聲波的局域化相變

1、聲波的局域化相變?nèi)~真國立中央大學(xué)物理系 371 物理雙月刊（廿三卷二期）2001年4月一背景在含有多個(gè)物體的介質(zhì)中傳播時(shí)，波會(huì)被物體散射。散射波會(huì)被物體再散射，形成多重散射過程(Multiple Scattering)。自然界里，有許多現(xiàn)象是由波的多重散射引起的。比如，我們?cè)谇缋实囊箍绽锟吹降男切情W爍便是由於來自星球的光波在穿過大氣層，受到大氣層中的氣流擾動(dòng)而發(fā)生散射或繞射，使得光線偏離直達(dá)方向。所以我們看起來，星星看上去象是在閃爍。這一現(xiàn)象稱為Scintillation。人們?cè)栌眠@一原理來研究河流的紊流(Turbulence)的物理性質(zhì)，測(cè)量河流的流速。人們還借此探討用聲吶 (Sounde

2、r) 來估算河流中的魚群的數(shù)量和魚群的遷徙速度。多重聲波散射還是導(dǎo)致海洋表面混響(Reverberation) 及噪聲 (Noise) 的重要機(jī)制。許多微觀的物理現(xiàn)象也是因多重波散射而起的。最顯著的例子之一就是電子波 (Electronic Waves) 的局域化現(xiàn)象。早在1958年，美國物理學(xué)家安得森（P. W. Anderson）首先預(yù)測(cè)，如果在導(dǎo)體內(nèi)加入雜質(zhì)（Impurities），電子在傳導(dǎo)時(shí)會(huì)被這些雜質(zhì)散射，多重散射波則發(fā)生互相干擾，結(jié)果能導(dǎo)致電子的運(yùn)動(dòng)停止，金屬的導(dǎo)電性消失，呈現(xiàn)出絕緣體的性質(zhì)。這一預(yù)測(cè)後來被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。安得森也因此榮獲諾貝爾物理獎(jiǎng)?，F(xiàn)在人們稱此由於摻雜而導(dǎo)致的導(dǎo)電到

3、絕緣的現(xiàn)象為電子波的安得森局域化（Anderson Localization）。簡單來說，這一現(xiàn)象好比是一組列隊(duì)整齊的部隊(duì)從整齊的馬路走上崎嶇不平的路?？梢韵胂瘢谄秸鸟R路上，部隊(duì)的行進(jìn)可威武地保持整齊，一旦到了崎嶇的路上，部隊(duì)的整齊度會(huì)降低。進(jìn)而，如果道路太過坎坷，甚至埋有地雷，部隊(duì)可能就會(huì)停下來。既然電子的安得森局域化是源自電子的波性，人們自然想到，古典波如光波聲波水波等是否也會(huì)有類似的局域化現(xiàn)象。在過去的二十幾年裡，科學(xué)家對(duì)古典波進(jìn)行了大量研究?，F(xiàn)在，安得森局域化（Anderson Localization）或波局域化 (Wave Localization)已成為物理中的一個(gè)重要概念。

4、它指的是，在適當(dāng)條件下，波在隨機(jī)介質(zhì) （Disordered Media 或 Random Media）中傳播會(huì)因散射而停止，因而波會(huì)集中在空間中的某一區(qū)域，直到慢慢地耗散掉 (比如耗散成熱)。局域化發(fā)生時(shí)，如沒有吸收效應(yīng)，波會(huì)永遠(yuǎn)侷限在空間中的一區(qū)域。現(xiàn)在，波局域化概念已成為人們?nèi)粘Ｉ畹慕?jīng)驗(yàn)之一，可在一般的科學(xué)字典中找到（文獻(xiàn)一）。很多實(shí)驗(yàn)小組先後報(bào)導(dǎo)了可能的局域化現(xiàn)象。比如，人們讓光波在摻有半導(dǎo)體粉末的有機(jī)溶劑裡傳播，實(shí)驗(yàn)結(jié)果似乎表明有光波的局域化。但這些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果存有很大的爭議。主要原因是，實(shí)驗(yàn)中並不能完全排除光被介質(zhì)直接有效吸收的效應(yīng) （文獻(xiàn)二）。另外，對(duì)二維系統(tǒng)的波局域化也有很大的

