X),證明 lim f(x) >lim g(x)、X X0X X0證:設(shè) lim f(x)=A , limX X0X X0g（x）=B，則0 ,分別存在10 ,20 ,使得當(dāng)xo1時(shí)，有Af(x)，當(dāng) 0x Xo2時(shí)，有 g(x) Bmin1, 2 ，則當(dāng)0 xx0時(shí)，有COSXf(x) g(x) B從而AB 2 ，由得任意性推出A B即3、a2L am =A,利用夾逼定理證明：若 a1,a2,，am為m個(gè)正常數(shù)，則Hm其中 A=maxai,a2,，am

13、、 證：因?yàn)楹物坣a2InL amWmgAn，即n na2L am1mngAA，由夾逼定理得4次、利用單調(diào)有界數(shù)列必存在極限這一收斂準(zhǔn)則證明：若Xi =,x2=V2 ,，Xn+1=X? （n=1,2，則lim Xn存在，并求該極限、72, X27/2,有 x2X2Xi由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)于任意正整數(shù)n有xn 1Xn ,即數(shù)列 xn單調(diào)遞增。又因?yàn)閤12，今設(shè)xk 2，則兀1J2 Xk22 ,由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)于任意得正整數(shù)n有xn 2，即數(shù)列xn有上界，由極限收斂準(zhǔn)則知lim xn存在。n解得b5、解:設(shè)lim xn b，對(duì)等式xn 1 n2，b 1 （由極限得保號(hào)性,3nl2n45nl2 nn

14、 1Jn2nVn :,111 -L22n,111 -3L尹3原式:= limn15 -求下列極限:(1)nlimn2 n24'n311 3 nn(2)因?yàn)?lim(1nJ2 Xn兩邊取極限得b 72b ,舍去）0,即當(dāng)n，所以lim Xnnlimnlimn1 丄 cos n2)n 3n(2)n 13n 1時(shí),¥ 就是無(wú)窮小量，而 cosn就是有72界變量，由無(wú)窮小量與有界變量得乘積就是無(wú)窮小量得:1lim ( -=)cos n0 ；nV2(3) Q lim/n2nlimn(4)lim(n Vn) limn一limn(2)n 3n(2)n 13n 1(1)窗|)n 1 lim3

15、n (1)n1a2)n1 1 3311 (1)n11 ；3n41 (擴(kuò)31 (3)n13(5) lim -n11 L 12 L尹1 L36、2x 3x2 5x 4求下列極限:.x 3 lim x 3 x2 96x34 ;2x4 3x2 ;sinx cosxlim x _ cos2x2lim(x h)3 xl'm1(9)limE 3x 34X1 2，x x2 L(8)limxx sin xx sin x(10) xm (1x3)；(11) lim (x2sin1)、x 0x解: (1)limX 3 xlxm3 (x 3)(x3)1 lim x 3 x 3Q lim( x25x4)0,0(

16、2 x3)2x lim x 1 2x 35x0,即 lim.2x 3I 2X 1 x25x 4lim 6x 42x 2x4 3x2A_210;2 x2(4)sin x cosx limx - cos2x2. n nSin cos- 2 2cos nlimUL(x h) x lim(x h)2(xh)x x2(6)J2x 3 3 lim x 3 fxn(8)lim (x h)2 (x h)x x23x2 ；lim (2x 3) 9(U 2)x 3 (x 1) 4 (J2x 3 3)2(x 3)(77 2)(x3)(j2x 3 3)lim 2咚口 2)x 3 J2x 3 32r x xlimx 1

17、01Q limx xx sinx limX x sinx(10)(11)求下列極限2lim (x 1) (xx 11) L(xn 1)x(x1)(x21) L (xn1x 1)n(n1);1（無(wú)窮小量一與有界函數(shù)sinx之積為無(wú)窮小量）x1 sinxlim 1 ；x , Sinx1 xx) limxlimxlim*x 12xlimx 11(x2 x) (x2 x)2xVxx y/x=lim -3=x x門(mén)x x2)3x3(x2)( x 1J_x2)0 (1x)(1 xQ當(dāng)x 0時(shí)，x2就是無(wú)窮小量,2 1它們之積x2sin就是無(wú)窮小量,x習(xí)題（其中a>0,aMl為常數(shù)）：1sin1就是有

18、界函數(shù),x2 . 1x sin 一2-5即000。x1、sin5x3x2、tan2xsin5x3、lim xcotx;4、71 cosxcos5 x cos 2x7、cotx1 3sin x8、9、10、limxln(1 x) In x11、13、解:1、2、3、4、5、xm0arcs inx0 xsin5x limx 0 3xtan2xlimx 0 sin5ximxcotx14、sin5xlim X 0 3 5x sin 2xlimx 0 cos2xsin5x21sin2x-limgiim5 x 0 cos2xfx 0x cosxlimx0sinx3 2x x2 2xarcta nx0 x5

