SAS講義 第三十六課因子分析

1、7013034.doc第三十六課 因子分析因子分析（Factor Analysis）是主成分分析的推廣，它也是從研究相關矩陣內部的依賴關系出發(fā)，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結為少數(shù)幾個綜合因子的一種多變量統(tǒng)計分析方法。具體地說，就是要找出某個問題中可直接測量的、具有一定相關性的諸指標，如何受少數(shù)幾個在專業(yè)中有意義，又不可直接測量到，且相對對立的因子支配的規(guī)律，從而可用諸指標的測定來間接確定諸因子的狀態(tài)。一、 何為因子分析因子分析的目的是用有限個不可觀察的潛在變量來解釋原變量間的相關性或協(xié)方差關系。在這里我們把不可觀察的潛在變量稱為公共因子（common factor）。在研究樣品時，每個樣品

2、需要檢測很多指標，假設測得p個指標，但是這p個指標可能受到m(m<p)個共同因素的影響，再加上其他對這些指標有影響的因素。寫成數(shù)學的形式就是：ìX1=a11f1+a12f2+L+ a1mfm +e1ïïX2=a21f1+a22f2+L+a2mfm+e2 íLLïïîXp=ap1f1+ap2f2+L+apmfm+ep利用矩陣記號有p´1(36.1) X=Af+e P´mm´1p´1(36.2)各個指標變量都受到fi的影響，因此fi稱為公共因子，A稱為因子載荷矩陣，ei是單變量。設f

3、1，f2，fm分別是均值為Xi所特有的因子，稱為Xi的特殊因子（unique factor）0，方差為1的隨機變量，即D(f)=Im；特殊因子e1，e2，ep分別是均值為0，方差2222為d12，d2，dp的隨機變量，即D(e)=diag(d12,d2,L,dp)=D；各特殊因子之間及特殊因子與公共因子之間都是相互獨立的，即Cov(ei,ej)=0,i¹j及Cov(e,f)=0。錯誤！未定義書簽。是第j個變量在第i個公共因子上的負荷，從投影的角度看，aji就是Xj在坐標軸fi上的投影。主成份分析的目標是降維，而因子分析的目標是找出公共因素及特有的因素，即公共因子與特殊因子。在主成份分

4、析中，殘差通常是彼此相關的。在公因子分析中，特殊因子起到殘差的作用，但被定義為彼此不相關且和公因子也不相關。而且每個公因子假定至少對兩個變量有貢獻，否則它將是一個特殊因子。在開始提取公因子時，為了簡便還假定公因子彼此不相關且具有單位方差。在這種情況下，向量X的協(xié)方差矩陣可以表為S=D(X)=D(Af+e)=AA¢+D (36.3)22)，diag表示對角矩陣。這里D=diag(d12,d2如果假定已將錯誤！未定義書簽。標準化，,L,dp7013034.doc也就是說錯誤！未定義書簽。的每一個分量Xi的均值都為0，方差都是1，即D(Xi)=1，那么ìXi=ai1f1+ai2f

5、2+L+aimfm+eiïm í1=Var(X)=a2+d2åiijiïj=1î記h=2i2aåij，則有j=1m(36.4)1=hi2+di2,i=1,2,L,p (36.5)錯誤！未定義書簽。反映了公共因子f對Xi的影響，稱為公共因子f對Xi的“貢獻”。hi2實際反映了變量Xi對公共因子f的依賴程度。另一方面，還可以考慮指定的一個公共因子fj對各個變量Xi的影響。實際上，fj對各個變量Xi的影響可由A中第j列的元素來描述，那么2 g=åaij2ji=1p(36.6)2X稱為公共因子fj對X的“貢獻”。顯然g2越大，對的影

6、響就越大，fgjjj成為衡量因子重要性的一個尺度。實際上Cov(Xi,fj)=åaikCov(fk,fj)+Cov(ei,fj)=aijk=1m(36.7)那么矩陣A的統(tǒng)計意義就非常清楚：l 錯誤！未定義書簽。是Xi和fj的相關系數(shù)；l 錯誤！未定義書簽。是Xi對公共因子f的依賴程度； l 錯誤！未定義書簽。是公共因子fj對X的各個分量總的影響。 下面我們來看怎樣求解因子載荷矩陣A。二、 因子載荷矩陣的求解如果已知X協(xié)方差矩陣S和D，可以很容易地求出A。根據(jù)(36.3)有S-D=AA¢*(36.8) 記S*=S-D，則S*是非負定矩陣。若記矩陣S的p個特征值l1l2 lm

