平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解(精)

1、第3卷第3期2001年9月 遼寧師專學(xué)報Journal ofLiao ning T eachers CollegeV ol. 3N o. 3Sep. 2001文章編號:1008-5688(2001 03-0008-04平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解王瑞(遼陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼陽111004摘 要:探討了一種新的關(guān)于平面度誤差評定的數(shù)學(xué)模型與算法，研究了平面度誤差評定的目標(biāo)函數(shù)及約束條件，對樣點數(shù)據(jù)進(jìn)行了坐標(biāo)變換的處理，建立了評定平面度誤差 的線性規(guī)劃模型，對模型的可靠性進(jìn)行了分析，并用二階段單純形法進(jìn)行求解關(guān)鍵詞:平面度誤差評定；最小區(qū)域；線性規(guī)劃；目標(biāo)函數(shù)；約束條件中圖分類 號:O 241

2、11文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A1概述國家標(biāo)準(zhǔn)G -.如圖1. 同時,度誤差值即評定基準(zhǔn)不同時，得到的平面度誤差值也不同因此, 在評定實際面的平面度誤差時，要求理想要素的位置應(yīng)符合最小條件，即被測實際 要素對其理想要素的最大變動量為最小.” 常用的平面度誤差的評定基準(zhǔn)有以下 四種：(1以通過被測實際面上相距最遠(yuǎn)的三點的理想平面為評定基準(zhǔn)(2以通過被測實際面的一條對角線且與另一條對角線平行的理想平面為評定基準(zhǔn)；(3以通過被測實際面的最小二乘平面為評定基準(zhǔn)；(4以符合最小條件的理想 平面為評定基準(zhǔn)1用以上四種不同的評定基準(zhǔn)評定平面度誤差的方法依次稱為平面度誤差的三點法、對角線法、最小二乘法和最小條件法因為用最小

3、條件評定所得到的平面度的 誤差值在上述幾種方法中是最小的，因而是平面度誤差評定發(fā)生爭議時的仲裁法.按 最小條件法對平面度誤差進(jìn)行評時對于包容實際面的理想包容區(qū)域是否達(dá)到最小要 按下面的判別準(zhǔn)則進(jìn)行判別：(1由兩平行平面包容被測實際表面時，至少有三點或四點相接觸，且一個最高 (底點在另一包容面上的投影位于三個最低(高點所形成的三角形內(nèi)，如圖2(a、(b . (2兩個最高點連線與兩個最低點連線在包容平面上的投影相交，如圖2(c .收稿日期:20010721作者簡介:王瑞(19722 ,女，遼寧遼陽市人,講師,主要從事機(jī)械制造及其自動化 研究,發(fā)表論文3篇1王瑞平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解9(

4、3 一個最高(低點在另一包容平面上的投影位于兩個最低(高點的連線上,如圖2(d .代表最高點代表最低點cChina AcudcmicAll rights reserved.1994-2010Journal Ekircnic Publishing House, hltp 一/hvww* enkiat由于符合最小包容區(qū)域判別法的四個點很難選準(zhǔn)，而選點的準(zhǔn)確與否將會 使計算量成倍增加因而本文將在最小條件的基礎(chǔ)上，采用有約束的最優(yōu)化方法，建 立線性的求解平面度誤差的目標(biāo)函數(shù)和一系列的約束條件，并用二階段單純形法求解，和速度方面有所突破2目標(biāo)函數(shù)及約束條件的建立,如圖31.China AcademicA

5、ll rights reserved*1994-2010Journal Ekctrcmic Publishing House, http:/www, W 00W 01W 02 W On W 10W 11W 12 W 1n W 20W 21W 22W 2nW nn則按平面度誤差數(shù)據(jù)處理的解析法，將被測表面上各測點對測量基準(zhǔn)平面 進(jìn)行坐標(biāo)變換.坐標(biāo)變換可以認(rèn)為是通過兩次旋轉(zhuǎn)完成的.第一次旋轉(zhuǎn)是使各測點繞 通過起始點W 00且平行于X軸的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),第二次旋轉(zhuǎn)是使各測點繞通過點 W 00且平行于丫軸的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)；則任一測點的坐標(biāo)值與經(jīng)過變換后的測點坐標(biāo)值 W ij的關(guān)系是：W ij ' =W

6、 ij +JX +IY(1設(shè)變換后任意兩點的高度差為 W ,則 W =W ij -W pq '=(W ij -W pq +(j -q X +(i -p Y(2若W AB , W ab分別為所有測量值中的一個最大值和一個最小值，則目標(biāo)函數(shù)可寫成min Z = W =W AB ' -W ab '=(W AB -W ab +(B -b X +(A -a Y 即10遼寧師專學(xué)報2001年第3期min Z =X 0+C 1X 1+C 2X 2(3其中X 0=W AB -W ab , C 1=B -b , C 2=A -a(4除以上兩點外，其余各點均為目標(biāo)函數(shù)的約束點并且各點的測量

7、值在經(jīng)過變換后,仍不得大于W AB '且不得小于W ab '由此形成約束條件,即Wij -W AB 'W0w ij -W ab ' >0(5其中W ij為排除最大值點和最小值點的任意點,i =1,2,m=1,2,n.將式(2代入式(5可得約束方程(j -B X +(i - A Y < W AB-W ij(j -B X +(i - a Y > W abW iji =1,2, 3,m , j =1,2,n因而為了與前面的符號保持一致，用X 1, X 2代替X , 丫貝Umin z =X0+C 1X 1+C 2X 2s. t. a p X 1+a p

