2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷

1、第1頁（共28頁）2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分.請把答案填寫在答題 卡相應(yīng)位置上.1. （5.00 分）已知集合 A=0, 1, 2, 8 , B= - 1, 1, 6, 8，那么 AHB _ .2. （5.00 分）若復(fù)數(shù) z 滿足 i?z=1+2i,其中 i 是虛數(shù)單位，則 z 的實部為_ .3.（5.00 分）已知 5 位裁判給某運動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為 _.89990114. （5.00 分）一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S 的值為_ .:LIiI;:s*-l;

2、；WhfltI6iIL 仇；:L2S|:End Vhil 亡I:Print S5. （5.00 分）函數(shù) f （x） = | 工_的定義域為_6. （5.00 分）某興趣小組有 2 名男生和 3 名女生，現(xiàn)從中任選 2 名學(xué)生去參加活動，則恰好選中 2 名女生的概率為_.7TTT7. （5.00 分）已知函數(shù) y=sin（2x+ （ 0, b 0)的）的圖象關(guān)于直線第2頁（共28頁）9. (5.00 分)函數(shù) f (x)滿足 f (x+4) =f (x) (x R),且在區(qū)間(-2, 2 上,第3頁（共28頁）COLD2?0 応 2 ， 則 f (f (15)的值為 吩 h -2! 12an+

3、1成立的 n 的最小值為_.二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時 應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. (14.00 分)在平行六面體 ABCD- A1B1C1D1中，AA1=AB, AB1丄 B1C1.求證：(1) AB/ 平面 A1B1C;(2)平面 ABBA1丄平面 A1BC.f (X)體的體積為_第4頁（共28頁）16. (14.00 分)已知a,B為銳角，tana-=,COS(a+B)=_.35(1) 求 COS2a的值；(2) 求 tan (a-B)的值.17. （14.00 分）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓0 的一段圓

4、弧 Yl J（P 為此圓弧的中點）和線段 MN 構(gòu)成.已知圓 0 的半徑為 40 米，點 P 到 MN 的距離為 50 米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為 矩形 ABCD大棚n內(nèi)的地塊形狀 CDP 要求 A, B 均在線段 MN 上，C, D 均在圓弧上.設(shè) 0C 與MN 所成的角為9.（1） 用9分別表示矩形 ABCD 和厶 CDP 的面積，并確定 sin 啲取值范圍；（2） 若大棚 I 內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚n內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的 單位面積年產(chǎn)值之比為 4: 3.求當(dāng)9為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn) 值最大.18. （16.00 分） 如圖， 在平

5、面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 橢圓 C 過點 （聞， *） ， 焦點 F1（-UH,0），冋（體，0），圓 O 的直徑為 F1F2.（1） 求橢圓 C 及圓 O 的方程；（2） 設(shè)直線 I 與圓 O 相切于第一象限內(nèi)的點 P.第5頁（共28頁）若直線 I 與橢圓 C 有且只有一個公共點，求點 P 的坐標(biāo);直線 I 與橢圓 C 交于 A，B 兩點.若 OAB 的面積為19.(16.00 分)記 f(x), g(x)分別為函數(shù) f (x), g (x)的導(dǎo)函數(shù)若存在 xo R,滿足f (xo) =g (xo)且 f (xo) =g (xo),則稱 xo為函數(shù) f (x)與 g (x) 的一個“S點”

6、(1) 證明：函數(shù) f (x) =x 與 g (x) =x2+2x- 2 不存在“點”(2) 若函數(shù) f (x) =ax2- 1 與 g (x) =lnx 存在“點”求實數(shù) a 的值；(3) 已知函數(shù) f (x) =-x2+a, g (x)=.對任意 ao,判斷是否存在 bo, 使函數(shù) f (x)與 g (x)在區(qū)間(o, +x)內(nèi)存在“S點”并說明理由.20.(16.oo 分)設(shè)an是首項為 a1,公差為 d 的等差數(shù)列，bn是首項為 b1,公 比為 q 的等比數(shù)列.(1)設(shè) a1=o, b1=1, q=2,若|an-bn| 0, m N*, q ( 1 ,，證明：存在 d R,使得 | a