7、>lm+17013034.doc= =lp= 0，且m個非零特征值所對應的特征向量分別為g1，g2，gm，則S*的譜¢+l2g2g2¢+L+lmgmgm¢S*=l1g1g1 =分解式為11,22,L,mmA=11,22,L,mm)¢(36.9)只要令l1g1,2g2,L,lmgm)(36.10)就可以求出因子載荷矩陣A。但在實際問題中，我們并不知道S、D，即不知道S*，已知的只是n個樣品，每個樣品測得p個指標，共有np個數(shù)據(jù)，樣品數(shù)據(jù)見表6.1所示。為了建立公因子模型，首先要估計因子載荷錯誤！未定義書簽。和特殊因子方差di2。常用的參數(shù)估計方法有以

8、下三種：主成份法、主因子解法和極大似然法。1. 主成份法主成份法求因子載荷矩陣A的具體求法如下：首先從資料矩陣出發(fā)求出樣品的協(xié)方差矩，其特征值為l³l³L³l³0，相應單位正交特征向量為g,g,L,g，陣，記之為S12p12p進行譜分解可以近似為 當最后p-m個特征值較小時，則對S=l1g1g1¢+l2g2g2¢+L+lmgmgm¢+D S相應的前m個較大特征值。先取a=其中l(wèi)1l2 lm> 0是協(xié)方差矩陣S1(36.11)l1g1，然-aa¢是否接近對角陣。如果接近對角陣，說明公共因子只要取一個就行了，所有

9、指后看S11-aa¢不是近似對角陣，就取a=標主要受到這一個公共因子的影響；如果S1122g2，然后-aa¢-aa¢是否接近對角陣，如果接近對角陣，就取兩個公共因子；否則再取看S1122a3=3g3，直到滿足“要求”為止。這里的“要求”要視具體情況而定，一般而言，就象主成分分析一樣，直接取前q個特征值和特征向量，使得它們的特征值之和占全部特征-åa2,i=1,2,L,p。 值之和的85以上即可。此時，特殊因子方差d=Siiti2it=1q2. 主因子解法主因子解法是主成份法的一種修正，它是從資料矩陣出發(fā)求出樣品的相關矩陣R，設*)2，也就是已R=AA&#

10、162;+D，則R-D=AA¢。如果我們已知特殊因子方差的初始估計(di*)2=1-(d*)2，則約相關陣R=R-D為 知了先驗公因子方差的估計為(hii*7013034.doc*)2é(hr12Lr1pù1êú*2êr21(h2)Lr2pú*R=êúêLLLLLLLLLúê*)2úrrL(hêp1úp2pëû*(36.12)*計算R的特征值和特征向量，取前m個正特征值l1³l*2³L³lm

11、79;0及相應特征向量為*，則有近似分解式 g1*,g2,L,gmR*=AA¢(36.13)2i=1-其中A=(lg,lg,L,lg)，令d*1*1*2*2*m*måat=1m2ti,i=1,2,L,p，則A和2,d2,L,d2)為因子模型的一個解，這個解就稱為主因子解。 D*=diag(d12p*)2，那么特殊因子方差的初始上面的計算是我們假設已知特殊因子方差的初始估計(di估計值如何得到呢？由于在實際中特殊因子方差di2（或公因子方差hi2）是未知的。以上得到的解是近似解。為了得到近似程度更好的解，常常采用迭代主因子法。即利用上面得到的2,d2,L,d2)作為特殊方差的