5、爭議。人們普遍認(rèn)為，在二維系統(tǒng)中，只要有雜質(zhì)散射，波就會(huì)被局域化。換句話說，二維介質(zhì)裡，只要有隨機(jī)散射，波總是被局域化的（文獻(xiàn)一）。研究波的局域化的主要困難是要找具有強(qiáng)散射的隨機(jī)介質(zhì)，同時(shí)波被直接吸收掉的效應(yīng)要可忽略不計(jì)。我們率先提出了利用含氣管 (Air-cylinders) 的水為介質(zhì)來研究二維系統(tǒng)的聲波局域化。在理論模擬中，我們把充滿氣體的氣管，如麥當(dāng)勞的飲料吸管，平行且隨機(jī)插入水中，讓聲波垂直投射到這些氣管。通過嚴(yán)格計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)氣管的單位面積上的個(gè)數(shù)夠多，那麼聲波就可局域在這一介質(zhì)裡。與以往認(rèn)知不同的是，我們發(fā)現(xiàn)，在二維隨機(jī)體系中，波並不全是被局域化的。局域化只發(fā)生在某些頻率範(fàn)圍

6、。同時(shí)，我們還發(fā)現(xiàn)了與局域化密切相關(guān)的相有序現(xiàn)象（Phase Ordering）。即當(dāng)波局域化發(fā)生時(shí)，所有的氣管表面呈現(xiàn)出同時(shí)擴(kuò)張或收縮的集體行為（Collective Behavior）。而這一現(xiàn)象可用來刻畫並維一確定波的局域化現(xiàn)象，因?yàn)椴ㄈ缰苯颖晃?，則不會(huì)出現(xiàn)這樣的集體行為。本文旨在對(duì)我們最近在聲波的局域化相變 (Phase Transition in Acoustic Localization) 方面的工作做一介紹。二傳統(tǒng)研究方法傳統(tǒng)上，人們是按下列方式來研究波的局域化。先從波動(dòng)方程出發(fā)，(1)其中 是波矢， 是隨空間隨機(jī)變化的界質(zhì)常數(shù)（Refractive Index）， 是拉氏算子

7、(Laplacian Operator)，定義能量傳播的格林函數(shù) (Greens Function)， (2)其中T表示時(shí)間排序算子(Time Ordering Operator)，表示對(duì)隨機(jī)變化的界質(zhì)常數(shù)系綜平均(Ensemble Average)。一般而言，方程（1）和（2）不易解析求解。但在一些特殊條件下，人們可以得到進(jìn)似的解析解。這可以如下理解。當(dāng)平面波入射到隨機(jī)界質(zhì)時(shí)，開始波來能維持原有的步調(diào) (Phase Pace)，即有協(xié)同性 (Coherence)，稱為協(xié)同波 (Coherent Wave)。隨著在隨機(jī)界質(zhì)中的行進(jìn)，由於隨機(jī)散射，原有的步調(diào)開始亂起來，產(chǎn)生擴(kuò)散波 (Diffus

8、ive Wave)。隨著行程增加，協(xié)同波的成分愈來愈小，而擴(kuò)散波的比重越來越大。如果擴(kuò)散波能變成主要成分，那麼能量傳播就主要以擴(kuò)散波的形式來進(jìn)行。此時(shí)，通過微擾計(jì)算通常的Bethe-Salpeter方程的方法，可得到格林函數(shù)近似滿足的擴(kuò)散方程，（3）其中，是擴(kuò)散係數(shù)。在這一圖像裡，波局域化發(fā)生的條件顯然就是擴(kuò)散係數(shù)變成零：。另一個(gè)直觀的判據(jù)是：。這裡，l 是所謂的協(xié)同波傳播的自由程 (Free Path)，它反比於隨機(jī)介質(zhì)對(duì)波的散射截面 (Scattering Cross Section)。這一判據(jù)的物理含意即：波尚未走完一個(gè)周期便遭散射，步調(diào)就開始亂起來，變成擴(kuò)散波。以往的波局域化研究基本上