7、n- bn| it,則稱(is, it)是排列 iii2n的一個逆序，排列 iii2hi的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù).例如：對 1, 2, 3 的一個排列 231，只有兩個逆序(2, 1)，( 3, 1), 則排列231 的逆序數(shù)為 2.記 fn(k)為 1 , 2,，n 的所有排列中逆序數(shù)為 k 的 全部排列的個數(shù).(1)求 f3(2), f4(2)的值；(2)求 fn(2) (n 5)的表達(dá)式(用 n 表示).第8頁(共28頁)2018 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分.請把答案填寫在答題 卡相應(yīng)位置上.1.（5.00

8、 分）已知集合 A=0, 1, 2, 8 , B= - 1, 1, 6, 8，那么 AHB= 1,8L.【分析】直接利用交集運算得答案.【解答】解：A=0, 1, 2, 8 , B= - 1, 1, 6, 8, AHB=0,1,2,8H-1,1,6,8=1,8,故答案為：1, 8.【點評】本題考查交集及其運算，是基礎(chǔ)的計算題.2.（5.00 分）若復(fù)數(shù) z 滿足 i?z=1+2i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z 的實部為 2【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【解答】解：由 i?z=1+2i,得z得 z_ ：1-1 z 的實部為 2.故答案為：2.【點評】本題考查復(fù)數(shù)代

9、數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.3.（5.00 分）已知 5 位裁判給某運動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,那么這 5 位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為90 .8999011【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計算它們的平均數(shù)即可.【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，這 5 位裁判打出的分?jǐn)?shù)為 89、89、90、91、91,它們的平均數(shù)為丄X(89+89+90+91+91) =90.5第9頁（共28頁）故答案為：90.【點評】本題考查了利用莖葉圖計算平均數(shù)的問題，是基礎(chǔ)題.4.(5.00分)一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S 的值為8 .IL1|:；:；:WhfltI2,第10頁(

10、共28頁)函數(shù) f (x)的定義域是2, +x).第11頁（共28頁）故答案為：2,+x）.【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查求函數(shù)的定義域問題，是一道基礎(chǔ)題.6. （5.00 分）某興趣小組有 2 名男生和 3 名女生，現(xiàn)從中任選 2 名學(xué)生去參加活 動，則恰好選中 2 名女生的概率為 0.3.【分析】（適合理科生）從 2 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中任選 2 人參加社區(qū)服務(wù)， 共有 C2=10 種，其中全是女生的有 Q2=3 種，根據(jù)概率公式計算即可，（適合文科生），設(shè) 2 名男生為 a，b，3 名女生為 A，B，C,則任選 2 人的種數(shù)為 ab，aA，aB，aC, bA, bB, Be

11、, AB, AC, BC 共 10 種，其中全是女生為 AB, AC,BC 共 3 種，根據(jù)概率公式計算即可【解答】解：（適合理科生）從 2 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中任選 2 人參加社區(qū)服 務(wù)，共有 C52=10 種，其中全是女生的有 Q2=3 種，故選中的 2 人都是女同學(xué)的概率 P=0.3,10（適合文科生），設(shè) 2 名男生為 a, b, 3 名女生為 A, B, C,則任選 2 人的種數(shù)為 ab, aA, aB, aC, bA, bB, Be, AB, AC, BC 共 10 種，其中全是女生為 AB, AC, BC 共 3 種，故選中的 2 人都是女同學(xué)的概率 P 丁=0.3,故答案

12、為：0.3【點評】本題考查了古典概率的問題，采用排列組合或一一列舉法，屬于基礎(chǔ)題.7TTT7. (5.00 分)已知函數(shù) y=sin(2x+ (0, b0)的右焦點 F(c, 0)到一條漸近線 yx 的距離為二 c,a2be I可得：一L=b-：,阿 2可得- -i =-，即 c=2a,所以雙曲線的離心率為：e-.a故答案為：2.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.9.(5.00 分)函數(shù) f (x)滿足 f (x+4) =f (x) (x R),且在區(qū)間(-2, 2 上,【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：由 f (x+4) =f (x)得函

13、數(shù)是周期為 4 的周期函數(shù),故答案為:利用正弦函數(shù)的對稱性建立方程J=1 (a 0, b 0)的f (x)則 f (f (15)的值為仝貝-3第13頁（共28頁）則 f (15) =f(16- 1) =f (-1) =| - 1| =-,f () =cos (即 f (f (15)2【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式 利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.10.（5.00 分）如圖所示，正方體的棱長為 2，以其所有面的中心為頂點的多面 體的體積為.【分析】求出多面體中的四邊形的面積，然后利用體積公式求解即可.【解答】解：正方體的棱長為 2,中間四邊形的邊長為：?：，八