12、初始估計，重復上述步驟，直到解穩(wěn)定為止。 D*=diag(d12p公因子方差（或稱變量的共同度）常用的初始估計有下面三種方法：l hi2取為第i個變量與其他所有變量的多重相關系數(shù)的平方（或者取di2=1/rii，其中r是相關矩陣R的可逆矩陣Rii-1的對角元素，則hi2=1-di2）；l hi2取為第i個變量與其他所有變量相關系數(shù)絕對值的最大值； l 取hi2=1，它等價于主成份解。3. 極大似然法假定公共因子f和特殊因子e服從正態(tài)分布，那么我們可得到因子載荷陣和特殊方差的極大似然估計。設p維的n個觀察向量x(1),x(2),L,x(n)為來自正態(tài)總體Np(m,S)的隨機樣本，則樣本似然函數(shù)為

13、m和S的函數(shù)L(m,S)。設S=AA¢+D，取m=，對于一組確定的隨機樣本，m已經(jīng)變成了確定已知的值，則似然函數(shù)L(m,S)可以轉換為A和D的函數(shù)j(A,D)。接下來就可以求A和D取什么值，函數(shù)j(A,D)能達到最大。為了保證得到唯一解，可以附加唯一性條件A¢DA=對角陣，再用迭代方法可求得極大似然估計的A和D的-17013034.doc值。三、 因子旋轉因子模型被估計后，還必須對得到的公因子f進行解釋。進行解釋通常意味著對每個公共因子給出一種意義明確的名稱，它用來反映在預測每個可觀察變量中這個公因子的重要性，這個公因子的重要程度就是在因子模型矩陣中相應于這個因子的系數(shù)，顯

14、然這個因子的系數(shù)絕對值越大越重要，而接近0則表示對可觀察變量沒有什么影響。因子解釋是一種主觀的方法，有時侯，通過旋轉公因子可以減少這種主觀性，也就是要使用非奇異的線性變換。設p維可觀察變量X滿足因子模型X=Af+e。設錯誤！未定義書簽。是任一正交陣，則因子模型可改寫為X=AGG¢f+e=A*f*+e*其中，A=AG，f=G¢f。 *(36.14)根據(jù)我們前面假定：每個公因子的均值為0，即E(f)=0，每個公因子的方差為1，即D(f)=I，各特殊因子之間及特殊因子與公共因子之間都是相互獨立的，即Cov(ei,ej)=0,i¹j及Cov(e,f)=0?？梢宰C明E(f*

15、)=E(G¢f)=G¢E(f)=0D(f*)=D(G¢f)=G¢D(f)G=G¢IG=ICov(e,f*)=Cov(e,G¢f)=G¢Cov(e,f)=0D(X)=D(A*f*+e)=D(A*f*)+D(e)=A*(A*)¢+D (36.15) (36.16) (36.17) (36.18)*因此，X=AA¢+D=A(A)¢+D。這說明，若A和D是一個因子解，任給正交陣錯誤！未定義書簽。，A=AG和D也是因子解。由于正交陣錯誤！未定義書簽。是任給的，所以因子解不是唯一的。在實際工作中，為了使載荷

16、矩陣有更好的實際意義，在求出因子載荷矩陣A后，再右乘一個正交陣G，這樣就變換了因子載荷矩陣，這種方法稱為因子軸的正交旋轉。我們知道，一個所有系數(shù)接近0或±1的旋轉模型矩陣比系數(shù)多數(shù)為0與±1之間的模型容易解釋。因此，大多數(shù)旋轉方法都是試圖最優(yōu)化模型矩陣的函數(shù)。在初始因子提取后，這些公因子是互不相關的。如果這些因子用正交變換（orthogonal transformation）進行旋轉，旋轉后的因子也是不相關的。如果因子用斜交變換（oblique transformation）進行旋轉，則旋轉后的因子變?yōu)橄嚓P的。但斜交旋轉常常產(chǎn)生比正交旋轉更有用的模型。旋轉一組因子并不能改變

17、這些因子的統(tǒng)計解釋能力。如果兩種旋轉模型導出不同的解釋，*7013034.doc這兩種解釋不能認為是矛盾的。倒不如說，是看待相同事物的兩種不同方法。從統(tǒng)計觀點看，不能說一些旋轉比另一些旋轉好。在統(tǒng)計意義上，所有旋轉都是一樣的。因此在不同的旋轉之間進行選擇必須根據(jù)非統(tǒng)計觀點。在多數(shù)應用中，我們選擇最容易解釋的旋轉模型。四、 應注意的幾個問題l 因子分析是主成分分析的推廣，它也是一種降維技術，其目的是用有限個不可觀測的隱變量來解釋原始變量之間的相關關系。l 因子模型在形式上與線性回歸模型很相似，但兩者有著本質的區(qū)別：回歸模型中的自變量是可觀測到的，而因子模型中的各公因子是不可觀測的隱變量。而且，兩

