導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之

1、專題四導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.在本專題中，我們將復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的作用.導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題主要圍繞以下三個(gè)方面：導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，定積分與微積分基本定理.§ 4-1導(dǎo)數(shù)概念與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)】1. 導(dǎo)數(shù)概念：(1)平均變化率：對(duì)于函數(shù)y= f(x),定義f(X2)- f(xj為函數(shù)y=f(x)從X!到X2的平均X? 變化率.換言之，如果自變量 x在X。處有增量:x，那么函數(shù)f(x)相應(yīng)地有增量f(xo+厶x)f(x。)

2、，則比值 丄色)一f (x)就叫做函數(shù) y = f(x)從X。到xo+二x之間的平均變化率._x(2) 函數(shù)y = f(x)在x = x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y = f(x)在x = x0處的瞬時(shí)變化率是 l.im兇f (Xo)，我們稱它為函數(shù)y = f(x)在x= x。處的導(dǎo)數(shù)，記作 f' (x。)，即f(X。)= imof(x。：x) - f(x。)Z7 / 21f (x ：x) - f (x)z函數(shù)y= f(x)的導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))：當(dāng)x變化時(shí)，f' (x)是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為函數(shù)=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，即f(X)= iim2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y = f(x)在

3、點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)(x。)就是曲線y= f(x)在點(diǎn)(x。，f(x。)處的切線的斜率，即 k= f (X0).3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：(1) 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C)'= 0(C為常數(shù)); (xn) '= nxn 1(x。, n Q )； (sinx)' = cosx; (cosx)' = sinx; (ex)'= ex; (ax) '= axlna(a。，且1);1 (in x)：x- 1 (log a X) logae(a0,且 aM 1).X(2) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： u(x)± v(x)' = u'(x) ± v&

4、#39;(x); u(x)v(x) ' = u (x)v(x) + u(x)v (x);v2(x)u(x)_ u(x)v(x) u(x) -vH(x)(v(x) _ 0)簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+ b)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)y= f(u), u= g(x),則函數(shù)y= f(u)= fg(x)稱為復(fù)合函數(shù).其求導(dǎo)步驟是：y：f對(duì)U求導(dǎo)后應(yīng)把U換成g(x).fu g x，其中f u表示f對(duì)U求導(dǎo)，g x表示g對(duì)x求導(dǎo).【復(fù)習(xí)要求】1. 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景;2理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y= C, y= x, y= x2, y= x3.y =丄，y =: - x的導(dǎo)數(shù);

5、x4能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5. 理解簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+ b)導(dǎo)數(shù)的求法.【例題分析】例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2(1)y= (x+ 1)(x 1);(2) x 1x+1(3) y= sin2x；(4)y= ex Inx.解：(1)方法一：y'= (x + 1)' (x2 1) + (x+ 1)(x2 1) '= x2 1 + (x+ 1) 2x= 3x2 + 2x 1.方法二： y= (x+ 1)(x2 1)= x3+ x2 x 1,. y'= (x3 + x2 x 1) '= 3x2 + 2

6、x 1 .(2)方法一: /X1、"(x1)'(x+1) (x1)(x + 1)' (x+1) (x1)y =()二-2(x 1)2(x 1)22(x 1)方法二：+4 , y'=(1-丄)' = (-丄)丄x 12, 2x 1 (x 1)(3)方法一：y'= (sin2x)' = (2sinx 方法二：y'= (sin2x)'2 2cosx)'= 2(sin x)' cosx+ sinx (cosx)' = 2(cos x sin x)= 2cos2x. (2x)' = cos2x 2

7、= 2cos2x.x1(4) y 二(ex) In xex (In x) = ex In x 務(wù)=(In x _) ex.x【評(píng)析】理解和掌握求導(dǎo)法則和式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件. 導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)的基本步驟為： 分析函數(shù)y= f(x)的結(jié)構(gòu)特征； 選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)； 化簡整理結(jié)果.應(yīng)注意：在可能的情況下，求導(dǎo)時(shí)應(yīng)盡量減少使用乘法的求導(dǎo)法則， 數(shù)、三角恒等變形等方法對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可減少運(yùn)算量. 的方法二較方法一簡捷).對(duì)于，方法一是使用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解，即使用三角公式將 sin2x表示為sinx和運(yùn)用公式和求可在求導(dǎo)前利用代(如(1)(2)題COS

