復變函數(shù)4-2冪級數(shù)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性三、冪級數(shù)的運算和性質四、典型例題五、小結與思考一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念1.1.復變函數(shù)項級數(shù)復變函數(shù)項級數(shù)定義定義 , ), 2 , 1()( 為為一一復復變變函函數(shù)數(shù)序序列列設設 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各項在區(qū)域其中各項在區(qū)域 D D內有定義內有定義. .表達式表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù)稱為復變函數(shù)項級數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn 稱為這級數(shù)的部分和稱為這級數(shù)的部分和. . 級數(shù)最前面級數(shù)最前面n n項的和項的和和函數(shù)和函數(shù).)( , )(

2、, )()(lim , 001000它的和它的和稱為稱為收斂收斂在在那末稱級數(shù)那末稱級數(shù)存在存在極限極限內的某一點內的某一點如果對于如果對于zszzfzszszDnnnn )()()()(21zfzfzfzsn稱為該級數(shù)在區(qū)域稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù)上的和函數(shù).如果級數(shù)在如果級數(shù)在D內處處收斂內處處收斂, 那末它的和一定那末它的和一定 :)( zsz的的一一個個函函數(shù)數(shù)是是2. 2. 冪級數(shù)冪級數(shù)當當11)()( nnnazczf或或,)(11時時 nnnzczf函數(shù)項級數(shù)的特殊情形函數(shù)項級數(shù)的特殊情形 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.zczczcczcn

3、nnnn 22101或或這種級數(shù)稱為冪級數(shù)這種級數(shù)稱為冪級數(shù).二、冪級數(shù)的斂散性二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理收斂定理(阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)如果級數(shù)如果級數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, , z那末對那末對的的級數(shù)必絕對收斂級數(shù)必絕對收斂, , 假如假如在在級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, , 那末對滿足那末對滿足的的級數(shù)必發(fā)散級數(shù)必發(fā)散. .滿足滿足證證 , 00收斂收斂因為級數(shù)因為級數(shù) nnnzc由收斂的必要條件由收斂的必要條件, 有有0lim0 nnnzc因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)M, , 0Mzcnn 有有使對所有的使對所有的n, , 0zz 如如果

4、果 , 1 0 qzz那末那末而而nnnnnnzzzczc00 由正項級數(shù)的比較判別法知由正項級數(shù)的比較判別法知:. 0是絕對收斂的是絕對收斂的故級數(shù)故級數(shù) nnnzc nnnnnzczczcczc22100收斂收斂.另一部分的證明請課后完成另一部分的證明請課后完成.nMq 證畢證畢2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù)對于一個冪級數(shù), 其收斂半徑的情況有三種其收斂半徑的情況有三種:(1) 對所有的正實數(shù)都收斂對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:級數(shù)在復平面內處處絕對收斂級數(shù)在復平面內處處絕對收斂. .例如例如, 級數(shù)級數(shù) nnnzzz2221對任意固定的對任意固

5、定的z, 從某個從某個n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級數(shù)對任意的故該級數(shù)對任意的z均收斂均收斂.(2) 對所有的正實數(shù)除對所有的正實數(shù)除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.此時此時, 級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)斂的正實數(shù).例如例如,級數(shù)級數(shù) nnznzz2221, 0 時時當當 z通項不趨于零通項不趨于零, ;,級級數(shù)數(shù)收收斂斂時時設設 z.,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散時時 z如圖如圖:故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散.xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半

6、徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域.答案答案:. 為為中中心心的的圓圓域域是是以以az 冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結論一般的結論, 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析.注意注意問題問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如例如, 級數(shù)級數(shù): 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點收斂圓周上無收斂點;,1在

7、在其其它它點點都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點點 z在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法方法方法1: 1: 比值法比值法( (定理二定理二):):, 0lim 1 nnncc如如果果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R證證由于由于zcczczcnnnnnnnn111limlim , 1 時時當當 z 0nnnzc收斂收斂., z , 0收收斂斂使使級級數(shù)數(shù) nnnzc , 01zz 使使據(jù)阿貝爾定理據(jù)阿貝爾定理,. 01必必收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnzc根據(jù)上節(jié)定理三根據(jù)上節(jié)定理三, 0 nnnzc級數(shù)級數(shù), 1 內收斂內收斂在圓在圓 z, 1 0zz外外有有一一點

8、點假假設設在在圓圓 , 1 1zz外外再再取取一一點點在在圓圓 , 1 1時時然而當然而當 z11111limzzczcnnnnn , 01收斂相矛盾收斂相矛盾與與 nnnzc, 1 0外外發(fā)發(fā)散散在在圓圓故故 zzcnnn所以收斂半徑為所以收斂半徑為.1 R證畢證畢. 1 即假設不成立即假設不成立 .假如假如:, 0在復平面內處處收斂在復平面內處處收斂則級數(shù)則級數(shù) nnnzc即即. R, 0. 1 注意注意:nnncc1lim 存在且不為零存在且不為零 .定理中極限定理中極限 . 2(極限不存在極限不存在),即即. 0 R, 0 0均均發(fā)發(fā)散散以以外外的的一一切切對對于于復復平平面面內內除除