18、個模型的參數(shù)意義很不相同。l 因子載荷矩陣不是唯一的，利用這一點通過因子的旋轉，可以使得旋轉后的因子有更鮮明的實際意義。l 因子載荷矩陣的元素及一些元素組合有很明確的統(tǒng)計意義。l 因子模型中常用的參數(shù)估計方法主要有：主成分法，主因子法和極大似然法。 l 在實際應用中，常從相關矩陣R出發(fā)進行因子模型分析。常用的因子得分估計方法有：巴特萊特因子得分和湯姆森因子得分兩種方法。五、 Factor因子分析過程因子分析用少數(shù)起根本作用、相互獨立、易于解釋通常又是不可觀察的因子來概括和描述數(shù)據(jù)，表達一組相互關聯(lián)的變量。通常情況下，這些相關因素并不能直觀觀測，這類分析通常需用因子分析完成。factor過程一般

19、由下列語句控制：proc factor data=數(shù)據(jù)集 <選項列表> ;priors 公因子方差 ;var 變量表 ;partial 變量表 ;freq 變量 ;weight 變量 ;by 變量 ; run ;1. proc factor語句的<選項列表>。1) 有關輸出數(shù)據(jù)集選項。l out= 輸出數(shù)據(jù)集創(chuàng)建一個輸出數(shù)據(jù)集，包括輸入數(shù)據(jù)集中的全部數(shù)據(jù)和因子得分估計。l outstat= 輸出數(shù)據(jù)集用于存儲因子分析的結果。這個結果中的部分內容可作為進一步因子分析的讀入數(shù)據(jù)集。2) 有關因子提取和公因子方差選項。l method= 因子選擇方法包括principal（主

20、成份法），prinit（迭代主因子法），usl（沒有加權的最小二乘因子法），alpha（a因子法或稱harris法），ml（極大似然法），image（映象協(xié)方差陣的主成份法），pattern（從type=選項的數(shù)據(jù)集中讀入因子模型）、score7013034.doc（從type=選項的數(shù)據(jù)集中讀入得分系數(shù)）。常用方法為principal（主成份法）、ml（極大似然法）和prinit（迭代主因子法）。l heywood公因子方差大于1時令其為1，并允許迭代繼續(xù)執(zhí)行下去。因為公因子方差是相關系數(shù)的平方，我們要求它總是在0和1之間。這是公因子模型的數(shù)學性質決定的。盡管如此，但在最終的公因子方差的迭代

21、估計時有可能超過1。如果公因子方差等于1，這種狀況稱為Heywood狀況，如果公因子方差大于1，這種狀況稱為超-Heywood狀況。在超-Heywood狀況時，因子解是無效的。l priors =公因子方差的計算方法名規(guī)定計算先驗公因子方差估計的方法，即給各變量的公因子方差hi2賦初值，包括one（等于1.0），max (最大絕對相關系數(shù) )，smc（多元相關系數(shù)的平方），asmc (與多元相關系數(shù)的平方成比例，但要適當調整使它們的和等于最大絕對相關)，input （從data=指定的數(shù)據(jù)集中，按type=指定類型讀入第一個觀察中的先驗公因子方差估計），random（0與1之間的隨機數(shù)）。3)

22、 有關規(guī)定因子個數(shù)及收斂準則的選項。l nfactors=n要求保留n個公因子，否則只保留特征值大于1的那些公因子。 l mineigen=p規(guī)定被保留因子的最小特征值。l proportion=p使用先驗公因子方差估計，對被保留的因子規(guī)定所占公共方差比例為這個p值。l converge=p當公因子方差的最大改變小于p時停止迭代。缺省值=0.001。 l maxiter=n規(guī)定迭代的最大數(shù)。缺省值為30。4) 有關旋轉方法的選項。l rotate因子轉軸方式名給出旋轉方法。包括none，varimax，quartimax，equamax，orthomax，hk，promax，procruste