9、都是基於上面的擴(kuò)散波圖像。當(dāng)散射效應(yīng)很強(qiáng)，擴(kuò)散波尚未變成主要成分就已發(fā)生局域化了，那麼擴(kuò)散波圖像顯然不再適用。另外，上述推導(dǎo)擴(kuò)散方程是用微擾方法，這是值得討論的。一來，微擾方法是否能有效地計(jì)算強(qiáng)作用（在此指強(qiáng)散射）情況是值得懷疑的。二，波局域化被認(rèn)為是一種相變，而相變是不能由微擾方法算出的。比如，超導(dǎo)態(tài)不能由在正常態(tài)的基礎(chǔ)上作微擾得到，蓋因超導(dǎo)態(tài)的基態(tài)不是正?；鶓B(tài)的微擾展開。因此，尋找對(duì)波局域化更嚴(yán)格的描述便是研究局域化的重要課題之一。三、聲波在含有氣管的水中的相變和局域化根據(jù)對(duì)聲波在含氣泡水（Bubbly Water）中傳播的研究，知道充氣物體在水中是很強(qiáng)的聲散射體 (Strong Acou

10、stic Scatterer)，我們提出了在含氣泡水中研究聲波局域化。進(jìn)而，我們提出在含有氣管的水中研究聲傳播及局域化現(xiàn)象。圖一氣柱的分佈。聲源處於座標(biāo)原點(diǎn)。想像在水中某個(gè)半徑為L的範(fàn)圍內(nèi)，隨機(jī)地平行地插入多個(gè)相同的半徑為氣管，如N個(gè)，形成二維陣列(Two Dimensional Arrays)。把一個(gè)聲音源 (Acoustic Source) 放在陣列中，如圖一所示。聲源輻射的波將受到氣管散射，而由每個(gè)氣管散射的波又會(huì)受到別的氣管再散射。這過程重復(fù)下去，形成多重散射過程 (Multiple Scattering Process)，這類似於凝態(tài)物理中的多體相互作用 (Many-Body Int

11、eraction)。我們發(fā)現(xiàn)，聲波在這種系統(tǒng)中的傳播和多重散射可嚴(yán)格數(shù)值求解，並是一個(gè)很好的研究局域化的系統(tǒng)。考慮某個(gè)氣柱子，比如第i個(gè)。當(dāng)聲波即壓力波到達(dá)其表面時(shí)，由於柱子內(nèi)外的壓力不同，柱子的半徑將隨聲波的變化而變化，產(chǎn)生振動(dòng) (Oscillation)。到達(dá)氣柱的波包括了直接來自聲源的直達(dá)波和來自其它柱子的散射波。在這些波的作用下，描述柱子的半徑變化的運(yùn)動(dòng)方程可簡化為, (4)在此，表示耗散項(xiàng) (Damping Rate)，是氣柱的自然頻率或稱本徵頻率 (Natural Frequency)，m 是柱子的慣性常數(shù)。方程右邊第一項(xiàng)是來自聲源，而第二項(xiàng)是來自其它柱子的散射波。柱子的散射波與柱

12、子的振動(dòng)有關(guān)，來自第i柱子的散射波可寫為(5)其中， c 是聲在水中的相速 (Phase Speed)，B是輻射常數(shù) (Radiation Constant)；B可由在氣泡表面上的邊界條件解出。把方程（5）代入（4），我們將得到N個(gè)關(guān)於圓柱半徑運(yùn)動(dòng)的聯(lián)立方程，並可用數(shù)值方法求解之。在求解過程中，我們把圓柱半徑的振動(dòng)寫為 (6)顯然， 表示該氣管的振福 (Amplitude)， 是相角 (Phase)。針對(duì)相角，我們定義一個(gè)單位向量.(7)我們可把每個(gè)柱子振動(dòng)相角的單位向量劃在x-y平面上，研究這些相角向量(Phase Vectors)的變化。同時(shí)，還可研究柱子振動(dòng)振幅 (Oscillation

13、 Amplitude) 的特性。我們計(jì)算當(dāng)聲源頻率變化時(shí)，每個(gè)氣柱子的相角向量和振動(dòng)振幅的行為。計(jì)算中，物理參數(shù)如下：聲在水和空氣中的相速分別是1480 m/s和330 m/s, 水與氣的比重的比值為1000/1.29。在計(jì)算中，長度單位用柱子的半徑來無量綱化 (Non-Dimension)。在這些參數(shù)下，我們算出（文獻(xiàn)四）。設(shè)單位面積上氣管佔(zhàn)的面積是；顯然，。我們發(fā)現(xiàn)，在這種二維隨機(jī)體系中，波並不總是被局域化的。當(dāng)大於一定值時(shí)，大約是，局域化是可以發(fā)生的。當(dāng)頻率小於或大於一定值時(shí)，局域化不發(fā)生。局域化只發(fā)生在某些頻率範(fàn)圍內(nèi)。我們的結(jié)果呈現(xiàn)在圖二。在此圖中，左邊是表徵所有氣柱的相角向量的相圖

