證券組合前沿的數(shù)值計(jì)算1

1、數(shù)學(xué)規(guī)劃綜合性設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)二證券組合的有效前沿的數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、了解馬柯維茨均值-方差模型的方法；2、掌握運(yùn)用Excel或其他數(shù)學(xué)軟件、根據(jù)多種股票的歷史數(shù)據(jù)估計(jì)股票的期望收益率和協(xié)方差矩陣的方法；3、掌握用Lingo軟件求解二次規(guī)劃的方法；4、掌握用Lingo軟件數(shù)值計(jì)算投資組合有效前沿的方法；5、用Lingo軟件通過(guò)數(shù)值計(jì)算，比較是允許賣(mài)空和不允許賣(mài)空條件對(duì)投資組合有效前沿的影響。實(shí)驗(yàn)問(wèn)題：附錄中給出了五種股票在2002年3月1日至2007年2月1日期間，在20個(gè)交易日內(nèi)的收益率歷史數(shù)據(jù)。請(qǐng)利用這些數(shù)據(jù)，用取定組合的不同期望收益率水平然后求解背景材料中的規(guī)劃或的方法，計(jì)算下列條件下時(shí)期

2、長(zhǎng)度為20天的馬柯維茨的均值-方差單期模型的有效前沿面：1、 允許賣(mài)空；2、 不允許賣(mài)空；3、 有限允許賣(mài)空（1） 限度是不超過(guò)10；（2） 限度是不超過(guò)15；（3） 限度是不超過(guò)20；并比較你所得到的結(jié)果，看看能否得出進(jìn)一步的結(jié)論，并給出相應(yīng)的解釋。實(shí)驗(yàn)步驟：第一步，利用Excel或其他數(shù)學(xué)軟件，估計(jì)五種股票的期望收益率和協(xié)方差矩陣；第二步，建立均值-方差模型；第三步，利用Lingo軟件計(jì)算不同期望收益率水平下的最優(yōu)組合權(quán)向量；第四步，在標(biāo)準(zhǔn)差-均值平面內(nèi)作出所得到的有效前沿面上的點(diǎn)；第五步，結(jié)果的進(jìn)一步分析。背景材料一、投資組合簡(jiǎn)介人們投資與金融資產(chǎn) 金融資產(chǎn)包括政府和企業(yè)債券、股票、期權(quán)

3、等。具體的解釋請(qǐng)自行查閱相關(guān)金融資料。的目的是為了獲得更大的未來(lái)收益。但是，由于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中存在大量的不確定影響因素，供選擇的金融資產(chǎn)的未來(lái)收益是不確定的，收益率的高低取決于各種條件的具體實(shí)現(xiàn)，這樣，收益和不確定性（理論上稱(chēng)這種不確定性為風(fēng)險(xiǎn)）緊密相關(guān)的。為了減少不利情況出現(xiàn)時(shí)的損失，人們?cè)谧非笫找孀畲蠡耐瑫r(shí)，也要追求所面臨風(fēng)險(xiǎn)的最小化。在長(zhǎng)期的投資實(shí)踐中，人們發(fā)現(xiàn)：投資越分散，總的投資風(fēng)險(xiǎn)會(huì)越小。對(duì)于金融資產(chǎn)投資亦如此，投資者手中持有的不同風(fēng)險(xiǎn)的金融資產(chǎn)越多，他所面臨的風(fēng)險(xiǎn)就越低。一個(gè)合理的投資策略是把總投資額按照一定的比例分散投資到若干備選金融資產(chǎn)上去，我們稱(chēng)這樣的一個(gè)投資方案為一個(gè)投資組

4、合。怎樣選擇投資組合，使之具有最大的未來(lái)收益率最大和最小的風(fēng)險(xiǎn)就形成了所謂的投資組合問(wèn)題。但是，稍加思考我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)遇到了新的問(wèn)題：既然投資組合的未來(lái)收益具有不確定性，那么，應(yīng)該怎樣度量一個(gè)投資組合的未來(lái)收益和風(fēng)險(xiǎn)呢？對(duì)于投資組合的未來(lái)收益，金融界一致同意用投資組合的期望收益來(lái)度量，而投資組合的風(fēng)險(xiǎn)的度量問(wèn)題一直是金融學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。盡管學(xué)者們已經(jīng)提出大量的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，但是，至今沒(méi)有找到一個(gè)完美的，或者說(shuō)是一致接受的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。馬柯維茨（Markowitz）于1952開(kāi)創(chuàng)性地提出了解決投資組合問(wèn)題的第一個(gè)模型，這個(gè)模型被稱(chēng)為均值-方差模型，這個(gè)模型奠定了現(xiàn)代金融學(xué)的基礎(chǔ)。二、市場(chǎng)不包

