聲波的局域化相變

1、聲波的局域化相變?nèi)~真國立中央大學(xué)物理系 371 物理雙月刊（廿三卷二期）2001年4月一背景在含有多個物體的介質(zhì)中傳播時，波會被物體散射。散射波會被物體再散射，形成多重散射過程(Multiple Scattering)。自然界里，有許多現(xiàn)象是由波的多重散射引起的。比如，我們在晴朗的夜空里看到的星星閃爍便是由於來自星球的光波在穿過大氣層，受到大氣層中的氣流擾動而發(fā)生散射或繞射，使得光線偏離直達(dá)方向。所以我們看起來，星星看上去象是在閃爍。這一現(xiàn)象稱為Scintillation。人們曾借用這一原理來研究河流的紊流(Turbulence)的物理性質(zhì)，測量河流的流速。人們還借此探討用聲吶 (Sounde

2、r) 來估算河流中的魚群的數(shù)量和魚群的遷徙速度。多重聲波散射還是導(dǎo)致海洋表面混響(Reverberation) 及噪聲 (Noise) 的重要機(jī)制。許多微觀的物理現(xiàn)象也是因多重波散射而起的。最顯著的例子之一就是電子波 (Electronic Waves) 的局域化現(xiàn)象。早在1958年，美國物理學(xué)家安得森（P. W. Anderson）首先預(yù)測，如果在導(dǎo)體內(nèi)加入雜質(zhì)（Impurities），電子在傳導(dǎo)時會被這些雜質(zhì)散射，多重散射波則發(fā)生互相干擾，結(jié)果能導(dǎo)致電子的運(yùn)動停止，金屬的導(dǎo)電性消失，呈現(xiàn)出絕緣體的性質(zhì)。這一預(yù)測後來被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。安得森也因此榮獲諾貝爾物理獎?，F(xiàn)在人們稱此由於摻雜而導(dǎo)致的導(dǎo)電到

3、絕緣的現(xiàn)象為電子波的安得森局域化（Anderson Localization）。簡單來說，這一現(xiàn)象好比是一組列隊(duì)整齊的部隊(duì)從整齊的馬路走上崎嶇不平的路?？梢韵胂瘢谄秸鸟R路上，部隊(duì)的行進(jìn)可威武地保持整齊，一旦到了崎嶇的路上，部隊(duì)的整齊度會降低。進(jìn)而，如果道路太過坎坷，甚至埋有地雷，部隊(duì)可能就會停下來。既然電子的安得森局域化是源自電子的波性，人們自然想到，古典波如光波聲波水波等是否也會有類似的局域化現(xiàn)象。在過去的二十幾年裡，科學(xué)家對古典波進(jìn)行了大量研究?，F(xiàn)在，安得森局域化（Anderson Localization）或波局域化 (Wave Localization)已成為物理中的一個重要概念。

4、它指的是，在適當(dāng)條件下，波在隨機(jī)介質(zhì) （Disordered Media 或 Random Media）中傳播會因散射而停止，因而波會集中在空間中的某一區(qū)域，直到慢慢地耗散掉 (比如耗散成熱)。局域化發(fā)生時，如沒有吸收效應(yīng)，波會永遠(yuǎn)侷限在空間中的一區(qū)域?，F(xiàn)在，波局域化概念已成為人們?nèi)粘Ｉ畹慕?jīng)驗(yàn)之一，可在一般的科學(xué)字典中找到（文獻(xiàn)一）。很多實(shí)驗(yàn)小組先後報導(dǎo)了可能的局域化現(xiàn)象。比如，人們讓光波在摻有半導(dǎo)體粉末的有機(jī)溶劑裡傳播，實(shí)驗(yàn)結(jié)果似乎表明有光波的局域化。但這些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果存有很大的爭議。主要原因是，實(shí)驗(yàn)中並不能完全排除光被介質(zhì)直接有效吸收的效應(yīng) （文獻(xiàn)二）。另外，對二維系統(tǒng)的波局域化也有很大的