14、(Phase Diagram for Phase Vectors)，右邊是氣柱半徑振動(dòng)振幅的分佈。圖中顯示，在低頻及高頻時(shí)，相角向量的指向沒有規(guī)律，每個(gè)氣柱的相角向量有各自的指向，且指向各異。此時(shí)，氣柱的振幅在空間上的分佈也沒有規(guī)律，並不會(huì)離聲源越近振幅就越大越遠(yuǎn)越小，即沒有局域化。圖二中的上下面的兩個(gè)圖的結(jié)果表明了這些特點(diǎn)。但在一定的頻率範(fàn)圍內(nèi)，相角向量的指向出現(xiàn)次序，所有氣柱的相角向量指向一致 (Phase Ordering)。圖二的中間的圖表示所有的相角向量都指向負(fù)x-方向。指向一致性說明氣柱的振動(dòng)步調(diào)一致。於此同時(shí)，聲源輻射出的能量集中在源附近，這表現(xiàn)在離聲源越近氣柱的振幅就越大越遠(yuǎn)就

15、越圖二左：相角向量圖；右：氣柱振動(dòng)振幅分步圖。小，如圖二中間的圖顯示的那樣。這就是波的局域化現(xiàn)象。在圖二的計(jì)算中，我們?nèi)×?。在這情況下，局域化的範(fàn)圍 (Localization range) 大概是；愈大，局域化範(fàn)圍愈大。以上結(jié)果說明：在二維隨機(jī)體系中，波並不全是被局域化的。局域化只發(fā)生在某些頻率範(fàn)圍。同時(shí)，當(dāng)局域化發(fā)生時(shí)，體系出現(xiàn)相關(guān)的相有序現(xiàn)象（Phase Ordering）。即當(dāng)波局域化發(fā)生時(shí)，所有的氣管表面呈現(xiàn)出同時(shí)擴(kuò)張或收縮的集體行為（Collective Behavior）。相角向量表現(xiàn)出來的行為與磁性材料的磁性可做一比較。低溫時(shí)，熱漲落效應(yīng)小，磁矩間的相互作用使磁矩排向一致即磁有

16、序 (Magnetic Order)，材料呈現(xiàn)出磁性 (Magnetization)。如增加溫度，熱漲落效應(yīng)漸漸加大，這一效應(yīng)會(huì)漸漸破壞磁有序，直至磁性消失。磁性消失時(shí)，磁矩指向的序徹底消失。相較可知，波的局域化相類似於磁有序相，而非局域化相就類似於無磁相。相有序和波局域化的關(guān)係可以如下理解。無論什麼波，波的能流可由 表示。把場量u寫成，能流可改寫成 。當(dāng)是常數(shù)且 時(shí)，能流為零。同時(shí)空間中存有能量，因?yàn)?。這就表明波發(fā)生局域化時(shí)，場的相角會(huì)有某種長程序。這些正是圖二表現(xiàn)的。容易看出，介質(zhì)對(duì)波的吸收效應(yīng)會(huì)影響波的穿透，但不會(huì)導(dǎo)致相角向量的有序現(xiàn)象。那麼，觀測(cè)相有序就會(huì)是區(qū)分局域化和吸收效應(yīng)的一個(gè)重要手段。進(jìn)一步研究還表明（文獻(xiàn)五），本文考慮的系統(tǒng)的局域化還和相應(yīng)的周期排成的氣管陣列的完全頻帶間隙現(xiàn)象 (Complete Frequency Band Gap) 有關(guān)係; 頻帶間隙在晶體物理中的是普遍現(xiàn)象，通常稱為能隙，是能帶理論的重要結(jié)果。局域化和完全頻帶間隙現(xiàn)象都源自波的多重散射。感謝國科會(huì)中央大學(xué)對(duì)本文描述的工作的支持。文獻(xiàn)1. e.g. Oxford Concise Dictionary of Science, Oxford Press, New York (1996).2. F. Scheffold, R. Lenke, R. Tweer, and G.