8、X的乘積形式，然后求導(dǎo)數(shù)；方法二是從復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的角度求解.方法二較方法一簡捷.對(duì)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要熟練、準(zhǔn)確.例2(1)求曲線y= x2在點(diǎn)(1 , 1)處的切線方程；(2)過點(diǎn)(1, - 3)作曲線y= X的切線，求切線的方程.【分析】對(duì)于 ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f '(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(Xo, f(X0)處的切線的斜率，可求出切線的斜率，進(jìn)而由直線方程的點(diǎn)斜式求得切 線方程.對(duì)于，注意到點(diǎn)(1, - 3)不在曲線y = X2上，所以可設(shè)出切點(diǎn)，并通過導(dǎo)數(shù)的幾何意 義確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出

9、切線方程.解：曲線y= X2在點(diǎn)(1, 1)處的切線斜率為y '= 2x|2,從而切線的方程為 y 1 = 2(x- 1)，即2x-y-1 = 0.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為仇乂).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率為y' = 2x|xk = 2xo,從而切線的方程為2y - Xo =2xo(x -Xo).因?yàn)檫@條切線過點(diǎn)(1, - 3)，所以有-3-爲(wèi)=2x1-x0),整理得 X0 - 2x0 -3=0，解得 xo=- 1，或 xo= 3.從而切線的方程為 y 1 = - 2(x+ 1)，或y 9= 6(x- 3),即切線的方程為 2x+ y+ 1 = 0，或6x-y- 9= 0.【評(píng)析】

10、用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，常依據(jù)的條件是： 函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)f '(Xo)就是曲線y= f(x)在點(diǎn)(xo, f(Xo)處的切線的斜率， 即 k = f '(xo)； 切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，即切點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足切線與曲線的方程.例3設(shè)函數(shù)f(x)= ax3 + bx+ c(az o)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1, f(1)處的切線與直線 x- 6y- 7= o垂直，導(dǎo)函數(shù)f '(x)的最小值為12.求a, b, c的值.【分析】 本題考查函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，以及 推理能力和運(yùn)算能力題目涉及到三個(gè)未知數(shù)，而題設(shè)中有三個(gè)獨(dú)

11、立的條件，因此，通過解 方程組來確定參數(shù) a、b、c的值.解：/ f(x)為奇函數(shù)， f(- x)=- f(x),即一ax bx+ c= ax bx c,- c= o./ f '(x)= 3ax2+ b 的最小值為一12, b=- 12.1又直線x- 6y- 7= o的斜率為丄，因此，f '(1) = 3a+ b =- 6, a = 2.6綜上,a= 2, b = 12, c= o.1 2例 4 已知 a> o,函數(shù) f (x)a , x (o,+s ).設(shè) o ： x1，記曲線 y= f(x)在xa點(diǎn)M(X1, f(xj)處的切線為l.(1) 求 l的方程；設(shè)I與X軸的

12、交點(diǎn)是(X2, 0),證明：0 :： X2.a【分析】對(duì)于(1),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不難求出I的方程；對(duì)于(2)，涉及到不等式的證明，依題意求出用 進(jìn)行推理.X1表示的X2后，將X2視為X1的函數(shù)，即X2= g(X1)，結(jié)合要證明的結(jié)論1解：對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f (x)2，由此得切線I的方程為:1y -( a)Xi12(X_XJ .X(2)依題意，切線方程中令2 1 2y= 0，得 x2 = x1 (a)為=2xax1 .X1X122由 0 ：為 ，及冷=2為 一 a =為(2 - axj，有 X2>0;a另一方面， x2 二 2捲 _ax； - -a(X1 - 1 )2 1 ，a

13、a1 11從而有0 ： x2 "，當(dāng)且僅當(dāng)x-i時(shí)，x2.aaa【評(píng)析】 本題考查的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式的證明.涉及 的基礎(chǔ)知識(shí)都比較基本，題目難度也不大，但把導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)與不等式等內(nèi)容有機(jī)整合， 具有一定新意，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的方法.1本題中的(2)在證明0 ： x2時(shí)，還可用如下方法：a1 1 2 1 2 作法，x2 =2x1 ax； = _ (1 _axj2 丄0.aaa 利用平均值不等式，x2 =捲(2axj =丄心為)(2-axj _ 1 (|)2aa 21例5 設(shè)函數(shù)f'(x)二ax(a,bZ)，曲線y=f(

14、x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為x +b=3.(1) 求 f(x)的解析式；(2) 證明：曲線y= f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；(3) 證明：曲線y = f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x= 1和直線y= x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.解:(1) f '(x) =a -12(X b)2a于是2+b1 1a 一.(2 b)=1,a 1解得丿 ,A = T,因?yàn)閍，b Z，所以1f(x"x 門1證明：已知函數(shù) yi = x, y2 = 都是奇函數(shù)，x1所以函數(shù)g(x)二x 也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.x1 而 f (x) =x