14、面體看做兩個正四棱錐，棱錐的高為 1,【點評】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.11.（5.00 分）若函數(shù) f （x） =2x3- ax2+1 （a尺在（0，+*）內(nèi)有且只有一個 零兀1、-一）2故答案為:多面體的中心為頂點的多面體的體積為:藥尹伍 X 近 X號.故答案為:第14頁（共28頁）點，則 f （x）在-1，1上的最大值與最小值的和為第15頁（共28頁）【分析】推導(dǎo)出 f(x) =2x(3x a), x(0, +),當(dāng) a 0, f (0) =1, f (乂)在(0, +x)上沒有零點；當(dāng) a 0 時，f( x) =2xf (x)只有一個零點，解得 a=3,

15、從而 f (x) =2x3 3x2+1, f(x) =6x (x 1), x 1,1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出 f （x）在-1,1上的最大值與最小值的和.【解答】解：函數(shù) f （x） =2x3 ax2+1 （a只）在（0, +x）內(nèi)有且只有一個零占八、）f（x） =2x （3x a）, x（ 0, +）,當(dāng) a 0,函數(shù) f （乂）在（0, +x）上單調(diào)遞增，f （0） =1, f （乂）在（0, +x）上沒有零點，舍去;當(dāng) a 0 時，f( x) =2x (3x a) 0 的解為 x呂,又 f (x)只有一個零點，3二 f (二)=-I +1=0，解得 a=3,327f (x) =2x3 3x2

16、+1, f(x) =6x (x 1), x 1, 1, f (x) 0 的解集為(-1, 0),f （x）在（-1, 0）上遞增，在（0, 1） 上遞減,f ( 1) = 4, f (0) =1, f (1) =0,f (x)min=f ( 1 ) = 4, f (x)max=f ( 0) =1, f （x）在-1, 1上的最大值與最小值的和為: f （ x）max+f （ x）min= 4+1 = 3 .【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的運算及其應(yīng)用，同時考查邏輯思 維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題.12. （5.00 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，A 為直線 I: y=2x 上在

17、第一象限內(nèi)的點，B （5, 0）,以 AB 為直徑的圓 C 與直線 I 交于另一點 D.若忑=0,則點 A 的 橫坐標(biāo)為 3.(3x-a)0的解為x-,f (%)在(0,申上遞減，在號+x）遞增,-f (x)在(0,三）上遞減，在（+x）遞增,第16頁（共28頁）【分析】設(shè) A （a, 2a）, a0,求出 C 的坐標(biāo)，得到圓 C 的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，求得 D 的坐標(biāo)，結(jié)合|i=0 求得 a 值得答案【解答】解：設(shè) A （a，2a），a0, B (5，0)，二 C (普則圓 C 的方程為(x- 5) (x- a) +y (y- 2a) =0.-，解得 D(1,2).解得：a=3 或

18、 a= - 1.又 a0, a=3.即 A 的橫坐標(biāo)為 3.故答案為：3.【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查圓的方程的求法，是中檔題.13. （5.00 分）在厶 ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,ZABC=120,/ ABC 的平分線交 AC 于點 D,且 BD=1,貝 U 4a+c 的最小值為 9 .【分析】根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式 1 的代換進(jìn)行求解即可.即 ac=a+c,得丄+二=1,ac得 4a+c=（4a+c）當(dāng)且僅當(dāng)一一,a c故答案為：9.【點評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用 1 的代換結(jié)合基本不等式是解決 本題的關(guān)鍵

19、.， a） ，聯(lián)立怔二(5-弘- 2a)=J-斃+2,_40.【解答】解: 由題意得-aCSin120亠asin60csin60即 c=2a 時，取等號,第17頁（共28頁）14. （5.00 分）已知集合 A=x|x=2n- 1, n N* , B=x| x=2n, n N*.將 AUB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an，記 Sn為數(shù)列an的前 n 項和，則使得 Sn 12an+i成立的 n 的最小值為 27.【分析】采用列舉法，驗證 n=26, n=27 即可.【解答】解：利用列舉法可得：當(dāng) n=26 時，AUB 中的所有元素從小到大依次排 列，構(gòu)成一個數(shù)列an,所以數(shù)列an的前