5、爭議。人們普遍認(rèn)為，在二維系統(tǒng)中，只要有雜質(zhì)散射，波就會被局域化。換句話說，二維介質(zhì)裡，只要有隨機(jī)散射，波總是被局域化的（文獻(xiàn)一）。研究波的局域化的主要困難是要找具有強(qiáng)散射的隨機(jī)介質(zhì)，同時波被直接吸收掉的效應(yīng)要可忽略不計。我們率先提出了利用含氣管 (Air-cylinders) 的水為介質(zhì)來研究二維系統(tǒng)的聲波局域化。在理論模擬中，我們把充滿氣體的氣管，如麥當(dāng)勞的飲料吸管，平行且隨機(jī)插入水中，讓聲波垂直投射到這些氣管。通過嚴(yán)格計算，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)氣管的單位面積上的個數(shù)夠多，那麼聲波就可局域在這一介質(zhì)裡。與以往認(rèn)知不同的是，我們發(fā)現(xiàn)，在二維隨機(jī)體系中，波並不全是被局域化的。局域化只發(fā)生在某些頻率範(fàn)圍

6、。同時，我們還發(fā)現(xiàn)了與局域化密切相關(guān)的相有序現(xiàn)象（Phase Ordering）。即當(dāng)波局域化發(fā)生時，所有的氣管表面呈現(xiàn)出同時擴(kuò)張或收縮的集體行為（Collective Behavior）。而這一現(xiàn)象可用來刻畫並維一確定波的局域化現(xiàn)象，因?yàn)椴ㄈ缰苯颖晃?，則不會出現(xiàn)這樣的集體行為。本文旨在對我們最近在聲波的局域化相變 (Phase Transition in Acoustic Localization) 方面的工作做一介紹。二傳統(tǒng)研究方法傳統(tǒng)上，人們是按下列方式來研究波的局域化。先從波動方程出發(fā)，(1)其中 是波矢， 是隨空間隨機(jī)變化的界質(zhì)常數(shù)（Refractive Index）， 是拉氏算子

7、(Laplacian Operator)，定義能量傳播的格林函數(shù) (Greens Function)， (2)其中T表示時間排序算子(Time Ordering Operator)，表示對隨機(jī)變化的界質(zhì)常數(shù)系綜平均(Ensemble Average)。一般而言，方程（1）和（2）不易解析求解。但在一些特殊條件下，人們可以得到進(jìn)似的解析解。這可以如下理解。當(dāng)平面波入射到隨機(jī)界質(zhì)時，開始波來能維持原有的步調(diào) (Phase Pace)，即有協(xié)同性 (Coherence)，稱為協(xié)同波 (Coherent Wave)。隨著在隨機(jī)界質(zhì)中的行進(jìn)，由於隨機(jī)散射，原有的步調(diào)開始亂起來，產(chǎn)生擴(kuò)散波 (Diffus

8、ive Wave)。隨著行程增加，協(xié)同波的成分愈來愈小，而擴(kuò)散波的比重越來越大。如果擴(kuò)散波能變成主要成分，那麼能量傳播就主要以擴(kuò)散波的形式來進(jìn)行。此時，通過微擾計算通常的Bethe-Salpeter方程的方法，可得到格林函數(shù)近似滿足的擴(kuò)散方程，（3）其中，是擴(kuò)散係數(shù)。在這一圖像裡，波局域化發(fā)生的條件顯然就是擴(kuò)散係數(shù)變成零：。另一個直觀的判據(jù)是：。這裡，l 是所謂的協(xié)同波傳播的自由程 (Free Path)，它反比於隨機(jī)介質(zhì)對波的散射截面 (Scattering Cross Section)。這一判據(jù)的物理含意即：波尚未走完一個周期便遭散射，步調(diào)就開始亂起來，變成擴(kuò)散波。以往的波局域化研究基本上