15、 -11 ,X 1可知，函數(shù)g(x)的圖象按向量a= (1 , 1)平移，即得到函數(shù)f(x)的圖象，故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1, 1)為中心的中心對(duì)稱圖形.1(3)證明：在曲線上任取一點(diǎn) (xo,Xo).X。一 1由 f'(Xo) =11(xo -1)2知,過此點(diǎn)的切線方程為X； - x。1x。11(Xo -1)2(x - Xo).x01x01令x= 1得y -，切線與直線x= 1交點(diǎn)為(1,一 )；Xo - 1Xo - 1令y= x得y = 2xo 1,切線與直線 y= x交點(diǎn)為(2x。一 1, 2x。一 1). 直線x= 1與直線y= x的交點(diǎn)為(1,1)；從而所圍三角形的面積

16、為 11些12 X-11 2"STS | |2x。- 2|=2 .所以，所圍三角形的面積為定值練習(xí)1.2.3.、選擇題：(tanx)'等于(1(A)sin x1(B)sin x設(shè) f(x)= xlnx,若 f '(X0)= 2，貝U X0 等于(A)e2(B)e1(C)cos X)ln2(C)1"1(D)cos X(D)l n2函數(shù)y= ax2 +1的圖象與直線y= X相切，則a等于(1(A)81(B)41(C)2(D)1曲線y9 2(A) ：e2一、填空題:4.1X2=e2在點(diǎn)(4, e )處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(B)4e22(C)2e(D)e

17、25. f '(x)是 f (X)=1X3 2x 1 的導(dǎo)函數(shù)，貝y f '( 1)=36. 若函數(shù)y= f(x)的圖象在點(diǎn) M(1, f(1)處的切線方程是y= x + 2,貝U f(1) + f '(1) =7. 過原點(diǎn)作曲線y= ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;切線的斜率為 .&設(shè)函數(shù)f(x)= xe"(kM0)，則曲線y= f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程是 .三、解答題：9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x3(1)y = x- e ；(2)y= x + cosx；In x(3) y=(X+ 1)(x+ 2)(x + 3);(4) y -x10.已知拋

18、物線 y= ax2 + bx+ c經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1), B(2,- 1),且該曲線在點(diǎn)B處的切線方程為y = x 3，求a、b、c的值.1 21311.求曲線y =2 x與y x -2在交點(diǎn)處的兩條切線的夾角的大小.2 4§ 4 2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)要點(diǎn)】1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：(1) 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)， 如果恒有f '(x)>0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞增； 如果恒有f '(x) v 0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞減.值得注意的是，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a

19、, b)內(nèi)有f '(x)A 0(或 f '(x)< 0)，但其中只有有限個(gè)點(diǎn)使得f '(x)= 0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)仍是增函數(shù)(或減函數(shù)).(2) 一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，說明這個(gè)函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快.這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值：(1) 設(shè)函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0附近有定義，如果對(duì) x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x) v f(X0),就說f(X0) 是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，X0是極大值點(diǎn)；如果對(duì) X0附近所有的點(diǎn)，都有 f(x) > f

20、(X0),就說 f(X0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，X0是極小值點(diǎn).需要注意，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值 點(diǎn).如y= X3在x= 0處的導(dǎo)數(shù)值為零，但x= 0不是函數(shù)y = x3的極值點(diǎn).也就是說可導(dǎo)函數(shù)f(x)在 X0處的導(dǎo)數(shù)f '(x°) = 0是該函數(shù)在X0處取得極值的必要但不充分條件.函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最值：f(x)在區(qū)間a, b上的最大值(或最小值)是f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)的極大值(或極小值)及 f(a)、f(b)中的最大者(或最小者).(4) 應(yīng)注意，極值只是相對(duì)一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而最值是相對(duì)整個(gè)定義域內(nèi)的

21、整體性 質(zhì).【復(fù)習(xí)要求】1了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小 值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般 不超過三次);3會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.【例題分析】例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x) = x3 3x;(2) f(x) = 3x2 2ln x; f(x)=2x-b(x-1)2解：f(x)的定義域是 R，且f '(x) = 3x2 3, 令f '(x)= 0,得Xi = 1

22、 , X2= 1 .列表分析如下:x(8, 1)1(1, 1)1(1 , + 8)(X)+0一0+f(x)/所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(一1, 1)，增區(qū)間是(一8, 1)和(1,+8 ).2f(x)的定義域是(0,+8 )，且f (x) =6x-xX(0罟)3(=嚴(yán))3(X)一0+f(x)/令 f'(x) = 0,列表分析如下:£3<3所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(0,)，增區(qū)間是(，二：).3 3(3) f(x)的定義域?yàn)?一8, 1) U (1 ,+8 )，求導(dǎo)數(shù)得、2(x-1)2-(2x-b) 2(x-1) -2x+2b-2 2(b-1-x)f(x)口k 右廠令

