3.4.1基本不等式的證明

1、3.4 基本不等式（一）學(xué)生學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2 能熟練運(yùn)用基本不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3 會(huì)初步運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式.4.經(jīng)歷探究過程，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 【新課探究】探究一：如圖是在北京召開的第 24 界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽 的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車， 代表中國人民熱情好客.你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?問題 1：設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為 a、b,那么正方形的邊長(zhǎng)為 _ ;面積為_ ,4 個(gè)直角三角形的面積和是_ .問題 2：根據(jù) 4 個(gè)直角三角形的面積和與正方形面積的大小關(guān)系，我

2、們可得到一個(gè)怎樣的不等式 問題 3: 4個(gè)直角三角形的面積和與正方形的面積有相等的情況嗎？何時(shí)相等？圖形怎樣變化?問題 4:你能給出它的證明嗎?歸納小結(jié)：（重要不等式），對(duì)于任意的實(shí)數(shù) a,b,都有_ ;當(dāng)且僅當(dāng)_ 。探究二：?jiǎn)栴} 5:既然對(duì)于任意的實(shí)數(shù) a,b ,都有 a2+ b22ab,如果 a0，b0，用 a，,匕分別代替 a2+ b22ab中的 a，b 會(huì)得到怎樣的不等式？ 問題 6:如何證明不等式 ab0，b0）?_ a _i_b證明. abw廠（a0，b0）的方法叫做分析法，下面設(shè)計(jì)了分析法證明這個(gè)不等式的過程，你能不能把過程中留的空填正確?a _ b ._要證：一 ab（a0,

3、b0），只要證：a+ b_，要證，只要證 a+ b-_ 0,要證，只要證（_2 0.顯然，是成立的，當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時(shí)，的等號(hào)成立./GE/a/HE/、/DB歸納小結(jié)：若 a0,且 b0,那么_ 我們把這個(gè)不等式叫做基本 不等式(又叫均值不等式)。問題 7：如下圖，AB 是圓 0 的直徑，點(diǎn) C 是 AB 上任一點(diǎn)，AO a,BOb,過點(diǎn) C 作 DC 垂直 AB 于 C,連接 AD, DB 你能利用這個(gè)圖形a_Lb得出基本不等式 abw廠的幾何解釋嗎？解讀(1)基本不等式的幾何意義： _(2) 平均數(shù)解釋：_(3)_ 成立的條件是_ ;結(jié)論是_ 。例 1 當(dāng) x0 時(shí)，的最小值為 _，此

4、時(shí) x=_例 2 (1)阿克蘇市實(shí)驗(yàn)中學(xué)輪滑社團(tuán)要用繩子圍成一個(gè)面積為100m1 2的矩形場(chǎng)地，受限于資金，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用繩子最短最短的繩子是多少？(2)阿克蘇市實(shí)驗(yàn)中學(xué)輪滑社團(tuán)現(xiàn)有一段長(zhǎng)為 36 m 的繩子，現(xiàn)在要圍一個(gè)矩形場(chǎng)地，問這個(gè)矩形 的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，場(chǎng)地的面積最大，最大面積是多少？課堂練習(xí):【課堂知識(shí)再梳理】我學(xué)到了什么？1基本不等式成立的條件： _ .2等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) _ 寸取等號(hào).3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a Lb(1) 設(shè) a0, b0,則 a, b 的算術(shù)平均數(shù)為一廠，幾何平均數(shù)為 _;(2) 基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) _ 們的幾何平均數(shù).課后探究作業(yè)：現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤 各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量.這種說法對(duì)嗎？并說明你的結(jié)論