七年級數(shù)學(xué)競賽講座05_代數(shù)式初步

1、七年級數(shù)學(xué)競賽系列講座(5)代數(shù)式初步一、 一、知識要點1、代數(shù)式定義1 用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式。2、代數(shù)式的值定義2 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。3、列代數(shù)式列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確地分析數(shù)量關(guān)系，要掌握和、差、積、商、冪、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等數(shù)學(xué)概念和有關(guān)知識。列代數(shù)式實質(zhì)上是把“文字語言”翻譯成“符號語言”。4、求代數(shù)式的值代數(shù)式的值由它所含字母的取值決定，并隨字母取值的改變而改變，字母取不同的值，代數(shù)式的值可能同也可能不同。代數(shù)式中所含字母取值時，不能使代數(shù)式無意義。求代數(shù)式的值

2、的一般步驟是(1)代入，(2)計算。 二、 二、例題精講例1、輪船在靜水中的速度是每小時a千米，水流速度為每小時b千米(b<a)，甲乙兩碼頭間相距S千米，則輪船在甲乙兩碼頭間往返一趟的平均速度為每小時 千米。分析：輪船在甲乙兩碼頭間往返一趟的平均速度應(yīng)為往返一趟的總路程除以總時間。解 因為輪船在靜水中的速度是每小時a千米，水流速度為每小時b千米(b<a) 則輪船的順流速度為(a+b)千米，逆流速度為(a-b)千米，所以順流所用時間是 逆流所用時間是，輪船在甲乙兩碼頭間往返一趟的平均速度為往返路程的和除以往返所用時間的和，即評注：順流速度=靜水中的速度+水流速度；逆流速度=

3、靜水中的速度-水流速度。 例2一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰(zhàn)士要與最前面的團(tuán)長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團(tuán)長。為了回到隊尾，他在追上團(tuán)長的地方等待了t2分鐘。如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么要( )分鐘。A、 B、 C、 D、分析：這是行程問題中的相遇問題。解 部隊的行軍速度為米/分。t1分鐘內(nèi)，隊尾的戰(zhàn)士比部隊多走了a米，則他的速度為米/分=米/分。他從最前頭跑步回到隊尾的過程中，隊尾恰好與他相向而行，故所需時間應(yīng)為(分) 選C 例3 若a<b<c，x<y<z，則下面四個代數(shù)式的值最大的是( )A、ax+by+cz B、ax+cy+bz C、b

4、x+ay+cz D、bx+cy+az分析：由于本題涉及的字母比較多，直接比較四個代數(shù)式的大小很困難。因為是選擇題，故可采用特值排除法來解。解：a<b<c，x<y<z，可設(shè)a=x=1,b=y=2,c=z=3，然后分別代入四個選擇支計算得：A的值是14；B、C的值都為13；C的值為11，故選A評注：用特值排除法來解選擇題，有時能取到事半功倍的效果。 例4 已知，求 的值。分析 此題若將左邊六次方展開，計算相當(dāng)繁瑣。注意到求的是偶次冪項的系數(shù)和，故可將x=1和x= -1分別代入已知等式的兩邊，得到和，相加除以2即可得所求的值。解 將x=1代入已知等式，得 將x= -

5、1代入已知等式，得 兩式相加，得2()=730 =365評注：本題采用的是特值法。 例5 已知當(dāng)x=7時,代數(shù)式ax5+bx-8=8,求x=7時,的值.分析 代數(shù)式ax5+bx-8中有三個字母,將x=7代入，仍無法求出a,b的值，影響直接代入求值，但通過觀察，發(fā)現(xiàn)將x=7代入,可整體地求出75a+7b的值，從而問題得到解決。解 由已知條件知：a75+b7-8=8，所以a75+b7=16 當(dāng)x=7時，=(a75+b7)+8=16+8=16評注：本題采用的是“整體處理思想”，整體處理是一種常用的數(shù)學(xué)思想。 例6 若ab=1，求的值分析 此題的解法很多，關(guān)鍵是如何充分利用好ab=