19、|. sin5x -lim3x 0 5x,2 1 lim x 0-53 ；sin 2x g-5"cos2x .5xgiim2x Wx 0sin5xcgimcos0sinx x 0limx5x12、v1 cosx limJ2sin 2 2.X sin 2Xxm0limX 0 2.x sin lim2 x 0 xcos5x cos2x2sinx27x . 一sin22x3xlimx勻im2x0.7sin -x27-X2limx2x2500gsin5x1 cos0 1 ；2)7.x sin 2x2.7sin-X7-x2.3sin- x3-x2.3sin - X23-x221(1 1)xx2

20、limx7、1 xx7、cotx!叫1 3sin x)IimJ1 3sin x)cosxsin x1 3cosxl'm0 (1 3sin X產(chǎn)Q lim(113si nx嚴(yán)_.cotx3si n x)e,lim3cos x 3x 03e8、令 u ax1，則x loga(1U)，0時(shí)，u9、10、11、limu 0loga(1 u)lim u 0 1-loga(1 U) U1limloga(1 ufu 01logaeIn a、xr a ilimx 0 x（利用了第limxln(1limxlim (ax 1) (a xx1)limx .a 1limx 0 xx .a 1 limx 08題

21、結(jié)論x) In xIn aIn a2lnl'm0In a)；limx1lim I n(1xlnx-)xlimx1 limxxln(1-)x3 2x2 2xlim12xlimx2xx2 2x2x2 2xe,limxx2x2 2xlimxx2x2 2xlim(12)xx xInlim exlim 丄 ln(1 丄)x2 exx玄lim 1 lim ln(1exxx0 Ine e(1 ”x1 2xlim (113、xx13、令arcsinx u，貝U x sinu ,當(dāng) xarcs inxulim limX 0X u 0 sinu14、令arctanx u，貝Uarcta nx limX 0

22、 XX tanu,當(dāng). u limu 0 tanulimu 0sinu0, u 1 sin ulimu 0 u0, u u gcosu1limgimcos uu 0 sinu u 01、1、證明：若當(dāng)XTX0時(shí),習(xí)題2-6(X) T 0H(x) T 0且（X）工0則當(dāng)XT xo 時(shí),（X）Hx）得充要條件就是limX X（X）（X）（X）=0、證：先證充分性、若limX X0（X）（X）（X）0,則 lim (1X X兇)=0,(X)即1 lim上X X (x)0,即 limX X（X）（X）也即lim 兇x x0 (x)所以當(dāng)XXo時(shí),（X）：（X）、再證必要性:若當(dāng)XX0時(shí)（X）：(x)(

23、x)，則 r 1，所以 lim -("X兇=lim (1X X0(X)X Xo兇）=1 lim上（X）X 人（X）1lim上X 冷（X）2、證:3、綜上所述，當(dāng)若 H（X）證明:XT X0時(shí)，（X）Hx）得充要條件就是lim (x)(x) = 0、x x0(x)lim Hx)=0 且 lim(x)存在，證明 limX XdX X0(x)X X（X）=0、limX X0lim (X)0、X Xolim ('g0 0X x (x)若當(dāng) XT0 時(shí)，f(x)=0(xa), g(x)=o(xb)，貝y f(x) g(x)= o(xa b),其中 a,b 都大0(x)丿mX0 (x)l

24、imX X0（X）于0,并由此判斷當(dāng)XT0時(shí)，tanx sinx就是x得幾階無(wú)窮小量、 證：當(dāng) XT0 時(shí)，f(x)=o(xa), g(x)=o(xb) lim 繆 A(A 0),lim 呻X 0X 0 xbf(x) g(x)aX于就是：lim f(x)ag(x)X 0xa bB(B 0)當(dāng) X70 時(shí)，f(X)g(x)/ tan X sinx tan x(100 XaO(xa b),cosx)而當(dāng) X70 時(shí)，tanx O(x),1 cosx由前面所證得結(jié)論知，tan x(1 cosx)xb 00爭(zhēng) xm? AB 0O(x2),O(x3),4、利用等價(jià)無(wú)窮小量求下列極限：sin ax1 co

25、skx(1)lim(b 豐 0)(2)lim2 ；X 0ta nbxX 0XlimX 0ln(1 X) 廠、，JlimX 0逅 J1 cosx ；- ;L2丄所以，當(dāng) xF 時(shí),tanx sinx就是x得3階無(wú)窮小量、x.ax-bxeearcta n xarcs in xlim (a砌)；X 0 sin ax sin bxIn cos2xIn cos3x解(1"叫$卒lim坐旦(8)設(shè)xmf(x) 3 =100，求 lim f(x)、tan bx x 0 bx b1 coskx lim02X 0 Xlim0nX 0丁1 X 1(kx)200 =/L. arcta nx00贏浪Xlim