23、f'(x) = 0，得 x = b 1.當(dāng)b 1v 1,即bv 2時(shí)，f'(x)的變化情況如下表:X(8, b 1)b 1(b 1, 1)(1 , + 8)廣(X)一0+一所以，當(dāng)bv 2時(shí)，函數(shù)f(x)在( 8, b 1)上單調(diào)遞減，在(b 1, 1)上單調(diào)遞增，在(1,當(dāng)b 1> 1,即b> 2時(shí)，f'(x)的變化情況如下表:x(8, 1)(1, b 1)b 1(b 1, + 8)(X)一+0一所以，當(dāng)b>2時(shí)，f(x)在( 0, 1)上單調(diào)遞減，在(1, b 1)上單調(diào)遞增，在(b 1,+8 )上單調(diào)遞減.2 當(dāng)b 1=，即b= 2時(shí)，f(x)，

24、所以f(x)在(一8, 1)上單調(diào)遞減，在(1, +x 18 )上單調(diào)遞減.【評(píng)析】 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟是： 確定f(x)的定義域(這一步必不可少，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集)； 計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)； 求出方程f'(x)= 0的根； 列表考察f'(x)的符號(hào)，進(jìn)而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間(必要時(shí)要進(jìn)行分類討論).13例2求函數(shù)y x -4x 4的極值.3解：y ' = x2 4= (x+ 2)(x 2)，令 y ' = 0,解得 x1= 2, x2= 2.列表分析如下：x(8, 2)2(2, 2)2(2, + 8)y':+0一0+y/28極

25、大值一34極小值-一3/284所以當(dāng)x= 2時(shí)，y有極大值28 ;當(dāng)x= 2時(shí)，y有極小值一-.33【評(píng)析】求函數(shù)f(x)的極值的步驟是： 計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x); 求出方程f'(x)= 0的根； 列表考察f(X)= 0的根左右值的符號(hào)：如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.例 3 已知函數(shù) f(x) = x3+ 3x2+ 9x+ a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；若f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.解：(1)f (x)= 3/+ 6x+ 9.令 f ' (x) v 0,解得 xv 1

26、 或 x>3.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 1), (3,+8 ).(2)因?yàn)?f( 2) = 8+ 12 18+ a = 2+ a, f(2) = 8 + 12+ 18+ a= 22+ a，所以 f(2) >f( 2).因?yàn)樵?1, 3)上 f'(x) >0,所以f(x)在1 , 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2, 1上 單調(diào)遞減，因此f(2)和f( 1)分別是f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值和最小值.于是有22 + a= 20,解得a = 2.故 f(x) = x3+ 3x2 + 9x 2,因此 f( 1) = 1 + 3 9 2 = 7,即函數(shù)f(x

27、)在區(qū)間2, 2上的最小值為一7.【評(píng)析】 求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上最值的方法： 計(jì)算導(dǎo)數(shù)f(X)；+ 8 )上單調(diào)遞減.13 / 21 求出方程f(x)= 0的根Xi, X2,; 比較函數(shù)值f(Xi), f(X2),及f(a)、f(b)的大小，其中的最大(小)者就是f(x)在閉區(qū)間a, b上最大(小)值.例4 設(shè)f(x), g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)xv0時(shí)，f'(x)g(x) + f(x)g(x)>0，且g( 3) = 0,則不等式f(x)g(x) v 0的解集是()A . ( 3, 0) U (3,+ )B . ( 3, 0)U (0, 3)C.

28、 ( s, 3)U (3,+s )D . ( s, 3) U (0, 3)【分析】本題給出的信息量較大，并且還都是抽象符號(hào)函數(shù)解答時(shí)，首先要標(biāo)出重要的已知條件，從這些條件入手，不斷深入研究.由f(x)g(x) + f(x)g'(x)>0你能產(chǎn)生什么聯(lián)想？它和積的導(dǎo)數(shù)公式很類似，整理可得f(x)g(x) >0.令h(x)= f(x)g(x)，則當(dāng)xv 0時(shí)，h(x)是增函數(shù).再考慮奇偶性，函數(shù)h(x)是奇函數(shù).還有一個(gè)已知條件g( 3) = 0,進(jìn)而可得h(3)= f( 3)g( 3) = 0，這樣我們就可以畫出函數(shù)h(x)的示意圖，借助直觀求解.答案：D.例5 求證：當(dāng)x&