23、s。常用的有varimax（正交的最大方差轉軸法）、orthomax（由gamma=指定權數(shù)的正交方差最大轉軸法）和promax（在正交最大方差轉軸的基礎上進行斜交旋轉）。l normkaiser | raw | weight | cov | none為了對因子模型進行旋轉，規(guī)定模型矩陣中行的正規(guī)化方法。例如，norm=kaiser表示使用Kaiser的正規(guī)化方法。norm=weight表示使用Cureton-Mulaik方法進行加權。norm=cov表示模型矩陣的這些行被重新標度為表示協(xié)方差而不是相關系數(shù)。norm=raw或none表示不進行正規(guī)化。l gamma=p規(guī)定正交方差最大旋轉的權

24、數(shù)。l prerotate因子轉軸方式名規(guī)定預先旋轉的方法。除了promax和procrustes的旋轉方法，任何其他的旋轉方法都可使用。5) 有關控制打印輸出的選項。l simple打印輸出包括簡單統(tǒng)計數(shù)。l corr打印輸出相關陣和偏相關陣。l score打印因子得分模型中的系數(shù)。l scree打印特征值的屏幕圖。l ev打印輸出特征向量。l residuals打印殘差相關陣和有關的偏相關陣。l nplot=n規(guī)定被作圖的因子個數(shù)。l plot在旋轉之后畫因子模型圖。l preplot在旋轉之前畫因子模型圖。l msa打印被所有其余變量控制的每對變量間的偏相關，并抽樣適當?shù)腒aiser度量

25、。7013034.docl reorder在打印輸出時讓各種因子矩陣的這些行重新排序。在第一個因子上具有最大絕對載荷的變量首先被輸出，然后按最大載荷到最小輸出，緊接著在第二個因子上輸出具有最大絕對載荷的變量等等。2. priors語句。為var變量設定公因子方差，值在0.0和1.0之間。其值的設定應與var語句的變量相對應。例如：proc factor；priors 0.7 0.8 0.9； var x y z；其他語句的使用略。六、 Factor score因子得分過程無論是初始因子模型還是旋轉后的因子模型，都是將指標表示為公因子的線性組合。在因子分析中，還可以將公因子表示為指標的線性組合，

26、這樣就可以從指標的觀測值估計各個公因子的值，這種值叫因子得分。它對樣品的分類有實際意義。因子得分可由proc score過程完成。score過程一般由下列語句控制：proc score data=數(shù)據(jù)集 <選項列表> ;var 變量 ; run ;proc score語句選項包括out輸出數(shù)據(jù)集，存儲因子得分結果等。將factor和score兩個過程書寫在同一個程序中，可以提高分析的效率。七、 實例分析例36.1 下表36.1給出的數(shù)據(jù)是在洛杉礬十二個標準大都市居民統(tǒng)計地區(qū)中進行人口調查獲得的。它有五個社會經(jīng)濟變量，它們分別是人口總數(shù)(pop) 、居民的教育程度或中等教育的年數(shù)(s

27、chool )、雇傭人總數(shù)(employ )、各種服務行業(yè)的人數(shù)(services )和中等的房價(house )，試作因子分析。表36.1 五個社會因素調查數(shù)據(jù)7013034.doc1. 建立數(shù)據(jù)文件。程序如下： data socecon;input pop school employ services house;title 'FIVE SOCIO-ECONOMIC VARIABLES'cards;5700 12.8 2500 270 250001000 10.9 600 10 10000 9400 11.4 4000 100 13000; run;程序運行后，生成一個sc

28、oecon數(shù)據(jù)集。2. 調用因子分析factor過程。菜單操作方法，在SAS系統(tǒng)的主菜上，選擇Globals/SAS/Assist 進入Assist的主菜單，再選擇data analysis/multivar/factor analysis(因子分析)。編程方法如下： proc factor data=socecon method=prin priors=one simple corr score;run;proc factor data=socecon method=prin priors=smc msa scree residual preplotrotate=promax reorder