8、 X 2< b p p =12,a q X 1+q q 1u , n(6 10-W a =j -B , a p 2=i -A , b p =W AB -W ij , C 1=B -b , C 2=A -a , 1j -b , a q 2=i -a , b q =W ab -W ij因為在平面度誤差評定中旋轉(zhuǎn)矢量無非負(fù)的要求，在用二階段單純形法求解時 需要消除自由變量，令X 1=X 1 -X 2 ' , X 2=X 3X 4 其中X 1' >0, X 2 ' >0. X 3 ' >0. X 4 ' >0則此時的X 1, X 2

9、值可正可負(fù)，為了與前面變量的代號保持一致，用X 1, X 2, X 3, X 4代替X 1' , X 2 ' , X 3原線性規(guī)劃模型可表示為min Z =X 0+C 1X1-C 1X 2+C 2X 3-C 2x 4 s. t. a p 1(X 1-X 2 +a p 2(X 3-X 4 < b p p =1, 2,ua q 2(X 1-X 2 +a q 2(X 3+X 4> b q q =u +1, u +2,n(7X i > 0, i =1,2, 3, 4.在具體計算平面度誤差是，為了計算方便，可以簡化約束條件.將約束點選為代 表性較強(qiáng)的一些次高點 W pq

10、和次低點W ij ,來減小約束方程的數(shù)目，使結(jié)果的計算 速度加快.另外,本文建立的目標(biāo)函數(shù)中X 0的值與所要求的平面度誤差值的大小有直接的關(guān)系，因而在用標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃二階段單純形解法程序求解時，可先輸入X 0的值，待計算出X的最優(yōu)點X 3后再求目標(biāo)函數(shù)的值Z =X 0+Z 3即可.3計算實例被測實際輪廊面上各測量點的測量值如表2,求平面度誤差值.王瑞平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解11表2平面度誤差測量值單位：ym015204518161661203017122231516根據(jù)文中建立的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，對本例建立如下的規(guī)劃：表中的最高點為 W 13,最低點為 W 00,代入式(7可得目標(biāo)函數(shù)

11、min Z=61+3(X 1-X 2 (X 3-X 4由表中的次高點 W 03, W 21, W 31;次低點 W 30, W 23建立約束條件如下:s. t.-X 3+X 4 < 16-2X 1+2X 2+X 3-X 4 < 3-X 1+X 2+X 3-X 4 < 19BX 3+3X 4 邃3X 1-3X 2+2X 3-21求得最優(yōu)值Z =4.本文建立的數(shù)學(xué)模型的形式與標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃的形式基本相同，它是嚴(yán)格按照誤差定義來處理的，不存在由評定方法 引起的誤差，并且在求解時應(yīng)用二階段單純形法不存在給定精度的問題 .為進(jìn)一步驗 證本算法的計算精度，又對下面五組數(shù)據(jù)進(jìn)行了計算，平面度

12、誤差測量數(shù)據(jù)(單位：卩m數(shù)據(jù)13454342311222數(shù)據(jù)2256895789126789117767976668數(shù)據(jù)3-64150-64138-67126-81117-38129-65150-63157-38149-85126-41154-24106-35115-54109-31124-22125-77110-62134-61111-19197-36100數(shù)據(jù)4-8218-7815-7310-8418-8211-7315-7217-4110-7817-7415-7116-7519-7819-7114-7419-7416-7610-74-7919-7415（下轉(zhuǎn)16頁616遼寧師專學(xué)報200

13、1年第3期此例說明復(fù)合函數(shù)可積但構(gòu)成它的內(nèi)、外函數(shù)均可以是不可積函數(shù)綜合以上例4、例5、例&例7可得出這樣的結(jié)論：兩個函數(shù)的可積性對于由它們 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的可積性而言即非充分也非必要注見劉玉鏈，傅沛仁編：數(shù)學(xué)分折講義上冊第333頁練習(xí)題8. 2第13題.參考文獻(xiàn)：1 劉玉鏈，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊M.北京:高等教育出版社，1981.2 klambauer , G.數(shù)學(xué)分析M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1981.（責(zé)任編輯任冬（上接11頁數(shù)據(jù)50018111941016131818110171-7138-6165-5124-3117-01821190-14166-13193- 12

14、129-10122-71-51-2110-2056-1853-1665-26103-24109-21186119-1-31142-191-1- 18126-1331-27190-24150-2210424-16-05-3166-3166-2811-2543-43193-43141-41193-37113-37113-33168-31171結(jié)果如表3所示.表3平面度誤差計算結(jié)果單位：ym數(shù)據(jù)組最小二乘法步長加速法特征點法線性規(guī)劃法12. 361.98001.96111.961225. 904. 86874. 86364. 863830. 190. 17560. 14650. 1465443. 8141. 8541.8341. 8459. 2108. 7648. 765從表3的計算結(jié)果可以看出，線性規(guī)劃法的計算結(jié)果與特征點的計算值很接近， 說明了用線性規(guī)劃法可以解出平面度誤差的較為準(zhǔn)確的值，表明了本文建立的模型和算法可靠參考文獻(xiàn)：1 薛嘉慶.最優(yōu)化原理與方法M.北京:冶金工業(yè)出版社，199212 劉平.最小條件平面度誤差快速精確算法J1儀