9、都是基於上面的擴(kuò)散波圖像。當(dāng)散射效應(yīng)很強(qiáng)，擴(kuò)散波尚未變成主要成分就已發(fā)生局域化了，那麼擴(kuò)散波圖像顯然不再適用。另外，上述推導(dǎo)擴(kuò)散方程是用微擾方法，這是值得討論的。一來，微擾方法是否能有效地計算強(qiáng)作用（在此指強(qiáng)散射）情況是值得懷疑的。二，波局域化被認(rèn)為是一種相變，而相變是不能由微擾方法算出的。比如，超導(dǎo)態(tài)不能由在正常態(tài)的基礎(chǔ)上作微擾得到，蓋因超導(dǎo)態(tài)的基態(tài)不是正?；鶓B(tài)的微擾展開。因此，尋找對波局域化更嚴(yán)格的描述便是研究局域化的重要課題之一。三、聲波在含有氣管的水中的相變和局域化根據(jù)對聲波在含氣泡水（Bubbly Water）中傳播的研究，知道充氣物體在水中是很強(qiáng)的聲散射體 (Strong Acou

10、stic Scatterer)，我們提出了在含氣泡水中研究聲波局域化。進(jìn)而，我們提出在含有氣管的水中研究聲傳播及局域化現(xiàn)象。圖一氣柱的分佈。聲源處於座標(biāo)原點(diǎn)。想像在水中某個半徑為L的範(fàn)圍內(nèi)，隨機(jī)地平行地插入多個相同的半徑為氣管，如N個，形成二維陣列(Two Dimensional Arrays)。把一個聲音源 (Acoustic Source) 放在陣列中，如圖一所示。聲源輻射的波將受到氣管散射，而由每個氣管散射的波又會受到別的氣管再散射。這過程重復(fù)下去，形成多重散射過程 (Multiple Scattering Process)，這類似於凝態(tài)物理中的多體相互作用 (Many-Body Int

11、eraction)。我們發(fā)現(xiàn)，聲波在這種系統(tǒng)中的傳播和多重散射可嚴(yán)格數(shù)值求解，並是一個很好的研究局域化的系統(tǒng)。考慮某個氣柱子，比如第i個。當(dāng)聲波即壓力波到達(dá)其表面時，由於柱子內(nèi)外的壓力不同，柱子的半徑將隨聲波的變化而變化，產(chǎn)生振動 (Oscillation)。到達(dá)氣柱的波包括了直接來自聲源的直達(dá)波和來自其它柱子的散射波。在這些波的作用下，描述柱子的半徑變化的運(yùn)動方程可簡化為, (4)在此，表示耗散項(xiàng) (Damping Rate)，是氣柱的自然頻率或稱本徵頻率 (Natural Frequency)，m 是柱子的慣性常數(shù)。方程右邊第一項(xiàng)是來自聲源，而第二項(xiàng)是來自其它柱子的散射波。柱子的散射波與柱

12、子的振動有關(guān)，來自第i柱子的散射波可寫為(5)其中， c 是聲在水中的相速 (Phase Speed)，B是輻射常數(shù) (Radiation Constant)；B可由在氣泡表面上的邊界條件解出。把方程（5）代入（4），我們將得到N個關(guān)於圓柱半徑運(yùn)動的聯(lián)立方程，並可用數(shù)值方法求解之。在求解過程中，我們把圓柱半徑的振動寫為 (6)顯然， 表示該氣管的振福 (Amplitude)， 是相角 (Phase)。針對相角，我們定義一個單位向量.(7)我們可把每個柱子振動相角的單位向量劃在x-y平面上，研究這些相角向量(Phase Vectors)的變化。同時，還可研究柱子振動振幅 (Oscillation

13、 Amplitude) 的特性。我們計算當(dāng)聲源頻率變化時，每個氣柱子的相角向量和振動振幅的行為。計算中，物理參數(shù)如下：聲在水和空氣中的相速分別是1480 m/s和330 m/s, 水與氣的比重的比值為1000/1.29。在計算中，長度單位用柱子的半徑來無量綱化 (Non-Dimension)。在這些參數(shù)下，我們算出（文獻(xiàn)四）。設(shè)單位面積上氣管佔(zhàn)的面積是；顯然，。我們發(fā)現(xiàn)，在這種二維隨機(jī)體系中，波並不總是被局域化的。當(dāng)大於一定值時，大約是，局域化是可以發(fā)生的。當(dāng)頻率小於或大於一定值時，局域化不發(fā)生。局域化只發(fā)生在某些頻率範(fàn)圍內(nèi)。我們的結(jié)果呈現(xiàn)在圖二。在此圖中，左邊是表徵所有氣柱的相角向量的相圖

