《線性代數(shù)》知識點歸納整理

1、.線性代數(shù)知識點歸納整理誠毅學生 編01、余子式與代數(shù)余子式 .- 2 -02、主對角線 .- 2 -03、轉置行列式 .- 2 -04、行列式的性質 .- 3 -05、計算行列式 .- 3 -06、矩陣中未寫出的元素 .- 4 -07、幾類特殊的方陣 .- 4 -08、矩陣的運算規(guī)則 .- 4 -09、矩陣多項式 .- 6 -10、對稱矩陣 .- 6 -11、矩陣的分塊 .- 6 -12、矩陣的初等變換 .- 6 -13、矩陣等價 .- 6 -14、初等矩陣 .- 7 -15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣.- 7 -16、逆矩陣 .- 7 -17、充分性與必要性的證明題 .- 8 -18、

2、伴隨矩陣 .- 8 -19、矩陣的標準形： .- 9 -20、矩陣的秩： .- 9 -21、矩陣的秩的一些定理、推論 .-10-22、線性方程組概念 .-10-23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量） .-10-24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念 .-11-25、線性方程組的向量形式 .-12-26、線性相關 與 線性無關 的概念 .-12-27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關.-12-28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關系及其例題. - 12 -29、線性表示 與 線性組合 的概念 .-12-30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的

3、秩這三者的關系其例題 .-12-31、線性相關（無關）與線性表示的3 個定理 .-12-32、最大線性無關組與向量組的秩 .-12-33、線性方程組解的結構 .-13-;.01、余子式與代數(shù)余子式a11a12a13（1）設三階行列式 D a21a22a23，則a31a32a33元素，a22a23a21a23a21a22a11a12a13的余子式分別為： M ，M ， M 1112a31a3313a32a32a33a31a22a23對 M11 的解釋：劃掉第 1 行、第 1 列，剩下的就是一個二階行列式，這個a32a33行列式即元素 a11 的余子式 M11。其他元素的余子式以此類推。元素 a1

4、1， a12 ， a13的代數(shù)余子式分別為： A11( 1) 1 1 M11，A12( 1) 12M12，13( 1) 13M13.對 ij 的解釋（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列）： Aij ( 1) i jMij.AA（N 階行列式以此類推）（2）填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè)P1第1題：04，A31(-1)3+1 04M313030（3）例題：課本P8、課本 P21-27、作業(yè) P1 第 1 題、作業(yè) P1 第 3 題02、主對角線一個 n 階方陣的主對角線，是所有第k 行第 k 列元素的全體， k=1, 2, 3n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對

5、應的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉置行列式即元素 aij 與元素 aji 的位置對調（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列），比如說， a12 與 a21 的位置對調、 a35 與 a53 的位置對調。;.04、行列式的性質詳見課本 P5-8（性質 1.1.1 1.1.7）其中，性質 1.1.7 可以歸納為這個：A ， i k，ai 1 Ak1 ai 2 Ak 2 ainAkn （i 表示第 i 行， k 表示第 k 列）0 ， ik熟練掌握行列式的性質，可以迅速的簡化行列式，方便計算。例題：作業(yè) P1 第 2 題05、計算行列式（1）計算二階行列式a11a1

6、2 ：a21a22a11a12 a11a22 a12 a21 （即，左上角×右下角右上角×左下角）方法（首選）：a22a21方法：a11a12 a A a A a a aa2111111212a21a22112212例題：課本 P14a11a12a13（2）計算三階行列式 a21a 22a 23：a31a32a 33a11a12a13a21a22a23 a11 A11a12 A12a13 A13 a11 ( 1) 11 M11 a12 ( 1) 12 M12 a13 ( 1) 1 3M13a31a32a33N 階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質對行列式進行轉化，

7、0 元素較多時方便計算 .（r 是 row，即行。 c 是 column，即列）例題：課本 P5、課本 P9、課本 P14、作業(yè) P1 第 4 題、作業(yè) P2 第 3 小題（3）n 階上三角行列式（ 0 元素全在左下角）與n 階下三角行列式（ 0 元素全在右上角）：D a11 a22ann （主對角線上元素的乘積）例題：課本 P10、作業(yè) P3 第 4 小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”轉化成上三角行列式例題：課本 P11;.（4）范德蒙行列式： 詳見課本 P12-13（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全為 1 的