29、gt;0時(shí)，1 + xv ex.分析：不等式兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，且函數(shù)類型不同，故可考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)= 1 + xex,通過研究函數(shù)f(x )的單調(diào)性來輔助證明不等式.證明：構(gòu)造函數(shù) f(x) = 1 + x ex,貝U f'(x)= 1 ex.當(dāng) x> 0 時(shí)，有 ex> 1，從而 f'(x)= 1 exv 0,所以函數(shù)f(x)= 1 + x ex在(0,+s )上單調(diào)遞減，從而當(dāng) x>0 時(shí)，f(x) v f(0) = 0,即當(dāng) x>0 時(shí)，1 + xv ex.【評(píng)析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，而借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單

30、調(diào)性輔助證明不等式突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用.例6用總長14.8 m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果容器底面的長比寬多0.5 m ,那么長和寬分別為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積.解：設(shè)容器底面長方形寬為x m,則長為(x+ 0.5)m ,依題意，容器的高為 丄14.8 -4x-4(x 0.5) =3.2 -2x4口 ex >0,顯然丿二0 v xv 1.6，即x的取值范圍是(0, 1.6).、3.2 -2x > 0,記容器的容積為y m3,則 y = x(x+ 0.5)(3.2 2x)= 2x3 + 2.2x2 + 1.6x x (0, 1.6).對(duì)此函數(shù)求導(dǎo)得，y&#

31、39;= 6x2 + 4.4x+ 1.6 .令 y'>0,解得 0v xv 1；令 y'v 0,解得 1 v xv 1.6.所以，當(dāng)x= 1時(shí)，y取得最大值1.8,這時(shí)容器的長為1 + 0.5= 1.5.答：容器底面的長為 1.5m、寬為1m時(shí)，容器的容積最大，最大容積為1.8m3.【評(píng)析】解決實(shí)際優(yōu)化問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型(目標(biāo)函數(shù))，通過把題目中的主要關(guān)系(等量和不等量關(guān)系)形式化，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?例7 已知f(x)= ax3 + cx+ d(a 0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng) x= 1時(shí)，f(x)取得極值一2.(1) 求f(x)的解析式；

32、(2) 證明對(duì)任意 劉、( 1, 1)，不等式丨f(xj f(X2)丨< 4恒成立.【分析】對(duì)于(1)題目涉及到三個(gè)未知數(shù)，而題設(shè)中有三個(gè)獨(dú)立的條件，因此，通過解 方程組來確定參數(shù)a、c、d的值；對(duì)于(2)可通過研究函數(shù)f(x)的最值加以解決.解：由f(x)= ax3+ cx+ d(aM 0)是R上的奇函數(shù)，知 f(0) = 0,解得d= 0, 所以 f(x) = ax3 + cx(az 0), f'(x) = 3ax2 + c(a* 0).由當(dāng) x= 1 時(shí)，f(x)取得極值一2，得 f(1) = a + c=- 2,且 f'(1) = 3a+ c= 0，解得a 1 ，

33、 c 3，所以 f(x) = x3- 3x.令 f' (x)>0,解得 xv 1，或 x> 1 ;令 f' (x)v 0，解得1 vxv 1,從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(一a， 1)內(nèi)為增函數(shù)，(一1， 1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，+ )內(nèi)為增 函數(shù).故當(dāng)x 1，1時(shí)，f(x)的最大值是f( 1) = 2,最小值是f(1) = 2，所以，對(duì)任意 X1、X2 ( 1, 1), |f(X1) f(X2)|V 2 ( 2) = 4.【評(píng)析】使用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解決極值(最值)問題是常用方法，較為簡便. 例8 已知函數(shù)f(x) = xlnx.(1) 求f(x)的最小值；(

34、2) 若對(duì)所有x> 1都有f(x)> ax 1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+ ), f(x)的導(dǎo)數(shù) f'(x)= 1 + lnx.11令 f'(x) > 0，解得 x ; 令 f'(x) v 0,解得 0 ： x ：.ee11從而f(x)在(0, )單調(diào)遞減，在(-，=)單調(diào)遞增.ee11所以，當(dāng)x 時(shí)，f(x)取得最小值-.ee(2)解法一：令 g(x) = f(x) (ax 1)，則 g'(x)= f'(x) a = 1 a + lnx, 若 a< 1,當(dāng) x> 1 時(shí)，g'(x)=

