高中數(shù)學概率易錯題辨析

1、高考數(shù)學概率易錯題辨析一、概念理解不清致錯例1.拋擲一枚均勻的骰子，若事件 A : “朝上一面為奇數(shù)”，事件B: “朝上一面的點 數(shù)不超過3"，求P (A+B )錯誤解法：事件 A:朝上一面的點數(shù)是1, 3, 5;事件B:越上一面的點數(shù)為1,2, 3,3 3 1.P (A+B) =P (A) +P (B) =-+-=16 6 2錯因分析：事件 A:朝上一面的點數(shù)是1, 3, 5;事件B:越上一面的點數(shù)為1,2, 3, 很明顯，事件 A與事件B不是互斥事件。即P (A+B) WP (A) +P (B),所以上解是錯誤的。實際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點數(shù)為 1, 2, 3,

2、 5四種情況P (A+B )=-=- 6 3錯誤解法2:事件A:朝上一面的點數(shù)為1, 3, 5;事件B:朝上一面的點數(shù)為 1, 2,3,即以A、B事件中重復(fù)的點數(shù) 1、3P (A+B ) =P (A) +P (B) P (A B)=1 12 211X 2 2 ,2 、一一，,一錯因分析：A、B事件中重復(fù)點數(shù)為1、3,所以P (A-B)=;這種錯誤解法在于簡 6單地類比應(yīng)用容斥原理 Card (AUB) =Card (A) +Card(B) - Card (APl B)致錯正確解答：p (A+B) =P (A) +P (B) P (A B)112 2 =, -= 一2 2 6 3例2.某人拋擲一

3、枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列an ,使 an11,(當?shù)趎次擲出偶數(shù))11,(當?shù)趎次擲出奇數(shù))Sn =Q +a2 + +an 求 Si 之0(i =1,2,3,4)且 S8 =2 的概率。錯解：記事件A : S8=2,即前8項中，5項取值1,另3項取值1S8 =2 的概率 P(A) =C； (1)82記事件B: Si*0(i=1,2,3,4),將Si占0(i=1,2,3,4)分為兩種情形:(1)若第1、2項取值為1,則3, 4項的取值任意(2)若第1項為1,第2項為1,則第3項必為1第四項任意P(B)=(1)2 +(1)3=3 2283.1c.所求事件的概率為P=P (A) P (B) =3 -C8

4、5 -(-)8錯因分析：Si 20且S8 =2是同一事件的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨立事件。Si >0 XS8 =2的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為:正解：Si >0(i =1,2,3,4).前4項的取值分為兩種情形若1、3項為1 ;則余下6項中3項為1,另3項為-1即可。即P1 =d (1)8 ；若1、2項為正，為避免與第類重復(fù)，則第 3項必為-1,1 C則后5項中只須3項為1,余下2項為-1,即P2 =c53 .(-)82，所求事件的概率為 P =(C3 C53) (1)8 =¥65227二、有序與無序不分致錯例3.甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有 10個不同的題

5、目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙依次各抽一題。求：(1)甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有 1人抽到選擇題的概率是多少？錯誤解法：(1)甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為C6乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為c4而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為C120所求概率為:11c6c4C 2C1015錯因分析：甲、乙依次從 10個題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當是先選后排，所以應(yīng)為A20。為避免錯誤，對于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果應(yīng)為C；0種，乙再抽取 余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為 c9種，所以cc1正確解答：半彳=4C10c915(2)錯誤解法：從對立事件考慮，甲、乙都

6、抽到判斷題的結(jié)果為C：種，所以都抽到判2Cf1 1 14斷題的概率為 令7 =,所求事件的概率為1 一=14C；0c9 1515 15錯因分析：指定事件中指明甲、 乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為-1-1, 一 一, c4c12c4c3種，所以所求事件概率應(yīng)為 1 -=一C110C915說明：對于第（2）問，我們也可以用這樣解答：C：221 一二二上,這里啟示我們，當基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件C2015包含在基本事件中）；當基本事件是無序的，則指定事件也必無序。關(guān)鍵在于基本事件認識 角度必須準確。例4.已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這 8支球隊分為A

7、、B兩組，每組4 支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率。錯解1 :將8支球隊均分為A、B兩組，共有CfC：種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的分法為：先從3支弱隊取2支弱隊，又從5支強隊取2支強隊，組成這一組共有 C，C3253種方法，其它球隊分在另一組，只有一種分法。，所求事件的概率為:gj2c2 _3C4C4錯因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來看，分組是講求順序的，那么指定事件："A、B組中有一組有2支弱隊”應(yīng)分為兩種情形。即“ A組有”或“ B組有”，所以正確解答為：正解.空d-6或C2 .6川十44 人 44c c4c4 7c84c4/A2 7說明：這道題也可從對立事件