20、26 項分別 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,21, 23.25,41 2,4, 8, 16, 32.S26= 丄一-1，a27=43, ? 12a27=516,不符合題意.L12當(dāng) n=27 時，AUB 中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個數(shù)列 an,所以數(shù)列an的前 26 項分別 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,21, 23.25,41 43,2, 4, 8, 16, 32.S27=546, a28=45? 12a28=540,符合題意,21-2故答案為：27.【點評】本題考查了集合、數(shù)列的求和，屬于中檔題.二、解答

21、題：本大題共 6 小題，共計 90 分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時 應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. （14.00 分）在平行六面體 ABC A1B1C1D1中，AA1=AB, ABi 丄 B1C1.求證：（1） AB/平面 A1B1C;（2）平面 ABBA1丄平面 A1BC.【分析】(1)由朋不在平面止內(nèi)？AB/平面 A1B1C;第18頁(共28頁)均平面j(2)可得四邊形 ABB1A1是菱形，ABi 丄 A1B,由 ABi 丄 B1C1? ABi 丄 BC? ABi 丄面 A1BC, ?平面 ABBA1丄平面 A1BC.第i5頁(共28頁)【解答】證明：(1)平行六面體 A

22、BC AiBiGDi中，AB/ AiBi,AB/ AiBi, AB?平面 AiBiC, AiBi? /平面 AiBiC? AB/平面 AiBiC;(2)在平行六面體 ABCD- AiBiGDi中，AA=AB, ?四邊形 ABBAi是菱形，丄 ABi_L AiB.在平行六面體 ABCD- AiBiCiDi中，AAi=AB, ABi 丄 BiCi? ABi 丄 BC.阿丄 A】瓦 ABJ1BCABU 面&EC, BCU 面 ABC? ABi 丄面 AiBC,且 ABi?平面 ABBAi?平面 ABBiAi丄平面 AiBC.【點評】本題考查了平行六面體的性質(zhì)，及空間線面平行、面面垂直的判定，

23、屬 于中檔題.i6.(i4.00 分)已知a, B為銳角，tana=,cos (a+p)=-丄.35(1) 求 COS2a的值；(2) 求 tan (a- p)的值.【分析】(i)由已知結(jié)合平方關(guān)系求得 sinaCOSa的值，再由倍角公式得 COS2a的值；(2)由(i)求得 tan2a再由 cos (a+p)=-羋求得 tan (a+p),利用 tan (a-p=tan2a-( a+p)，展開兩角差的正切求解.-COs2a=呂7Tp(0, ) , a+p(0, n),【解答】解：(i)由雖門口cos CL 3si Q +coQ=1日為銳角，解得-仃4sin Cl5“ 3COS a-r5(2)

24、由(n 得,sin2 豐24a,sin(a+ p)口且口 + $ )則 tan2a第20頁(共28頁)則喻(a+p:常二九第i5頁(共28頁)【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題.17. (14.00 分)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓(P 為此圓弧的中點)和線段 MN 構(gòu)成.已知圓 O 的半徑為 40 米，點 P 到 MN 的距離為 50 米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為 矩形 ABCD大棚n內(nèi)的地塊形狀 CDP 要求 A，B 均在線段 MN 上，C，D 均在圓弧上.設(shè) OC 與MN 所成的角為9.(1)

25、用9分別表示矩形 ABCD 和厶 CDP 的面積，并確定 sin 啲取值范圍；(2)若大棚 I 內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚n內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為 4: 3.求當(dāng)9為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)【分析】(1)根據(jù)圖形計算矩形 ABCD 和厶 CDP 的面積，求出 sin 的取值范圍;(2)根據(jù)題意求出年總產(chǎn)值 y 的解析式，構(gòu)造函數(shù) f(9),利用導(dǎo)數(shù)求 f (9)的最大值，即可得出9為何值時年總產(chǎn)值最大.【解答】 解：(1) S矩形ABCD= (40sin +10) ?80cos9=800(4sin9cosc9s9,=1600(coscos9sir) ,9當(dāng)