5、含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)馬柯維茨均值-方差模型簡(jiǎn)介（一）基本假設(shè)：1、 考慮一個(gè)單期投資決策問(wèn)題，即在時(shí)刻0作出投資決策，在時(shí)刻1得到投資收益；2、 市場(chǎng)中有種收益率（隨機(jī)變量）分別為的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（），它們的期望收益和協(xié)方差矩陣為這里，。記 （1）3、 ，是正定矩陣。4、 影響投資決策的主要因素為期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)，且投資風(fēng)險(xiǎn)用投資收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)方差表示5、 投資者都遵守占優(yōu)原則：在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券；同一收益水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。6、 資產(chǎn)交易無(wú)摩擦，即無(wú)交易費(fèi)用、無(wú)稅收、無(wú)買(mǎi)賣(mài)價(jià)差，資產(chǎn)可以任意分割；市場(chǎng)中有充分多的投資者，且每位投資者的投資行為對(duì)市場(chǎng)價(jià)格無(wú)影響，即投資者都是價(jià)格的

6、接受者；7、 不允許賣(mài)空，即投資者只能賣(mài)出他擁有的資產(chǎn)。注意：假設(shè)7的替代形式是：允許賣(mài)空，即投資者可以在時(shí)刻0賣(mài)出他沒(méi)有的某種或多種資產(chǎn)，然后在時(shí)刻1從市場(chǎng)上買(mǎi)入相同數(shù)量的同總資產(chǎn)沖平他在時(shí)刻0賣(mài)出的資產(chǎn)。（二）模型與主要結(jié)論用表示投資者投資在資產(chǎn)上的份額，例如表示投資者把總投資的10的份額投資在資產(chǎn)上。這樣，我們就可以用一個(gè)權(quán)重向量表示一種投資組合。易見(jiàn)，權(quán)向量為的組合的隨機(jī)收益率為（2）根據(jù)概率論的相關(guān)知識(shí)不難得組合的期望收益率和方差分別為（3）（4）根據(jù)假設(shè)6，我們引入如下定義：定義1 稱(chēng)一個(gè)證券組合是有效前沿組合，如果在期望收益率等于組合的期望收益率的所有組合中，的方差最小。有效前沿

7、組合全體構(gòu)成的集合成為有效前沿，記為。不難證明如下結(jié)論定理1 組合是一個(gè)有效前沿組合的充分必要條件是：存在，使得組合的權(quán)向量是下列二次規(guī)劃問(wèn)題的解：（1）不允許賣(mài)空時(shí)（注：這里，）（2）允許賣(mài)空時(shí)定理2 如果市場(chǎng)是允許賣(mài)空的，則對(duì)任意一個(gè)有效組合（其權(quán)向量為），均有（5）其中，和分別由（3）和（4）式給出，如圖1所示，這是在標(biāo)準(zhǔn)差-均值平面上的一條雙曲線的右邊一枝的上半部分，我們稱(chēng)之為有效前沿面。這條雙曲線其漸進(jìn)線方程為圖1 平面上的有效組合前沿面可行組合有效組合前沿注：對(duì)于不允許賣(mài)空的市場(chǎng)，有效前沿的相應(yīng)結(jié)果要復(fù)雜一些，這里就不給出相應(yīng)的結(jié)論。 讓期望收益水平取一個(gè)值，求解相應(yīng)的規(guī)劃，就可以

8、得到允許賣(mài)空條件下有效前沿面上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)期望收益水平取一序列不同的點(diǎn)時(shí)，分別求解相應(yīng)的規(guī)劃，就可以得到允許賣(mài)空條件下有效前沿面上的一序列點(diǎn)。用這種方法，我們就可以勾畫(huà)出有效前沿面。對(duì)于不允許賣(mài)空的市場(chǎng)，用類(lèi)似的方法也可以大致地勾畫(huà)出有效前沿面的輪廓。值得注意的是，上面介紹的賣(mài)空是無(wú)限制的，在實(shí)際操作和管理中還會(huì)遇到允許有限賣(mài)空和允許部分賣(mài)空的情形，例如，允許無(wú)限制賣(mài)空第一種資產(chǎn)、第二種資產(chǎn)的賣(mài)空限度為不超過(guò)總投資額的20，其余資產(chǎn)不允許賣(mài)空。對(duì)于這種情況，我們只需要修改模型的最后一個(gè)約束條件，即把修改為：附錄: 五種資產(chǎn)20個(gè)交易日的收益率歷史數(shù)據(jù)DateIBMMSFTAAPLDGXBACD

