冪級(jí)數(shù)測(cè)試題匯編

1、第十四章幕級(jí)數(shù)工吐2單選題：1設(shè)幕級(jí)數(shù)二的收斂半徑為 R -則下列斷語中正確的是(A ) 一 -在上一致收斂。(B) 在I -二 匕1內(nèi)某些點(diǎn)處非絕對(duì)收斂。* a(C) 二的收斂半徑大于 /。r>0,(D )對(duì)任意的二 ，在一：尸上一致收斂。2。若幕級(jí)數(shù)二. 在/ 處收斂，在-處發(fā)散，則該級(jí)數(shù)(C)收斂區(qū)間為(-，；(D)3 幕級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域是(A)(B)(C)(D)4. 若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為 R,那么(A)tai宜(D) _ 一 ；不一定存在5如果I能展開成 的幕級(jí)數(shù)，那么該幕級(jí)數(shù)(A)是-、丄的麥克勞林級(jí)數(shù)；(B)不一定是"的麥克勞林級(jí)數(shù);更多精品文檔(C) 不是 /W

2、的麥克勞林級(jí)數(shù);(D) 是 /W 在點(diǎn)'處的泰勒級(jí)數(shù)。Inn6.如果，則冪級(jí)數(shù)二(A)當(dāng)(B) 當(dāng)(C) 當(dāng)1_時(shí)，發(fā)散;(D)當(dāng)7.設(shè)級(jí)數(shù)匚在'處是收斂的，則此級(jí)數(shù)在，.-丨處(A)發(fā)散；(C)條件收斂;(B)絕對(duì)收斂；(D)不能確定斂散性。三(-1炸-1)”8幕級(jí)數(shù)匚在其收斂區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處A全是發(fā)散的.B.全是收斂的C.左端點(diǎn)發(fā)散，右端點(diǎn)收斂. D左端點(diǎn)收斂，右端點(diǎn)發(fā)散/(X)= -r 岔9.函數(shù)一；.展開成的幕級(jí)數(shù)的方法是=3+(一 3) 31 *二疽(-1)冷-幼(斗2)111召(工-列"八- 十忑 J5311 g /V-3V丄£(-1)屛'

3、;(一3皿)(0*6)10.幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2,2 (Q (-2? 2)(C) (-2f 2卜 2.2) g 松)答案：1 10 DDBDA ADDDA填空題：1.30)在._x. 內(nèi)收斂，則“應(yīng)滿足乞略(卄12. 設(shè)幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為2,則級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.3級(jí)數(shù)l + X(l-X)+O-X+F(l-Xy+的和函數(shù)為4.設(shè)二域是是- -等差數(shù)列 他0 H則幕級(jí)數(shù)收斂0p M pM-1L%L 叫*5.，-. 與有相同的6. sin x的幕級(jí)數(shù)展開式 7. 幕級(jí)數(shù)只有在 區(qū)間內(nèi)才有和函數(shù).8. 經(jīng)過逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分后幕級(jí)數(shù) 不變.10.級(jí)數(shù)"'/'"-&q

4、uot; 丁 I '"I -在區(qū)間收斂.(0 <a <1).答案：1.6.4. ( -1, 1)5.收斂區(qū)間.r2jy-lA 7.收斂.8.收斂半徑.9.(-00 <x< +00)心1計(jì)算題P 2 N-1A X1. 求幕級(jí)數(shù)一的收斂域及和函數(shù)2. 求幕級(jí)數(shù)I的收斂域及和函數(shù)3. 求幕級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域茁+扣法4將函數(shù)；'-I： ' - - 1展開為：的幕級(jí)數(shù),并指出收斂域5. 求函數(shù)：1 '''在x=1處泰勒展開式.6. 設(shè)幕級(jí)數(shù)二 當(dāng)J時(shí)有_ L -：且r -:-求該幕級(jí)數(shù)的 函數(shù).7. 將展成x的幕級(jí)數(shù).

5、8. 求幕級(jí)數(shù)的和函數(shù).2>+1房9. 試求幕級(jí)數(shù)一一的收斂區(qū)域及和函數(shù)10.設(shè).一一，確定T的連續(xù)區(qū)間，并求積分的值lim答案：1.解因=1,且當(dāng)二二一時(shí)級(jí)數(shù)都發(fā)散，故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1, 1 ),令金二二/嚴(yán)悴1）北）必二L £朋二z曲H-1打（X）二=冷悴1）壯応也嚴(yán)=12.解：收斂半徑+ .,當(dāng)： 二 時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)的收斂域 為（-1, 1 ）.設(shè)其和函數(shù)為- 'f二兀呀+DF = x用J2x（密、:J-孟丿(1 - X)3=x J嚴(yán)陽二1+1+丄3. （ 1 ）解記.，由于=1f 氣,故收斂半徑R=1,收斂區(qū)間為（-1, 1 ）當(dāng)* = 1時(shí),由

6、于陽->00）,故級(jí)數(shù)發(fā)散,所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1, 1 ）.limIQ（2 ）解記因?yàn)? limI嚴(yán)212-KOx<l= 1X > 1所以收斂半徑R=1,收斂域?yàn)?1, 1 .4.解v /(x) = ln(l+a+x1 +x3 +x+) =ln1-?17E)ln (1 - z) = x+ +* + 而'=ln(l-x)I 23ln(l-z5)=-(,x100X +，+ 一 + + .23 n*&尺V -I乞送f花而級(jí)數(shù)二、與二的收斂域都是-1, 1 ,故當(dāng) 上-1時(shí)ln(l+x+a?+? + x4) = ln0-x5) - ln(l - x)十105s5