26、B、N 重合時，9最小，此時 sin4當(dāng) C、P 重合時，9最大，此時 sin9=1 sin 啲取值范圍是，1); tan (a =tan2a O 的一段圓弧.I JS CD=?80cos9 ( 4040sin9值最大.第22頁(共28頁)(2)設(shè)年總產(chǎn)值為 y,甲種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為4t，乙種蔬菜單位面積年產(chǎn)第23頁（共28頁）值為 3t,則 y=3200t(4sin0co+6os0+4800t(cos0-cos0sin)0=8000t(sin0co+ctos0,其中 sin設(shè) f(0=sin0co+0os0則 f( 0)=coE0 sin20sin0=2sinF 0-sin +1；令 f

27、 ( 0)=0,解得 sin0丄，此時0 = ,cos0=;2 6 2當(dāng) sin 隹-，丄)時，f (0)0, f (0)單調(diào)遞增;當(dāng) sin 隹-,1)時，f (0) v0, f (0)單調(diào)遞減； 0=時，f (0)取得最大值，即總產(chǎn)值 y 最大.6答：(1) S矩形ABCD=800 (4sin0co+cos0，SCDP=1600(cos0-cos0sin) 00=時總產(chǎn)值 y 最大.【點評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題， 也考查了構(gòu)造函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求函 數(shù)的最值問題，是中檔題.18.（16.00 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C 過點（伍寺），焦點 Fi（ -；，0），巨

28、（.；，0），圓 O 的直徑為 F1F2.（1）求橢圓 C 及圓 O 的方程；（2）設(shè)直線 I 與圓 O 相切于第一象限內(nèi)的點 P.1若直線 I 與橢圓 C 有且只有一個公共點，求點 P 的坐標(biāo)；2直線 I 與橢圓 C 交于 A，B 兩點.若 OAB 的面積為求直線|的方程.任寺，1）；sin第24頁（共28頁） _ ,又 a2- b2=c?=3，解得 a=2, b=1a24b22(2)可設(shè)直線 I 的方程為 y=kx+m,(kv0,m0)可得, : - k .1+k2(4m2 4) =0 , 解得 k=-近,m=3.即可設(shè) A (xi, yi), B (x2, y2),聯(lián)立直線與橢圓方程得(

29、4k2+1) x2+8kmx+4m2-4=0 ,O 到直線 I 的距離 d=川，|AB|= |Jx2-xi|解得 k=- !,（正值舍去），m=3l 二即可焦點 Fi（-換，0）, F2（血，0）, 二逅.弓十二 1，又 a2- b2=c?=3,解得 a=2, b=1.橢圓 C 的方程為：.，圓 O 的方程為：x2+y2=3.（2）可知直線 I 與圓 O 相切，也與橢圓 C,且切點在第一象限,產(chǎn) kis+niF+4/二 4,可得(4k2+1) x2+8kmx+4m2- 4=0 , = (8km)2- 4 (4k2+1)OAB的面積HiVl+k2【解答】解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為即可.X(a

30、b0)第25頁(共28頁)可設(shè)直線 I 的方程為 y=kx+m , (kv0, m0).2由圓心(0, 0)到直線 I 的距離等于圓半徑體，可得亠上 3,即 13+3 八lfk2由:產(chǎn) k 討: ，可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2- 4=0,F+4H 4 = (8km)2- 4 (4k2+1) (4m2- 4) =0,可得 口2=4/+1,.3k2+3=4k2+1，結(jié)合 kv0, m0,解得 k=-典，m=3.F2 2_將 k=-近，m=3 代入(* +卩一 3 可得/-上近肢=0，尸kx+m解得 x=. ：, y=1，故點 P 的坐標(biāo)為(零耳，-.設(shè) A (xi, yi), B (x

31、2, y2),由 口紅 3+3k2? kv-西.聯(lián)立直線與橢圓方程得(4k2+1) x2+8kmx+4m2- 4=0,OAB19. (16.00 分)記 f(x), g(x)分別為函數(shù) f (x), g (x)的導(dǎo)函數(shù).若存在|x2-xi1(口 + 乜)9-=4k2+l-iD24尺1I AB 引 l+k|x2-xi| =4k2+lz x辿呼1-心応%ITI上卜 lr解得 k=-(正值舍去)，m=3：:. y=-街工+3/1 為所求.【點評】本題考查了橢圓的方程，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.4k+lO 到直線 I 的距離第26頁(共28頁)x R,滿足 f (X0)=g (X0)且 f