29、 plot outstat=fact_all ;run;proc factor data=socecon method=ml heywood nfacotors=1;run;proc factor data=socecon method=ml heywood nfactors=2;run;proc factor data=socecon method=ml heywood nfactors=3; run;程序說明：共調用了5個factor因子分析過程。第1個過程為主成份因子分析，第2個過程為主因子分析，第3個過程為提取一個因子的最大似然分析，第4個過程為提取二個因子的最大似然分析，第5個過程為

30、提取三個因子的最大似然分析。第1個factor因子分析過程，由于選項method=prin 和priors=one，提取因子的方法采用主成份分析，先驗公因子方差估計被規(guī)定為1。選項simple和 corr要求輸出描述統(tǒng)計量和相關陣。選項score要求輸出因子得分系數(shù)。第2個factor因子分析過程， 由于不是priors=one選項，所以提取因子的方法采用主因子分析，選項method=prin不起作用。選項priors=smc表示先驗公因子方差估計被規(guī)定為每個變量與其他變量的多重相關系數(shù)的平方。選項msa表示控制所有其余變量的偏相關。選項scree表示輸出所有特征值按從大到小排列的斜坡圖，用于

31、選擇因子個數(shù)。選項residual輸出殘差相關陣和有關的偏相關陣，得到特殊因子方差的剩余相關。選項rotate=promax規(guī)定因子模型預先按正交最大方差的旋轉，再在正交最大方差轉軸的基礎上進行斜交的promax旋轉。選項preplot表示繪制因子模型旋轉前的散點圖。選項plot表示繪制因子模型旋轉后的散點圖。選項reorder表示按因子上具有的載荷大小排列。選項outstat=fact_all表示將因子分析的各種結果輸出到fact_all數(shù)據(jù)集中。其他3個最大似然因子分析過程的說明，我們在這里省略。第1和第2個factor因子分7013034.doc析過程運行后，主要的結果見表36.2到表3

32、6.9。表 36.2 均值、標準差及相關矩陣表 36.3 主成份法的輸出結果7013034.doc表 36.4 主因子法的輸出結果表 36.5 主因子法的正交最大方差預旋轉結果7013034.doc表 36.6 主因子法的Promax斜交旋轉結果7013034.doc表 36.7 主因子法的沒有旋轉因子模型圖表 36.8 主因子法的方差最大預旋轉因子模型圖7013034.doc表 36.9 主因子法的Promax斜交旋轉因子模型圖3. 主要結果分析。第1個factor過程輸出見表36.2所示的簡單統(tǒng)計數(shù)（Means and Standard Deviations）和相關系數(shù)（Correlati

33、ons），以及見表36.3所示主成份分析結果。主成份分析的先驗公因子方差估計按指定值為1（缺省值也為1），所以5個變量組成的相關矩陣的特征值之和為5，平均值為1。主成份法求解的結果表明有兩個較大的特征值且都大于1，分別為2.873314和1.796660，能解釋數(shù)據(jù)標準變異的93.4%，因而這兩個主成份能基本概括和解釋整個數(shù)據(jù)的信息。若使用三個主成份（解釋變異的97.7%），則大多數(shù)情況下都能滿足需要。factor過程依據(jù)特征值大于1的原則（確定因子個數(shù)的缺省準則）選擇了前兩個主成份因子。所以含有兩個公因子的初始公因子模型為：pop= 0.58096f10.80642f2school= 0.7

34、6704f10.54476f2employ= 0.67243f10.72605f2services=0.93239f10.10431f2house= 0.79116f10.55818f2第1和第2公因子能解釋的方差分別為2.873314和 1.796660，5個標準化變量的最終公因子方差估計值之和為4.669974=2.873314+1.796660=0.987826+0.885106+0.979306+0.880236 +0.937500。特征值與它的特征向量之間有如下等式，例如，2.873314=0.580962+0.767042+7013034.doc0.672432+0.932392+

35、0.791162。第1主成份因子factor1在5個變量上的因子載荷量皆為正值，其中它與services的相關特別大（0.93239），總體上大小基本相近，可稱為基本社會因子。第2主成份因子factor2在pop（0.80642）和employ（0.72605）上有較大的正載荷量，而在house（-0.55818）和school（-0.54476）上有絕對值較大的負載荷量，在services（-0.10431）上的載荷量非常小。所以，第2主成份因子是反映了地區(qū)的總人口和總雇傭人口與地區(qū)的房價和教育水平的對比值，可稱為人口就業(yè)因子。最終公因子方差表明，所有變量都能由這兩個因子很好他說明，其公因子