8、求解：3支弱隊分法同一組共有：c5 +C；種結(jié)果。.所求事件概率為1C1 c5 =£一 C；C：=7三、分步與分類不清致錯例5.某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問他恰在第3次打開房門的概率？錯誤解法：由于此人第一次開房門的概率為1 1 ,若第一次未開，第2次能打開房門的概5率應(yīng)為1 ;所以此人第3次打開房門的概率為 1。43錯因分析：此人第3次打開房門實際是第 1次未打開，第2次未打開，第3次打開“這 三個事件的積事件”，或者理解為“開房門是經(jīng)過未開、未開、開”這三個步驟，不能理解為此事件只有“開房門”這一個步驟，所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1次未打開房門的概率為 4;第

9、2次未開房門的概率為-;第3次打開房門54一、,1 .一,4 3 1 1的概率為一，所求概率為： p =-k-k-=-。35 4 3 5例5.某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時在距目標100m處射擊，若命中記 3分，同時停止射擊。若第一次未命中，進行第二次射擊，但目標已在150m遠處，這時命中記 2分，同時停止射擊；若第 2次仍未命中，還可以進行第3次射擊，此時目標已在 200m遠處。若第3次命中則記1分，同時停止射擊，若前 3次都未命中，則記 0分。已知身手甲在 100m處1擊中目標的概率為 1,他命中目標的概率與目標的距離的平方成反比,且各次射擊都是獨立2的。求：射手甲得 k分的概率為:設(shè)射手射

10、擊命中目標的概率Pk,求 P3, P2, P1, P0 的值。P與目標距離x之間的關(guān)系錯誤解法：P35000P2215025000R 二22002_ 1 一萬291一82 -10(2- k =500012149P。=(1 -)(1 )(1 ):0298144錯因分析：求 P2時，將第150m處射擊命中目標的概率作為第2次命中目標的概率,隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實際上，第2次射擊行為的發(fā)生是在第 1次未擊中 的前提下才作出的。.P2應(yīng)為“第1次未擊中，一一 1正解：P3 =212 1P2 =(1 -)2 9 912 1R =(1 )(1 -)-129 8第2次擊中”這兩個事件的積事件

11、的概率。求P1時也如此。7144121"一3"一才49144四、考慮不周致錯例7.將n個球等可能地放入到 N (nxn)個有編號的盒子中(盒子中容納球的個數(shù)不 限)。求A:某指定的n個盒子中恰有一球的概率。錯誤解法：將n個球等可能地放入到 N個盒子中，共有 Nn種方法。而指定的n個盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率： P(A)=n-Nm錯因分析：這種解法不全面，如果球是有編號的，則答案是對的。若球是不可辨認的，則答案錯了，若球是不可辨認的，則若考慮盒子中球的個數(shù)而不考慮放的是哪幾個球，為此,我們用“口”表示一個盒子；用表示一個球，先將盒子按編號把n個球放入N中盒子中，

12、形如：101001110001,正好看作N+1個“1”和n個“ 0”的全排列。由于兩邊必為“ 1”所以排法只有CN.一種；而指定的n個盒子中恰有一球的放n!(N -1)!(N n -1)!1法只有1種，故P(A)=CN+.五、混淆“互斥”與“獨立”出錯例8.甲投籃命中概率為 0.8,乙投籃命中概率為 0.7,每人投3次，兩人恰好都命中 2 次的概率是多少？錯解：設(shè)“甲恰好投中 2次”為事件A, “乙恰好投中2次”為事件B,則兩人恰好投 中2次為A+B 。所以 P(A+B) =P (A) +P (B) =C：0.82 m 0.2+C：0.72 m 0.3 =0.825。 33錯因分析：本題解答錯

13、誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中 2次”與“乙恰好投中 2次”的和。正解：設(shè)“甲恰好投中 2次”為事件A, “乙恰好投中2次”為事件B,則兩人恰好都 投中2次為AB。所以 P(AB) =P (A) XP(B) =C20.82 x0.2 xC20.72 x 0.3 =0.169六.混淆有放回與不放回致錯例9.某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測試，取后不放回，求:(1)恰好到第5次3只次品全部被測出的概率；(2)恰好到第k次3只次品全部被測出的概率 f(k)的最大值和最小值。錯解：(1) P (A) = 2 7 5 2= 10 9 8 7 6 144(2)懇=C3 3，(1 _3)2 =0.21。1010錯因分析：錯解(1)的錯誤的原因