32、(X0)=g (X0)，則稱 X0為函數(shù) f (x)與 g (x)的一個“S點”(1) 證明：函數(shù) f (x) =x 與 g (x) =X2+2x 2 不存在“點”(2) 若函數(shù) f (x) =a*- 1 與 g (x) =lnx 存在“點”求實數(shù) a 的值；(3)已知函數(shù) f (x) = x2+a, g (x) = 對任意 a0,判斷是否存在 b0,使函數(shù) f (x)與 g (x)在區(qū)間(0, +x)內(nèi)存在“S點”并說明理由.【分析】(1)根據(jù)“點”的定義解兩個方程，判斷方程是否有解即可；(2)根據(jù)“S 點”的定義解兩個方程即可；(3)分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合兩個方程之間的關(guān)系進(jìn)行求解判

33、斷即可.【解答】解：(1)證明：f(x) =1, g (x) =2x+2,占”八、)r? 2_ 3 , o 2._令 h(x)=x2a= 1, (a0,Ovxv1),i-L1-x設(shè) m(x)=x3+3x2+ax a, (a0,Ovxv1),則 m(0)=av0,m(1)=20,得 m(0)m(1) v0,又 m (x)的圖象在(0, 1)上連續(xù)不斷，則由定義得h 二x1-22得方程無解，則 f (x) =x 與 g (x) =W+2x-2 不存在“S(2) f (x) =2ax, g (x),x0,由 f (x) =g ( x)得二=2ax,得Ina2,得 a 亠;(3) f (x) = 2x

34、, g( (x)三由 f(X0)=g (X0),假設(shè) b0,得 b Jo = -0,得 0vX00,使 f （x）與 g （x）在區(qū)間（0, +x）內(nèi)存在“S”.【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件建立兩個方程組，判斷方程組是否 有解是解決本題的關(guān)鍵.20. （16.00 分）設(shè)an是首項為 ai,公差為 d 的等差數(shù)列，bn是首項為 bi,公 比為 q 的等比數(shù)列.（1）設(shè) ai=0, bi=1, q=2,若|an-bn| 0, m N*, q ( 1 ,，證明：存在 d R,使得 | an- bn| bi對 n=2, 3,，m+i 均成立，并求 d 的取值范圍（用 bi, m, q 表

35、示）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，解不等式組即可；（2）根據(jù)數(shù)列和不等式的關(guān)系，禾I用不等式的關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列和函數(shù)，判斷數(shù) 列和函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答】解：（1）由題意可知|an-bn| 1 對任意 n=1, 2, 3, 4 均成立, ai=0, q=2,證明：(2)van=ai+ (n - 1) d, bn=bi?qn 1,若存在 d R,使得| an- bn| bi對 n=2, 3,，m+1 均成立,則 | bi+ (n - 1) d - bi?qn 1| bi, (n=2, 3,，m+1),即-bid1-, (n=2, 3,，m+1),n-1n-1-

36、q( 1 ,-，二則 ivqn-1 qm 2, ( n=2 , 3,，m+1),n-l因此取 d=0 時,|an-bn| bi對 n=2 , 3,，m+1 均成立,n-l：n-l|d-2 |K1|2d-4|l，L|3d-8|1bi 0 ,第29頁（共28頁）下面討論數(shù)列 的最大值和數(shù)列-的最小值，第30頁（共28頁）n門n-1門n n n-1 ,o nILIn . 當(dāng) 2nm 時 q 一 2 q二 n 艮：q nq 2=譏(4 一口)_Q +? n口 Tn(n-l)n(n-l)JJ當(dāng) 1vqw?111時，有 qn0,ri-1 c因此當(dāng) 2wnWm+1 時，數(shù)列 p單調(diào)遞增,n-1rrl因此當(dāng)

