高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題第⑩季數(shù)列概念及等差數(shù)列：第6節(jié)等差數(shù)列性質(zhì)

1、第6節(jié) 等差數(shù)列的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識】1.等差數(shù)列的性質(zhì):(1在等差數(shù)列n a 中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);(2在等差數(shù)列n a 中,相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列, 如:1a ,3a ,5a ,7a ,;3a ,8a ,13a ,18a ,;(3在等差數(shù)列n a 中,對任意m ,n N +,(n m a a n m d =+-,n m a a d n m-=-(m n ; (4在等差數(shù)列n a 中,若m ,n ,p ,q N +且m n p q +=+,則m n p q a a a a +=+,特殊地,2m p q =+時,則2m p q a a a =+,m a 是p q

2、 a a 、的等差中項(xiàng).(5等差數(shù)列被均勻分段求和后,得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列,即232,n n n n n S S S S S -成等差數(shù)列.(6兩個等差數(shù)列n a 與n b 的和差的數(shù)列n n a b ±仍為等差數(shù)列.(7若數(shù)列n a 是等差數(shù)列,則n ka 仍為等差數(shù)列.2.設(shè)數(shù)列n a 是等差數(shù)列,且公差為d ,(若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有2n 項(xiàng),則-S S nd =奇偶; 1n n S a S a +=奇偶;(若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),設(shè)共有21n -項(xiàng),則S S -偶奇n a a =中(中間項(xiàng);1S n S n =-奇偶. 3.(,p q a q a p p q =,則0p q a +=,

3、m n m n S S S mnd +=+.4.如果兩個等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).5.若n a 與n b 為等差數(shù)列,且前n 項(xiàng)和分別為n S 與'n S ,則2121'm m m m a S b S -=. 【規(guī)律技巧】1. 等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形,熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.2.等差數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān),解題需多注意觀察,發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系,加以應(yīng)用, 故應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是

4、尋找項(xiàng)的序號之間的關(guān)系.3.應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式.4.解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈,透過給定信息的表象,抓住問題的本質(zhì),揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向、形成解題策略.【典例講解】【例1】 (1設(shè)S n 為等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和,S 8=4a 3,a 7=-2,則a 9=( A .-6B .-4C .-2D .2【答案】A(2(2014·浙江卷已知等差數(shù)列a n 的公差d >0.設(shè)a n 的前n 項(xiàng)和為S n ,a 1=1,S 2·S 3=36.求d 及S n ;求m ,k (m ,k N *的值,使得a

5、m +a m +1+a m +2+a m +k =65.規(guī)律方法 (1一般地,運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì),可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件,如m +n =p +q ,則a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q N *,只有當(dāng)序號之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時才成立.(2在求解等差數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想,要注意公式使用時的準(zhǔn)確性與合理性,更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.在遇到一些較復(fù)雜的方程組時,要注意整體代換思想的運(yùn)用,使運(yùn)算更加便捷.【變式探究】 (1設(shè)數(shù)列a n ,b n 都是等差數(shù)列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,則a 37+b 37等于(

6、A .0B .37C .100D .-37(2若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( A .13B .12C .11D .10(3已知等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和為S n ,且S 10=10,S 20=30,則S 30=_.【答案】(1C (2A (360【針對訓(xùn)練】1、在等差數(shù)列n a 中,已知3810a a +=,則753a a += ( A .10B .18C .20D .28【答案】C【解析】因?yàn)?810a a +=,所以由等差數(shù)列的性質(zhì),得5610a a +=,所以753a a +=562220a a +=,選C.2、在等差數(shù)

7、列n a 中,若58113a a a +=,則該數(shù)列的前15項(xiàng)的和為_.【答案】15【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列n a 中,若58113a a a +=.所以8833,1a a =.又因?yàn)榈炔顢?shù)列的前15項(xiàng)和為1158158(152*a a a S a +=.故填15. 3、設(shè)等差數(shù)列n a 的前n 項(xiàng)和為n S ,若911a =,119a =,則19S 等于 .a a a +=,191019190S a =. 綜合點(diǎn)評:這些題都是等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,熟記等差數(shù)列的性質(zhì),并能靈活運(yùn)用是解這一類題的關(guān)鍵,注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān),解題需多注意觀察,發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系,加以應(yīng)用. 網(wǎng)Z+X+

8、X+K【鞏固提升】1、等差數(shù)列n a 中的1a 、4025a 是函數(shù)16431(23-+-=x x x x f 的極值點(diǎn),則=20132log a ( A .B .C .D .【答案】A2、設(shè)n S 為等差數(shù)列n a 的前n 項(xiàng)和,給出四個結(jié)論:(12810a a a +(22(0n S an bn a =+(3若,*m n p q N ,則m n p q a a a a +=+的充要條件是m n p q +=+(4若611S S =,則90a =其中正確命題的個數(shù)為( A .1B .2C .3D .4【答案】A3.已知a n 是等差數(shù)列,a 1=1,公差d0,S n 為其前n 項(xiàng)和,若a 1,a 2,a 5成等比數(shù)列,則S 8=_.【答案】64 【解析】設(shè)數(shù)列a n 的公差為d ,由a 1,a 2,a 5成等比數(shù)列,得(1+d2=1·(1+4d,解得d =2或d =0(舍去,所以S 8=8×1+8(8-12×2=64. 4.在等差數(shù)列a n 中,a 15=33,a 25=66,則a 35=_.【解析】a 25-a 15=10d =66-33=33,a 35=a 25+10d =66+33=99.【答案】995.設(shè)S n 為等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和,S 2=S 6,a 4=1