14、(Phase Diagram for Phase Vectors)，右邊是氣柱半徑振動振幅的分佈。圖中顯示，在低頻及高頻時，相角向量的指向沒有規(guī)律，每個氣柱的相角向量有各自的指向，且指向各異。此時，氣柱的振幅在空間上的分佈也沒有規(guī)律，並不會離聲源越近振幅就越大越遠(yuǎn)越小，即沒有局域化。圖二中的上下面的兩個圖的結(jié)果表明了這些特點(diǎn)。但在一定的頻率範(fàn)圍內(nèi)，相角向量的指向出現(xiàn)次序，所有氣柱的相角向量指向一致 (Phase Ordering)。圖二的中間的圖表示所有的相角向量都指向負(fù)x-方向。指向一致性說明氣柱的振動步調(diào)一致。於此同時，聲源輻射出的能量集中在源附近，這表現(xiàn)在離聲源越近氣柱的振幅就越大越遠(yuǎn)就

15、越圖二左：相角向量圖；右：氣柱振動振幅分步圖。小，如圖二中間的圖顯示的那樣。這就是波的局域化現(xiàn)象。在圖二的計算中，我們?nèi)×?。在這情況下，局域化的範(fàn)圍 (Localization range) 大概是；愈大，局域化範(fàn)圍愈大。以上結(jié)果說明：在二維隨機(jī)體系中，波並不全是被局域化的。局域化只發(fā)生在某些頻率範(fàn)圍。同時，當(dāng)局域化發(fā)生時，體系出現(xiàn)相關(guān)的相有序現(xiàn)象（Phase Ordering）。即當(dāng)波局域化發(fā)生時，所有的氣管表面呈現(xiàn)出同時擴(kuò)張或收縮的集體行為（Collective Behavior）。相角向量表現(xiàn)出來的行為與磁性材料的磁性可做一比較。低溫時，熱漲落效應(yīng)小，磁矩間的相互作用使磁矩排向一致即磁有

16、序 (Magnetic Order)，材料呈現(xiàn)出磁性 (Magnetization)。如增加溫度，熱漲落效應(yīng)漸漸加大，這一效應(yīng)會漸漸破壞磁有序，直至磁性消失。磁性消失時，磁矩指向的序徹底消失。相較可知，波的局域化相類似於磁有序相，而非局域化相就類似於無磁相。相有序和波局域化的關(guān)係可以如下理解。無論什麼波，波的能流可由 表示。把場量u寫成，能流可改寫成 。當(dāng)是常數(shù)且 時，能流為零。同時空間中存有能量，因?yàn)?。這就表明波發(fā)生局域化時，場的相角會有某種長程序。這些正是圖二表現(xiàn)的。容易看出，介質(zhì)對波的吸收效應(yīng)會影響波的穿透，但不會導(dǎo)致相角向量的有序現(xiàn)象。那麼，觀測相有序就會是區(qū)分局域化和吸收效應(yīng)的一個重要手段。進(jìn)一步研究還表明（文獻(xiàn)五），本文考慮的系統(tǒng)的局域化還和相應(yīng)的周期排成的氣管陣列的完全頻帶間隙現(xiàn)象 (Complete Frequency Band Gap) 有關(guān)係; 頻帶間隙在晶體物理中的是普遍現(xiàn)象，通常稱為能隙，是能帶理論的重要結(jié)果。局域化和完全頻帶間隙現(xiàn)象都源自波的多重散射。感謝國科會中央大學(xué)對本文描述的工作的支持。文獻(xiàn)1. e.g. Oxford Concise Dictionary of Science, Oxford Press, New York (1996).2. F. Scheffold, R. Lenke, R. Tweer, and G.