26、 2.X 0 X2COSX)J1 X21lxm0；lim qX 0 X V2 v1 cosx71 X21limj1.limx 0X2 71 X2 1X 02 <2 71 cosx4ax bxe e(6)lim X 0 sin ax sinbxlim上學(xué)亠x 0 a b . a b 2cosxsinX2 2.e 1lim rrX 0 a b . a b2cosxsinX2 2axlimX 0 a b a b 2cosXX2 2ab)cos a_b Xa ba blim 一x 0(a1.lim必0X 0 ln cos3xln 1 (cos2xlim x 01 n 1 (cos3x 1)

27、63;(2x)2lim 2x 0 1 2 -(3x) 21 cos2x limx 01 cos3x(8)由X叫f(x) 32X100,及 lim x2x 0阿 f(x) 3所以bx /e 1c a b . a b 2cosxsinX2 2bxc a b a b 2cosX X2 2b(a b)cos-a2b Xlimx 01) cos2x 1 limX 0cos3x 1lim竺X 0 9x20知必有x叫 f (x)lim f(X)3、X 0習(xí)題2-71、研究下列函數(shù)得連續(xù)性，并畫(huà)出函數(shù)得圖形：3X(1) f(x)= c31,0x,1x 1,x 2;列 f(X)30,0, f(x)=x,1,xx

28、 1,誠(chéng)x 1.解：(1) Q limx 0f(X) lim(x31) 1f(0) f(x)在x=0處右連續(xù)，又Q limf(x)limx 1f(x)lim(3 X)X 1iim(x3 1)lim f (X)2 f (1)X 1- f(x)在x=1處連續(xù)、呵f(x)阿3x) 1f(2)f(x)limx 1- f(x)在x=2處連續(xù)、又f(x)在(0,1),(1,2)顯然連續(xù)，綜上所述,f(x)在0,2上連續(xù)、圖形如下： Q lim f(X)x 1lim xx 1lim f(x)x 1lim f(x)x 1lim1 1x 1limx 1f(x) 1f(1)- f(x)在x=1處連續(xù)、又 xlim

29、1f(x)limx 1f(x)limx 1故limx 1f(x)limx 1f(x) f(x)在x=-1處間斷，x=-1就是跳躍間斷點(diǎn)、又 f(x)在(，1),( 1,1),(1,)顯然連續(xù)、綜上所述函數(shù)f(x)在 x=-1處間斷，在(-1),( 1,)上連續(xù)、圖形如下：2、說(shuō)明函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處有定義、有極限、連續(xù)這三個(gè)概念有什么不同？又有什么聯(lián)系？略、?試舉例說(shuō)明、3、函數(shù)在其第二類(lèi)間斷點(diǎn)處得左、右極限就是否一定均不存在 解:函數(shù)在其第二類(lèi)間斷點(diǎn)處得左、右極限不一定均不存在、例如f (x)1xx 0,x 0就是其得一個(gè)第二類(lèi)間斷點(diǎn)，但lim f(x) lim x 0即x 0x 0x 0

30、1,而 lim f(x) lim -X 0' ' x 0 x4、求下列函數(shù)得間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)得類(lèi)型:在x 0處左極限存在，即在X 0處右極限不存在、 f(x)=x21 f(x)= f(x)=解：(1)由3x 2 f(x)=sin x xsin x1 ixx ；xsin-、x2x 3x 20 得 x=-1, x=-2x2 1xim1f(x)xim1；x f(x)=x 22 x1)2)ximh2lim f (x)X 2/ x=-1就是可去間斷點(diǎn)，x=-2就是無(wú)窮間斷點(diǎn)、由sinx=0得xkn ,k為整數(shù)、lim f(x) limsinx x lim(1x 0x 0 sinxx

31、0xsin x(3)Q f (x)(1(1limx k(k 0)1x)x1x)xf(x)呵 f (x)01x)，e,lim f (x)x 0岬1 x=0就是跳躍間斷點(diǎn)、 由 x2-4=0 得 x=2,x=-2、,x 2lim x 2x2 42xm. f (x)lim x 2 x- x=2就是無(wú)窮間斷點(diǎn)xim2f (x)1x)xlimx1xim(1( x)勺12 x 214，,x=-2就是可去間斷點(diǎn)、1 Q lim f (x) lim xs in-0, f (x)在 x=0 無(wú)定義x 0x 0x故x=0就是f(x)得可去間斷點(diǎn)、5、適當(dāng)選擇a值，使函數(shù)f(x)=x 0'u，在點(diǎn)x=0處連

32、續(xù)、x,x 0解： f(0)= a,lim f (x) lim( ax)a,Pm f(X)lim ex 01,要f(x)在 x=0處連續(xù),必須limx 0f(x)limx 0f(x) f(0)、即 a=1、6、設(shè) f(x)= limxx ax a，討論f(x)得連續(xù)性、解：f (x) limax ax a alimaa2x 1a2x 10 sg n(x)0所以，f(x)在(，0) U (0,)上連續(xù),x=0為跳躍間斷點(diǎn)、7、(1)求下列極限：. 2x lim ;x 2 x2 x 2 lim J3 2x X2x 0lim ln(x-1);x 2(4) lim arcsin J1 x21x -2lim (lnx)x、x e2x解:xmL22 2 21；顧。73