8、一行，方便化簡行列式。例題：作業(yè) P2 第 1 小題、作業(yè) P2 第 2 小題06、矩陣中未寫出的元素課本 P48 下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣詳見課本 P30-32（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式（2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0（3）數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同（4）零矩陣：所有元素都為0，記作 O（5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為 0，記作 E 或 En （其行列式的值為1）08、矩陣的運算規(guī)則（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A 的行數(shù)與矩陣 B 的行數(shù)相同；矩陣 A 的列數(shù)與矩陣 B

9、 的列數(shù)也相同）：課本 P32“ AB”、“AB”加法交換律： ABB A加法結合律： A（ B C）（ A B） C （2）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見課本 P34 陰影）：數(shù)與矩陣的乘法：I. 課本 P33“ kA”II. kA kn A （因為 k A 只等于用數(shù) k 乘以矩陣 A 的一行或一列后得到的矩陣的行列式）同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學選修矩陣基礎）：a11a12× b11b12 a11b11a12b21a11b12a12b22a21a22b21b22a21b11a22b21a21b12a22b22;.描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為AB，則CDA 的

10、值為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素， 并將它們相加。即 A a11 × b11 a12 × b21B 的值為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第2 列的每個元素， 并將它們相加。即 B a11 × b12 a12 × b22C的值為：中第 2 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素， 并將它們相加。即 C a21 × b11 a22 × b21D的值為：中第 2 行的每個元素分別乘以中第2 列的每個元素， 并將它們相加。即 D a21 × b12 a22 × b22 .a11a12a13b1

11、1b12b13a11b11a12b21a13b31a11b12a12b22a13b32a21a22a23× b21b22b23a21b11a22b21a23b31a21b12a22b22a23b32a31a32a33b31b32b33a31b11a32b21a33b31a31b12a32b22a33b32a11b13 a21b13 a31b13a12b23 a22b23 a32b23a13b33a23b33a33b33ABC描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為DEF，則GHIA 的值為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素， 并將它們相加。即 A a

12、11 × b11 a12 × b21 a13 × b31B、C、D、E、F、 G、 H、 I 的值的求法與 A 類似。數(shù)乘結合律： k（lA）（ kl）A ，（ kA）B A（ kB） k（ AB）數(shù)乘分配律：（k l）A kAlA ，k（AB） kAkB乘法結合律：（AB） CA（BC）乘法分配律： A（BC） ABAC ，（AB）C AC BC需注意的：I. 課本 P34 例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II. 課本 P34 例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立III. 一般來講，（AB） k A k B k，因為矩陣乘法不滿足交換律IV.課本 P40 習題

13、第 2 題：（A B） 2 不一定等于 A2 2ABB2 ，（AB）2 不一定等于 A2 2ABB2，（AB）（AB）不一定等于 A2 B2 . 當 AB BA 時，以上三個等式均成立（3）矩陣的轉置運算規(guī)律： (AT )TA (A±B)TA T±B T;. (kA)TkAT (AB)TB TAT (ABC)TCTB TAT (ABCD)TDTCTB TAT（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本 P46）ABA B（5）例題：課本 P35、課本 P36-37、課本 P40 第 4 大題、課本 P40 第 5 大題、課本 P51 第 1 大

14、題、課本 P51 第 4 大題、課本 P60 第 4 大題、作業(yè) P5 全部、作業(yè) P5 第 3 大題、作業(yè)P5第 4大題09、矩陣多項式詳見課本 P 3610、對稱矩陣（1）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本 P37）（2）同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣數(shù) 與 對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣11、矩陣的分塊線代老師說這部分的內容做了解即可。詳見課本 P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本 P 42例題：作業(yè) P6 全部13、矩陣等價若矩陣 A 經(jīng)過若干次初等變換后變

15、成矩陣B，則稱矩陣 A 與矩陣 B 等價，記為 AB;.14、初等矩陣（1）是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本 P48-49（2）設 A 為 m×n 矩陣，則對 A 施行一次初等行變換相當于在A 的左邊乘上一個相應的m 階初等矩陣； A 施行一次初等列變換相當于在A 的右邊乘上一個相應的n 階初等矩陣 .詳見課本 P50-51（3）課本 P51 第 3 大題15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣（1）對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或對換列）化為行階梯型矩陣（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺

16、階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題： 課本 P45、作業(yè) P6 全部、課本 P51 第 2 大題16、逆矩陣（1）設 A 為 n 階方陣，如果存在n 階方陣 B，使得 AB BA E，則稱方陣 A 是可逆的，并稱 B 為 A 的逆矩陣 .（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2）如果方陣 A 可逆，則 A 的逆矩陣是唯一的，并將A 的逆矩陣記作 A1，AA 1

17、E1A*AA（3）n 階方陣 A 可逆的充要條件為 A 0，并且，當A 可逆時，（證明詳見課本 P54）例題：課本 P59 第 1 大題（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）（5）性質：設 A，B 都是 n 階的可逆方陣，常數(shù)k0，那么 (A1) 1A AT 也可逆，并且 (AT )-1(A-1)T;.(kA)-1 1 A-1 kA 也可逆，并且k AB 也可逆，并且(AB)-1-1-1BA AB 不一定可逆，而且即使A B 可逆，一般 (AB)-1A-1B-1-1-1-1A-1 1 E11AAAEAAAA例題：課本P58 例 2.3.7、作業(yè) P7 第 1 題（6）分塊對角矩陣的

18、可逆性：課本 P57（7）由方陣等式求逆矩陣：課本 P58 例 2.3.6（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=10 可逆，所以初等矩陣可逆）（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣 A 可逆的充要條件是： A 可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本 P67）（12）利用初等行變換求逆矩陣：A | E初等行變換E |-1（例題：課本、課本）AP68P71（13）形如 AXB 的矩陣方程，當方陣 A 可逆時，有 A-1

19、AXA-1B，即 XA-1B.此時有： A |B初等行變換E | X矩陣方程的 例題：課本 P35、課本 P69、課本 P41 第 6 大題、課本 P56、課本 P58、課本 P59 第 3 大題、課本P60 第 5 大題、課本 P60第 7 大題、課本P71第 3大題矩陣方程計算中易犯的錯誤： 課本 P56“注意不能寫成 ”17、充分性與必要性的證明題（1）必要性：由結論推出條件（2）充分性：由條件推出結論例題：課本 P41 第 8 大題、作業(yè) P5 第 5 大題18、伴隨矩陣（1）定義： 課本 P52 定義 2.3.2*（2）設 A 為 n 階方陣（ n2），則 AA A A A En （

20、證明詳見課本 P53-54）;. A* A A1 (kA)* kA · (kA)-1 k n A ·1 A-1 k n 1 · A A-1 k n-1A* （k0）kk |A*| | AA1| A n· | A1 | A n·1 （因為存在 A1 ，所以 A 0 ） A n-1A (A* ( AA1)* | AA1· 1) 1 A n 1|·1 1) 1)| (AA| A(AA A n 1 · 1A 1 E，所以 11 1）A n-2 A （因為 AAA 的逆矩陣是 A，即 (A )A A (AB) * B* A*

21、(A*)-1(A-1) * AA（4）例題： 課本 P53、課本 P55 、課本 P58、課本 P60 第 6 大題、作業(yè) P7 第 2 題、作業(yè) P8 全部19、矩陣的標準形：（1）定義： 課本 P61-62（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形20、矩陣的秩：（1）定義： 課本 P63（2）性質：設 A 是 m×n 的矩陣， B 是 p×q 的矩陣，則 若 k 是非零數(shù)，則 R (kA)R (A) R (A)R (AT ) 等價矩陣有相同的秩，即若AB，則 R (A)R (B) 0R (Am× n) min m , n R (AB)min R

22、 ( A) , R(B) 設 A 與 B 都是 m× n 矩陣，則 R (AB) R (A) R (B)（3）n 階方陣 A 可逆的充要條件是： A 的秩等于其階數(shù)，即R (A)n（4）方陣 A 可逆的充要條件是： A 可以表示為若干個初等矩陣的乘積。 （證明： P67）（5）設 A 是 m×n 矩陣，P、Q 分別是 m 階與 n 階可逆方陣，則 R (A) R (PA)R (AQ)R (PAQ);.（6）例題：課本 P64、課本 P66、課本 P71、作業(yè) P7 第 3 題、作業(yè) P9 全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說這部分的內容做了解即可。詳見課本 P702