9、ateIBMMSFTAAPLDGXBAC2/1/2007-0.152%-0.972%-1.155%1.105%0.494%8/2/2004-2.532%-3.908%6.679%4.290%5.821%1/3/20072.055%3.349%1.049%-0.794%-1.517%7/1/2004-1.227%-0.241%-0.615%-3.216%0.472%12/1/20065.696%1.703%-7.441%-0.320%-0.854%6/1/2004-0.488%8.884%15.966%-1.396%2.776%11/1/2006-0.120%2.621%13.049%6.910

10、%1.013%5/3/20040.679%0.395%8.844%2.151%3.285%10/2/200612.673%4.952%5.326%-18.543%0.547%4/1/2004-4.001%4.788%-4.660%2.022%-0.609%9/1/20061.193%6.443%13.456%-4.856%4.083%3/1/2004-4.825%-6.015%13.043%-0.049%-0.166%8/1/20065.025%7.200%-0.162%6.928%0.971%1/2/20047.062%1.049%5.519%16.517%1.294%7/3/20060.7

11、63%3.241%18.666%0.486%7.135%12/1/20032.364%6.429%2.297%0.196%7.730%6/1/2006-3.856%2.890%-4.183%7.502%-0.633%11/3/20031.378%-1.625%-8.654%7.867%-0.393%5/1/2006-2.611%-5.860%-15.087%0.018%-2.026%10/1/20031.302%-5.440%10.425%11.542%-2.959%4/3/2006-0.160%-11.223%12.229%8.855%9.608%9/2/20037.705%4.787%-8

12、.400%1.057%-0.525%3/1/20062.780%1.242%-8.425%-2.972%0.410%8/1/20031.137%0.437%7.306%0.411%-4.028%2/1/2006-1.050%-4.216%-9.297%6.948%3.680%7/1/2003-1.522%3.017%10.598%-6.320%4.502%1/3/2006-1.101%7.642%5.035%-3.802%-4.160%6/2/2003-6.284%4.174%6.125%0.678%7.410%12/1/2005-7.535%-5.533%6.001%2.780%0.568%

13、5/1/20033.882%-3.747%26.301%6.064%0.189%11/1/20058.835%8.036%17.764%7.237%6.027%4/1/20038.246%5.627%0.566%0.103%10.805%10/3/20052.070%-0.119%7.424%-7.420%3.908%3/3/20030.614%2.143%-5.859%13.111%-2.548%9/1/2005-0.493%-6.020%14.331%1.112%-2.157%2/3/2003-0.120%0.195%4.596%-1.903%-1.175%8/1/2005-3.170%7

14、.211%9.941%-2.638%-0.147%1/2/20030.901%-8.199%0.279%-5.468%0.710%7/1/200512.471%3.122%15.865%-3.459%-4.421%12/2/2002-10.835%-10.397%-7.613%1.981%0.203%6/1/2005-1.785%-3.718%-7.420%1.466%-0.558%11/1/200210.313%7.882%-3.487%-12.600%0.374%5/2/2005-0.818%2.307%10.261%-0.766%2.847%10/1/200235.368%22.234%

15、10.759%3.759%9.412%4/1/2005-16.418%4.659%-13.463%0.810%2.126%9/3/2002-22.639%-10.854%-1.762%9.748%-8.134%3/1/2005-1.294%-3.946%-7.111%5.776%-4.548%8/1/20027.311%2.268%-3.277%-7.184%5.366%2/1/2005-0.714%-3.947%16.671%4.300%0.586%7/1/2002-2.223%-12.278%-13.883%-29.805%-5.480%1/3/2005-5.235%-1.653%19.410%-0.106%-1.319%6/3/2002-10.506%7.461%-23.948%-1.569%-6.433%12/1/20044.605%-0.345%-3.967%1.929%2.564%5/1/2002-3.754%-2.571%-4.036%-4.878%4.597%11/1/2