37、2WnWm+1 時，數(shù)列 p單調(diào)遞遞減,n-l【點評】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列以及不等式的綜合應(yīng)用， 考查學(xué)生的 運算能力，綜合性較強，難度較大.數(shù)學(xué)U（附加題）【選做題】本題包括 A、B、C、D 四小題，請選定其中兩小題， 并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應(yīng)寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.A.選修 4-1:幾何證明選講（本小題滿分 10 分）21. （10.00 分）如圖，圓 O 的半徑為 2, AB 為圓 O 的直徑，P 為 AB 延長線上一 點，過 P 作圓 O 的切線，切點為 C.若 PC=2；，求 BC 的長.設(shè) f (x) =2x(1 x),當(dāng)

38、 x 0 時，f( x) = (I n2 1 xln2) 2xv0, f（x）單調(diào)遞減，從而f(x)vf(0)=1,當(dāng) 2wnwm 時,n.q門11-1qn-l.血-L)n(1丄)=f (丄)V 1,故數(shù)列的最大值為m第31頁（共28頁）【解答】解：連接 OC, 因為 PC 為切線且切點為 C, 所以 OC 丄 CP.因為圓 O 的半徑為 2,二-所以 BO=OC=2 pQ=寸嚴(yán) +Cp 二 4，所以-心.二二，所以/ COP=60，所以 COB 為等邊三角形，所以 BC=BO=2【點評】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系， 切線的應(yīng)用，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問 題的能力.B.選修 4-2:矩陣與變換（

39、本小題滿分 10 分）22.（10.00 分）已知矩陣 A= .1 2（1）求 A 的逆矩陣 A1;（2） 若點 P 在矩陣 A 對應(yīng)的變換作用下得到點 P （3，1 ），求點 P 的坐標(biāo).【分析】（1）矩陣 A=：；求出 det （A） =1工 0，A 可逆，然后求解 A 的逆矩 陣 A1.j，求出打=，即可得到點 P 的坐標(biāo).，det （A） =2X2 - 1X3=1 工 0,所以 A 可逆，（2）設(shè) P（x，y），通過:彳？ I解答】解:（矩陣A=1:股定理，可以得到 PO 的長，即可判斷 COB 是等邊三角形，BC 的長.第32頁(共28頁)從而：A 的逆矩陣；.(2)設(shè) P(x, y

40、),則初; =；，所以加罟心，因此點 P 的坐標(biāo)為(3,- 1).【點評】本題矩陣與逆矩陣的關(guān)系，逆矩陣的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是基 本知識的考查.C選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分 0 分)23. 在極坐標(biāo)系中，直線 I 的方程為psiK -9)=2,曲線 C 的方程為p=4cos,6求直線 I 被曲線 C 截得的弦長.【分析】將直線 I、曲線 C 的極坐標(biāo)方程利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓的相交弦長公式即可求解.【解答】解：曲線 C 的方程為p=4cos,9二p2=4pcos,9? x2+y2=4x，曲線 C 是圓心為 C (2，0)，半徑為 r=2 得圓.直線

41、I 的方程為psin()-9)=2，.口 89 -孕心生山 0 =2,o22二直線 I 的普通方程為：X-島 y=4.圓心 C 到直線 I 的距離為 d=直線 I 被曲線 C 截得的弦長為 2；-:.【點評】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的相交弦長關(guān)系、 點到直線的距離公式，屬于中檔題.D.選修 4-5 :不等式選講(本小題滿分 0 分)24. 若 x，y，z 為實數(shù)，且 x+2y+2z=6,求 x2+y2+z2的最小值.【分析】根據(jù)柯西不等式進(jìn)行證明即可.【解答】解：由柯西不等式得(+y2+z2) (12+22+22)( x+2y+2z)2,/ x+2y+2z=6,. x2+

42、y2+z24x2+y2+z2的最小值為 4時，不等式取等號，此時z 芻,第33頁(共28頁)【點評】本題主要考查不等式的證明，利用柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵.【必做題】第 25 題、第 26 題，每題 10 分，共計 20 分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi) 作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 25. 如圖，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=AA=2，點 P, Q 分別為 A1B1，BC 的 中占I 八、(1)求異面直線 BP 與 AG 所成角的余弦值；(2)求直線 CC 與平面 AQC 所成角的正弦值.【分析】設(shè) AC, A1C1的中點分別為 0, 01，以I,為基底，建立空間直角坐標(biāo)系 0 - xyz,一 _.|BP-AC I(1) 由|co$2),AC二(0, 29 2)-|co齊兀AC|1 BP PC | =1-1+4=VIo凍X2勺20異面直線 BP 與 AG 所成