36、估計值從services的0.880236到pop的0.987826的范圍內。主成份生成的標準因子得分具有均值為0方差為1。但計算得到的因子得分僅僅是真正因子得分的估計，這些估計具有均值為0，方差等于該因子同這些變量的復相關系數(shù)的平方。所以，每個標準因子得分的系數(shù)計算，可以通過每個因子與所有變量的回歸分析得到的，標準因子得分模型為：f1=0.20219pop0.26695school0.23403employ0.32450services0.27535housef2=0.44884pop0.30320school0.40411employ0.05806services0.31068house第

37、2個factor過程進行主因子分析，規(guī)定每個變量的先驗公因子方差估計使用與其他所有變量復相關系數(shù)的平方（priors=smc）。主因子分析的選項要求計算抽樣適當?shù)腒aiser度量（msa）。如果數(shù)據(jù)適合這個公因子模型，顯然應該在控制所有其余變量的條件下，兩變量之間的相關系數(shù)（此時稱為偏相關系數(shù)）應該比原始的相關系數(shù)小。我們比較表36.4中的兩變量間的偏相關系數(shù)與前面表36.2中兩變量的原始相關系數(shù)，pop和school間的偏相關系數(shù)為-0.54465，它的絕對值比原始相關系數(shù)0.00975大得多，這表明有問題，此外不滿足條件的偏相關還有，pop和house之間、school和employ之間、

38、employ與house之間。msa指標是度量偏相關比原始相關小多少的綜合指標，它既提供了所有變量一起考慮的msa值，又提供了單個變量的msa值，為我們直觀快速判斷因子模型擬合好壞提供了標準。msa的值在0.8以上是好的，msa的值在0.5以下需要采取補救措施，或者刪除一些違法的變量，或者引入與違法變量有關的其他變量。顯然所有變量的msa=0.57536759是很差的，單個變量除了services變量的msa=0.806644很好外，其余都很差甚至不能接受。所以，每個變量作為一個因子或者說每一個因子只包含一個變量的因子模型是不能接受的。共同使用的經(jīng)驗法則是每個因子至少應該包含有三個變量。先驗公

39、因子方差估計smc都很大（接近于1），如pop=0.968592 ，school= 0.822285 ，employ=0.969181，services= 0.785724 ，house=0.847019，而主成份分析的五個變量先驗公因子方差估計都設定為1，因此，主因子分析的因子載荷應該與主成份分析沒有大的差異。約化相關矩陣的特征值之和=0.968592+0.822285+0.969181+0.785724+0.847019=4.39280116，平均值為0.87856023。兩個很大的特征值2.7343和1.7161很明顯地表示，應提取二個公因子。這兩個大的正特征值之和占公共方差4.3928

40、0116的（2.7343+1.7161）/4.39280116=101.31%，它像沒有進行迭代時才可能得到的一樣，非常接近100%。對被保留因子個數(shù)的規(guī)定為，保留因子的特征值之和占公共方差的比例大于proportion=p選項中p值，p的缺省值為100%。主因子分析過程繪制了特征值的（scree）斜坡圖，圖形在這里我們沒有給出。從圖中我們可以看出在第三個特征值處有明顯的彎曲，也就是說從第三個特征值開始變成了在平地上，而不是在斜坡上。從觀察到的斜坡圖上也可證明取二個公因子的結論是正確的。見表36.4中給出的主因子模型，它類似于主成份模型。所有最終公因子方差都很接近于先驗的公因子方差，值得注意的只有house從0.847019增加到0.884950。接近100%的公共方差被解釋了。在對角線上的特殊因子方差剩余相關都很小，且與最終公因子方差之和等于1。例如pop變量的最終公因子方差為0.978113，特殊因子方差為0.02189，兩者之和7013034.doc0.978113+0.02189=1。變量之間的剩余相關也很小，最大值為house與services之間的0.03370。輸出對所有變量