35、 1 a+ lnx> 1 a> 0,故g(x)在(1 ,+a )上為增函數(shù)，所以，x> 1 時(shí)，g(x)>g(1) = 1 a>0，即 f(x)ax 1. 若a> 1,方程g'(x)= 0的根為x0= ea 1,此時(shí)，若x (1 , x°),則g(x)v 0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).所以，x (1,創(chuàng)時(shí)，g(x)v g(1) = 1 av0,即f(x) v ax 1，與題設(shè)f(x) >ax 1相矛盾.綜上，滿足條件的a的取值范圍是(一a, 1.解法二：依題意，得 f(x) >ax 1在1 ,+a )上恒成立，1即不等式a二I

36、n x 對(duì)于x 1 ,+a )恒成立.x1 111 1令 g(x) =l nx ，則 g (x)2(1).xxx x x11當(dāng) x> 1 時(shí)，因?yàn)?g (x)(1 -)0 ,xx故g(x)是(1 ,+a )上的增函數(shù)，所以g(x)的最小值是g(1) = 1,從而a的取值范圍是( a, 1.1 *例9已知函數(shù)f (x)n ' aln(x -1)，其中n N , a為常數(shù).(1-x)(1) 當(dāng)n = 2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2) 當(dāng)a = 1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x>2時(shí)，有f(x)< x 1.19 / 21解：(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閄 I x

37、> 1,當(dāng)n = 2時(shí),1小口 5(一1)，所以f'(x)=22_a(1 _x)(1xp當(dāng)a> 0時(shí),由 f(x)= 0 得捲=1 + J2 >1,x2 =1 F <1 , a a此時(shí)f (x)=(1-x)3當(dāng) x (1 , X1)時(shí)，f(x) V 0, f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng) x (X1f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)a< 0, f'(x)v 0恒成立，所以f(x)無極值. 綜上所述，n = 2時(shí)，當(dāng)a > 0時(shí),f(x)在 X =1 -處取得極小值，極小值為a2 a 2f(1 匸了1"才.當(dāng)a w 0時(shí)，f(x)無極值.證法一：因?yàn)閍 =

38、1,所以f(x) J - ln(x-1).(1x)1當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，令 g(x)=x-1 -In(x-1),(1X)則 g (X) -1nn -1(X -1)x -1x -2x -1(X-1)m 0(2)-所以當(dāng)x>2時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)= 0,1因此 g(x) = x -1n 一"(x -1) _ g(2) = 0恒成立,(x-1)所以f(x) w x- 1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證f(x) w X- 1,由于 J：0，所以只需證In (x- 1)w x- 1,(1 x)令 h(x) = x- 1-In(x- 1),1x 2則 h(x)_0(x 2).x 1x 1

39、所以，當(dāng) x>2 時(shí)，h(x)= x- 1-In(x- 1)單調(diào)遞增，又 h(2) = 1>0,所以，當(dāng)x>2時(shí)，恒有h(x)>0,即卩In(x-1)vx 1成立.綜上所述，結(jié)論成立.1證法二：當(dāng)a= 1時(shí)，f聽冇ln(x"當(dāng)x>2時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有(1-x)n<1,故只需證明1 + In (x 1) < x- 1.令 h(x) = x 1 1 + In(x 1) = x 2 In(x 1), x 2 ,+ ),則 h(x) =1 1x -1x -2x -1，當(dāng)x>2時(shí)，h'(x) >0,故h(x)在2 ,+s )

40、上單調(diào)遞增,因此當(dāng) x> 2 時(shí)，h(x)> h(2) = 0，即 1 + In(x 1)< x 1 成立.1故當(dāng) x>2 時(shí)，有+ In(x 1)蘭x 1 ,(1-x)n即 f(x) w x 1 .一、選擇題：1. 函數(shù) y= 1 + 3x x3 有()(A) 極小值2，極大值2(C)極小值1，極大值12. f '(x)是函數(shù)y= f(x)的導(dǎo)函數(shù),練習(xí)4 2(B)極小值2,極大值3(D)極小值1,極大值3y= f '(x)圖象如圖所示，則 y= f(x)的圖象最有可能是()孑1 (D) a -3a的取值范圍是(1(D) ae3. 函數(shù)f(x) = a

41、x3 x在R上為減函數(shù)，則a的取值范圍是(1(A) av 0(B) aw 0(C) a :34設(shè)a R，若函數(shù)f(x)= ex+ ax, x R有大于零的極值點(diǎn)，則1(A) av 1(B)a> 1(C) a <e二、填空題：5 .函數(shù) f(x) = x3 3ax2 + 2bx 在 x= 1 處取得極小值1，貝V a+ b =.6. 函數(shù)y= x(1 x2)在0 , 1上的最大值為 .7. 已知函數(shù)f(x)= 2x3 6/+ a在2, 2上的最小值為一37,則實(shí)數(shù)a =.&有一塊邊長為 6m的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長方體形的無蓋容器，為