9、則則級級數(shù)數(shù)zzzcnnn pnnnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以答案答案，因為因為pnnc1 課堂練習課堂練習 試求冪級數(shù)試求冪級數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑.pnn)11(1lim . 1 方法方法2: 根值法根值法(定理三定理三), 0lim nnnc如如果果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R說明說明: 0 0 RR(與比值法相同與比值法相同)假如假如三、冪級數(shù)的運算和性質三、冪級數(shù)的運算和性質1.1.冪級數(shù)的有理運算冪級數(shù)的有理運算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設設,)()()(000nnnnnnnnnn

10、zbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 2. 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換(復合復合)運算運算如果當如果當rz 時時,)(0 nnnzazf又設在又設在Rz 內內)(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當那末當Rz 時時, 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù). 00)(nnnzzc定理四定理四設冪級數(shù)設冪級數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那末那末(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內的導數(shù)可將其冪內的導

11、數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到級數(shù)逐項求導得到, .)()(11 nnnaznczf即即是收斂圓是收斂圓Raz 內的解析函數(shù)內的解析函數(shù) . 0)()( nnnazczf它的和函數(shù)它的和函數(shù)(1)3. 復變冪級數(shù)在收斂圓內的性質復變冪級數(shù)在收斂圓內的性質(3)(zf在收斂圓內可以逐項積分在收斂圓內可以逐項積分, 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或簡言之簡言之: 在收斂圓內在收斂圓內, 冪級數(shù)的和函數(shù)解析冪級數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級數(shù)可逐項求導冪級數(shù)可逐項求導, , 逐項積分逐項積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))即即四、典型例題

12、四、典型例題例例1 1 求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnzzzz201的收斂范圍與和函數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解解級數(shù)的部分和為級數(shù)的部分和為)1( ,11112 zzzzzzsnnn1 zzsnn 11lim級數(shù)級數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級數(shù)級數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.且有且有.1112 nzzzz收斂范圍為一單位圓域收斂范圍為一單位圓域, 1 z由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:在此圓域內在此圓域內, 級數(shù)絕對收斂級數(shù)絕對收斂, 收斂半徑為收斂半徑為1,例例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(并討論在收斂圓周上的情形并討論在收斂圓周上的情形)(2) 1)

13、1(nnnz(并討論并討論2,0 z時的情形時的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解 (1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因為因為, 1 . 11lim3 nnn所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級數(shù)在圓即原級數(shù)在圓1 z內收斂內收斂, 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, 收斂的收斂的p級數(shù)級數(shù) ).13( p所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周在圓周1 z上上, 級數(shù)級數(shù) 13131nnnnnz說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點, 也有也有 級數(shù)的發(fā)散點級數(shù)的發(fā)散點.,0時時當當 z原級數(shù)成為原級數(shù)成為,1)

14、1(1 nnn交錯級數(shù)交錯級數(shù), 收斂收斂.,2時時當當 z發(fā)散發(fā)散.原級數(shù)成為原級數(shù)成為,11 nn調和級數(shù)，調和級數(shù)，(2)1limlim1 nnccnnnn,1 . 1 R即即incncos 因為因為nnnnnnnneeeecc 111limlim 所所以以故收斂半徑故收斂半徑.1eR 0)(cosnnzin例例3求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑:解解),(21coshnneen , e 解解)4sin4(cos21 ii因為因為nnic)1( 所以所以nnncc1lim .2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收斂半徑的收斂半徑.,24ie ;)2(4inne nnn)2

15、()2(lim1 . 2 例例5 把函數(shù)把函數(shù)bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的冪的冪級數(shù)級數(shù), 其中其中ba與與是不相等的復常數(shù)是不相等的復常數(shù) .解解把函數(shù)把函數(shù)bz 1寫成如下的形式寫成如下的形式: bz1)()(1abaz abazab 111代數(shù)變形代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))(az 湊出湊出)(11zg 時，時，當當1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 設設,時時那那末末當當Raz 級數(shù)收斂級數(shù)收斂,且其和為且其和為.1bz 例

16、例6 求級數(shù)求級數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解12limlim 1 nnccnnnn因因為為. 1 R所所以以利用逐項積分利用逐項積分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z例例7 求級數(shù)求級數(shù) 01)12(nnnz的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解1212limlim 11 nnnnnncc因為因為.21 R所所以以,21時時當當 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例8 計算計算.21,d)(1 zczzcnn為為其中其中解解,21內內在在 z 1)(nnzzS和和函函數(shù)數(shù) czzzId)111(所以所以02 i,1收斂收斂 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 五、小結與思考五、小結與思考 這節(jié)課我們學習了冪級數(shù)的概念和阿貝爾定這節(jié)課我們學習了冪級數(shù)的概念和阿貝爾定理等內容，應掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法和冪級理等內容，應