6、1，如由ab=1得出，然后直接代入計算；如利用ab=1巧秒地將式子中的“1”代換成ab；如在式子的一個分式的分子、分母上乘以a或b，然后化成同分母進(jìn)行計算。解法1 由ab=1得，從而=解法2 ab=1，=解法3 ab=1，=評注：本題中的解法2與解法3巧秒地應(yīng)用了 “1”的代換，“1”的代換是恒等變形中的常用技巧之一。 例7 若a、b、c全不為零，且 求證：(1978丹東市數(shù)學(xué)競賽試題)分析 本題是由兩個已知等式來證明一個等式，容易發(fā)現(xiàn)，所求證等式中沒有b，因而可設(shè)法從兩已知等式中消去b。證明：由，由 兩式相乘得 整理得 去分母得ac+1=a，因為a0，故兩邊同除以a得評注：本題是證

7、明條件恒等式，條件恒等式的證明關(guān)鍵是充分利用好條件式。 例8 對任意實數(shù)x、y，定義運算xy為xy=ax+by+cxy 其中a、b、c為常數(shù)，等式右端運算是通常的實數(shù)的加法和乘法?，F(xiàn)已知12=3，23=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)x,都有xd=x，求d的值。解 由已知條件知 12=a+2b+2c=3 23=2a+3b+6c=4 xd=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x 由得 a+cd=1 bd=0因為d0，所以b=0 代入得a+2c=3，代入得2a+6c=4從而解得a=5，c= -1，將a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4評注：解決定義新運算的問題，關(guān)鍵

8、是通過新運算的定義，將新運算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運算。 例9已知代數(shù)式，當(dāng)時的值分別為1，2，2，而且不等于0，問當(dāng)時該代數(shù)式的值是多少？(第11屆希望杯數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)題)分析：所給代數(shù)式中含有4個字母a、b、c、d，將所給的三個x取值代入，可得三個方程，要直接求出a、b、c、d的值不可能，但可將d視為常數(shù)，從而三個方程可組成關(guān)于a、b、c方程組，可將a、b、c用d表示出來，代入將代數(shù)式化簡后求值。解：將分別代入該代數(shù)式，得到由此可得 將代入第一個和第三個等式中，得 ； 進(jìn)而得到 將和代入代數(shù)式中，得到；再將代入，得 即當(dāng)時該代數(shù)式的值是評注：本題采用的是方程思想，方程思想是常用的數(shù)學(xué)思想，含有

9、未知數(shù)的等式常?？煽醋饕粋€方程。 三、 三、鞏固練習(xí)選擇題1、若代數(shù)式2y2+3y+7的值是2，則代數(shù)式4y2+6y-9的值是( ) A、1 B、-19 C、-9 D、92、在代數(shù)式xy2中，x 與 y的值各減少25%，則代數(shù)式的值( ) A、減少50% B、減少75% C、減少其值的 D、減少其值的3、一個兩位數(shù)，用它的個位，十位上的兩個數(shù)之和的3倍減去-2，仍得原數(shù)，這個兩位數(shù)是( )A、26 B、28 C、36 D、384、在式子中，用不同的x值代入，得到對應(yīng)的值，在這些對應(yīng)值中，最小的值是( )A、1 B、2 C、3 D、45、實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，且abc=1則

10、的值( )A、是整數(shù) B、是零 C、是負(fù)數(shù) D、正、負(fù)不定6、如果，那么下列說法正確的是( ) A、x、y、z中至少有一個為1 B、x、y、z都等于1C、x、y、z都不等于1 D、以上說法都不對填空題7、某人上山、下山的路程都是S，上山速度為v，下山速度為u，則此人上、下山的平均速度是 8、已知，則代數(shù)式xx+yy-xy-yx的值是 9、設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2，n=c2+d2，mn也可以表示成兩個整數(shù)的平方和，其形式是 10、如果用四則運算的加、減、除法定義一種新的運算，對于任意實數(shù)x、y有 則= 11、如果2x2-3x-1與a(x-1)2+b(x-1)+c是同一個多項式的不同形式，那么 12、如果(x-a) (x-4)-1能夠分解成兩個多項式x+b、x+c的乘積，且b、c均為整數(shù)，則a=  解答題13、已知，求a1+a2+a3+a4+a514、a、b、c互不相等