42、使其容積最大，截下的小正方形邊長為m .三、解答題：9. 已知函數(shù)f(x)= x3+ ax2+ bx(a, b R)的圖象過點(diǎn)P(1, 2),且在點(diǎn)P處的切線斜率為 8. (1)求a, b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3) 求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的最大值與最小值.n10. 當(dāng) x 三(0,)時(shí)，證明：tanx>x.2xx11. 已知函數(shù)f(x)= e e .(1)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù) f '(x) > 2;若對(duì)所有x> 0都有f(x)> ax,求a的取值范圍.§ 4 3定積分與微積分基本定理【知識(shí)要點(diǎn)】1.曲邊梯形的面積與定積分：(1)

43、定積分定義：設(shè)函數(shù) y= f(x)定義在區(qū)間a, b上.用分點(diǎn)a= xo<x1<x?vv xn-1 < xn= b把區(qū)間a, b分為n個(gè)小區(qū)間，其長度依次為l xi =為+1 Xi, i = 0, 1, 2,，n 1.記為這些小區(qū)間長度的最大者.當(dāng)趨近于0時(shí)，所有的小區(qū)間的長度都趨近于0.在每個(gè)n -1小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) E i,作和式Sn =為f( i) 八“.當(dāng) t0時(shí)，如果和式的極限存在，我i =0b們把和式Sn的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a , b上的定積分，記作a f (x)dx ,即b.f(x)dx =lim v f ( JX .其中f(x)叫做被積函數(shù)，a叫做積分

44、下限，b叫做積分上限， a')0iz0此時(shí)稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積.(2)定積分性質(zhì)：定積分有三條主要的性質(zhì)：bb kf(x)dx=k f(x)dx (k 為常數(shù))；a' abbb J f(x) 士g(x)dx = J f(x)dx士 f g(x)dx ；aaabcb f (x)dx = j f (x)dx 亠 I f (x)dx(a ： c b).aac說明：性質(zhì)對(duì)于有限個(gè)函數(shù)(兩個(gè)以上)也成立；性質(zhì)對(duì)于把區(qū)間a,b分成有限個(gè)(兩 個(gè)以上)區(qū)間也成立.b在定積分的定義中，f(x)dx限定下限小于上限，即 av b .為了計(jì)算方便，我們把定a積分的定義擴(kuò)展，使下限不一

45、定小于上限，并規(guī)定:abb f (x)dx f (x)dx.(3) 幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法: 由三條直線x= a, x= b(av b), x軸，一條曲線 y= f(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面b積 S = i f (x)dx. 由三條直線x= a, x= b(av b), x軸，一條曲線 y= f(x)(f(x)< 0)圍成的曲邊梯形的面bb積f (x)dx = _ t f (x)dx. 由兩條直線 x= a, x= b(av b),兩條曲線 y = f(x), y= g(x)(f(x)>g(x)圍成的平面圖形b的面積 Sf(x) _g(x)dx. 由三條直線x

46、= a, x = b(av b), x軸，一條曲線y = f(x)圍成的曲邊梯形的面積cbS f (x)dx - f (x)dx，即在區(qū)間a, b上，f(x)有正有負(fù)，求曲邊梯形的面積時(shí)應(yīng)分段 aC計(jì)算.2 .微積分基本定理：如果 F'(x) = f(x),且f(x)在a , b上可積，則ab f (x)dx=F(b) -F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)在a, b上的改變量F(b)-F(a)簡記作F(x)|：，因此微積分基本定理可以寫成abb f(x)dx = F(x),F(b)-F(a).【復(fù)習(xí)要求】1了解定積分的概念；2了解微積分基本定理的含義.【例題分析】例

47、1計(jì)算下列定積分：(1) ；x2dx ;n(2) sinxdx ；%n2 (3x - sin x)dx ；01 2(5) (ax bx c)dx ；(1) fx2dx = 1 x3 £= 8 . 033解:n0 sin xdx = -cosx |0n = -cos n9 = ln x I3 = In 3 -1 .e xcosO = 2 .2 n(sinxcosx)dx.nn 2323 n 2(3xsin x)dx=( x cosx) |o1 .028).2丄，丄、,a 3丄b 2丄 、1 a丄b(5) (ax bx c)dx = ( x . x ex) 1c.032322 n2 n(