7、 AA7i + F+ +xa於X + + 十2n2n5.解因門) = 8, f(l)二(2-跆門1)*8+42機(jī)廣34,廣(1) = 42,嚴(yán)旳(論4)J(M = 8+廿(1) +17(兀-1)" + 7(1) x e (_oo,+do).S（R二£曲 %） = 2叫嚴(yán)6.設(shè)和函數(shù)貝U-羽(X)=匕災(zāi)- 產(chǎn)二二也嚴(yán)=二訶=SR-lZn-0即二0, S(0)二坷二4, &(0)二兔二1.rt/ S(X)二一應(yīng)"X解上述關(guān)于、匚的二階微分方程，得117. 解易看出 - f 而劇=zl+H + ）二 x+ -1II 2!II 2!.v . 2x 3x二同+1 也

8、/W = 1+ + = 1+Xrx ' xe（-oa,+m）兩邊求導(dǎo)，得-8. 級(jí)數(shù)的和函數(shù)為跑）仝（一1）叫三） 廠»-1nU弘S-1送(-1)叫嚴(yán)鬼1X（I） _z ir9. 由于級(jí)數(shù)在-L上收斂，所以當(dāng) _ '丨.時(shí)，有航卜 i>+i）八 2x+fxf ©、10. 因?yàn)槟患?jí)數(shù)的收斂域是，所以/W 在：1上的連續(xù)，且可逐項(xiàng)積分。譏庖加)*也證明題：1.設(shè)"丁在y jpw+1M uR內(nèi)收斂，若屯溝+1 也收斂，則2.設(shè)f為冪級(jí)數(shù)在(-R, R )上的和函數(shù)，若f為奇函數(shù),則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)奇次冪 的項(xiàng),若f為偶函數(shù),則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng).3

9、. 設(shè)函J 定沁0,1上，證明它在 (0, 1 )滿足下述方程:/W+/(l-)+ln 朮(1 - M = 了 (1)4.設(shè)；S 雹一丄；嚴(yán)二一證明當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)匚收5.設(shè)幕級(jí)數(shù)V-.的收斂半徑分別為 R“ R】 ，設(shè)斂。證明：當(dāng)0-時(shí)，冪級(jí)數(shù)1 *絕對(duì)收6.設(shè)其中_ 2«-17.設(shè)門-,'八,：三卜-.時(shí)，*二滿足方程2b-1 A2n-ljn = t 2,)曲)=u>。證明：當(dāng)bf 二卩。y aK x茁8.若幕級(jí)數(shù)二 的收斂半徑為 R（0）,且在二 上（或時(shí)收斂，貝y級(jí)數(shù)在0, R（或-R, 0 ）上一致收斂9. 設(shè)函數(shù) /W 在區(qū)間內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界,即存在正數(shù)M,對(duì)

10、一切心訊）,有12,證明:對(duì)（訛）內(nèi)任一點(diǎn)x與対有y = y 10. 證明： 二 滿足方程. 1 - 1.答案:1.證明:因?yàn)楫?dāng)恥血音求收斂,有J；jW( =df = £ 尋嚴(yán),X e (-R, R)'詛sj +1又當(dāng) u尸時(shí)，二 收斂，從而可知 二八 在u尸左連續(xù)，于a-0=y A.+1Zo« + 1T/（"二宓才（WJ?）：（7）二另卜F （忖関2.，.,. - J當(dāng)U為奇函數(shù)時(shí)，有H比川，從而+（T）%口（心2）0加=0 （#12），加二以卜1嚴(yán)悴旳這時(shí)必有當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，有了-了（-力二0（|祇& ：叫-（-1九=0, （»=121

11、-）htr-l - 0（丘-1 2*），此式當(dāng)且僅當(dāng):臨二以'.-1 .3證明：設(shè)則m=/V）- r（i-x）+lin（i-x）-AinxX1-x0=z所以irF（g故】二上：丄-匚 / -1 . 0<x<1.4. 因?yàn)?氣_丄；1-和彳_嶼+勾嚴(yán)_ 2所以-'"-, >."；,limN<2 茲嚴(yán) 心取極限得到 】,從而級(jí)數(shù)匚的收斂半徑j(luò)收斂.5. 對(duì)于任意X <氏，由于XE（-R, E）, XE （-覽，Rj所以，；絕對(duì)收斂。又仏+處* X|+|V所以”丄J絕對(duì)收斂。/ F V4 V5 Ing）十亍亍亍+亍x3x3x*FX - | I. r.2345In(1+力、r = L/35AAX +(1-刃135丿故IfeIWI2n + l2|廠(2旳 +12)lim 蝕二17.由于'J ,，幕級(jí)數(shù)的收斂半徑是1 ,所以當(dāng)-1；時(shí)，:可微,h 釘 f Pm 2»-l Pc 2«+l故=2尙兀+2（«a課-（«- 1加）產(chǎn)if£rW,氣i2«-li p 加竝二甸x+乙軸“=甸兀+乙陽兀=恥）即I .；滿足方程。ix#8.證明：設(shè)級(jí)數(shù)二在二 上時(shí)收斂，對(duì)于匕U-Q.有.-I=-r 2一 >已知級(jí)數(shù)- 收斂,函數(shù)列致