48、6) J (sinx cosx)dx = ( cosx sinx)-2 .L n225 / 21b【評(píng)析】 求 f(x)dx 般分為兩步：求 f(x)的原函數(shù)F(x);計(jì)算F(b) F(a)的值,對(duì)于求較復(fù)雜函數(shù)的定積分還要依據(jù)定積分的性質(zhì).例2計(jì)算下列定積分：1 Jx|dx ；設(shè) f (x)遠(yuǎn) X3 求 ff(x)dx gosx-1, x>0.解:(1) ：|xdx =2 :xdx =2 £x2l01 J(x)dx 二0 2 1x3x dx 亠 i (cosx -1)dx 30 1|j (sin x-x)|o = sin1-a【評(píng)析】設(shè)f(x)在區(qū)間a , a上連續(xù)，則f (

49、x)是偶函數(shù)時(shí)，f (x)dx =.aaa2of(x)dx;f(x) 是dx 二 0.當(dāng)f(x)是分段函數(shù)時(shí)，求積分應(yīng)分段進(jìn)行.例3求曲線y= ex, y= e x及直線x= 1所圍成圖形的面積.解：兩條曲線y= ex, y = e x的交點(diǎn)為(0, 1),1 彳 彳 故所求面積 S = o (ex -e)dx 二(ex e")|0=e eJ - 2.例4過原點(diǎn)的直線I與拋物線y= x2 2ax(a>0)所圍成圖形的面積為 -a3，求直線l的2方程.解：設(shè)直線l的方程為y= kx,將其代入y= x2 2ax(a>0)，解得x= 0或x= 2a+ k.當(dāng)2a + k>

50、 0時(shí)，所求面積為Ja k(kx-x2 2ax)dx=(丁 x23 x 32a0(2a k)36= 9a3，解得2k= a,此時(shí)直線l的方程為y= ax.)|；a k當(dāng)2a + k v 0時(shí)，所求面積為° (kx -x2 2ax)dx 二(亙上 x22a "k2(2a k)36(2a k)3693a，解得k= 5a,此時(shí)直線l的方程為y= 5ax.習(xí)題4一、選擇題：1曲線y= ex在點(diǎn)(1, e)處導(dǎo)數(shù)為()(A)1(B)e(C) 1(D) e2 .曲線y= x3 2x+ 4在點(diǎn)(1, 3)處切線的傾斜角為()(A)30 °(B)45 °(C)60 &#

51、176;(D)120 °3.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a, b),導(dǎo)函數(shù)f '(x)在(a, b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) f(x) 在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()(A)1 個(gè)(C)3 個(gè)f '(x)g(x) f(x)g '(x)v 0，則當(dāng) av x(A)f(x)g(x)> f(b)g(b)(B) f(x)g(a) > f(a)g(x)(C) f(x)g(b)> f(b)g(x)6. 設(shè)曲線y= ax?在點(diǎn)(1 ,a)處的切線與直線(D) f(x)g(x) > f(a)g(a)2x y 6= 0 平行，則 a=4.函數(shù)f(x)

52、 = xlnx的最小值是()(A)e(B) e1(C)e(D) e5.設(shè)f(x)、g(x)是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且v b時(shí)，一定有()7. 如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段 ABC，其中A, B, C的坐標(biāo)分別為(0, 4), (2, 0), (6,4)，則函數(shù)f(x)在x= 1處的導(dǎo)數(shù)f'(1) =&函數(shù)y= 2x3 3x2 12x+ 5在0, 3上的最大值是 ;最小值是 .9. 設(shè)a R,函數(shù)f(x) = x3 + ax2 + (a 3)x的導(dǎo)函數(shù)是f '(x),若f '(x)是偶函數(shù)，則曲線y= f(x) 在原點(diǎn)處的切線方程為 .10. 拋物線

53、y= x2 x與x軸所圍成封閉圖形的面積是 .三、解答題：kx11. 設(shè)函數(shù) f(x) = xe (kM 0).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.12. 設(shè)函數(shù)f(x)= 2x3 + 3ax2 + 3bx+ 8c在x= 1及x = 2時(shí)取得極值.(1)求a, b的值；2若對(duì)于任意的x 0 , 3,都有f(x)v c成立，求c的取值范圍.113. 設(shè) a>0,函數(shù) f (x) =(x2 -x)eax .a(1) 當(dāng)a = 2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若不等式f (x) - _ 0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍.a214. 已知函數(shù) f(x)= In(x+ a)+ x .(1)若當(dāng)x=- 1時(shí)，f(x)取得極值，求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于In -.2專題四導(dǎo)數(shù)參考答案練習(xí)4 1一、選擇題：I. C 2. B 3. B 4. D二、填空題：5. 36. 47. (1, e); e 8