23、2、線性方程組概念線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）（1）定義： 課本 P81（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本 P81（3）系數(shù)矩陣 A、增廣矩陣 A 、矩陣式方程： 課本 P82（4）矛盾方程組（方程組無解） ：課本 P85 例題（5）增廣矩陣的最簡階梯形：課本 P87（6）系數(shù)矩陣的最簡階梯形：課本 P87（7）課本 P87 下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方便敘述，在解方程組時不用交換列。（8）克萊姆法則：初步認知：a11 x1 a

24、12 x2 a13 x3 b1a11a12a13已知三元線性方程組a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ，其系數(shù)行列式D a21a22a23 .a31 x1 a 32 x2 a33 x3 b3a31a32a33當 D0 時，其解為： x1D 1D 2，x3D 3，x2D.DDb1a12a13a11b1a13a11a12b1（其中 D1 b2a22a23 ，D2 a 21b2a23 ，D3 a21a22b2）（Dn 以此類推）b3a32a33a31b3a33a31a32b3定義： 課本 P15使用的兩個前提條件： 課本 P18例題： 課本 P3、課本 P16-17、課本 P18、作業(yè)

25、P3 第 7 題（9）解非齊次線性方程組 （方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：;.課本 P26、課本 P42、課本 P82、課本 P84、課本 P85、課本 P86 第 1 大題、課本 P88、課本 P91、作業(yè) P10 第 1 題（10）解齊次線性方程組例題： 課本 P17、課本 P18、課本 P85、課本 P86、課本 P90、課本P91、作業(yè) P1 第 5 題、作業(yè) P10 第 2 題（11）n 元非齊次線性方程組AXb 的解的情況：（R (A) 不可能R ( A )）R(A) R(A )無解 n有無窮多個解R(A) R(A )有解 n有唯一解特別地，當 A 是

26、A 0有唯一解n 階方陣時，可R (A) R ( A )無解由行列式來判斷R(A) R(A )有解當 A0有無窮多個解例題：課本 P86 第 2 大題、課本 P88、課本 P92、作業(yè) P11 第三題（12）n 元齊次線性方程組AX O 的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）R (A) n只有零解（有唯一解，為0）R (A) n有非零解（有無窮多個解）特別地，當 A 是 n 階方陣A 0只有零解（有唯一解，為0）時，可由行列式來判斷A 0有非零解（有無窮多個解）例題：課本 P24、課本 P90-91、作業(yè) P11 全部24、行向

27、量、列向量、零向量、負向量的概念詳見課本 P92-93將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩陣中用。（行列式的性質包括行與列的變換）;.手寫零向量時不必加箭頭。25、線性方程組的向量形式詳見課本 P9326、線性相關 與 線性無關 的概念詳見課本 P93-94例題：課本 P101 第 6 大題 、作業(yè) P14 第五大題27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關線代老師課上提到的結論。28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關系及其例題詳見課本 P94 定理 3

28、.3.1、定理 3.3.2例題：課本 P94-95 例 3.3.2、課本 P101 第 3 大題、課22 本 P101 第 5 大題、作業(yè) P12 第 3小題、作業(yè) P12 第二大題、作業(yè)P13 第三大題、作業(yè)P13 第四大題29、線性表示 與 線性組合 的概念詳見課本 P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關系其例題詳見課本 P95-96 定理 3.3.3例題：課本 P95-96 例 3.3.431、線性相關（無關）與線性表示的 3 個定理詳見課本 P96 定理 3.3.4、課本 P97 定理 3.3.5、課本 P98 定理 3.3.632、最大線性無關組與向量組的秩詳

29、見課本 P98-100 定義 3.3.5、定義 3.3.6、定 3.3.7單位列向量，即“只有一個元素為1，且其余元素都為0”的一列向量 （求最大線性無關組用）;.例題：課本 P100 例 3.3.5、課本 P101 第 4 大題、作業(yè) P14 第六大題33、線性方程組解的結構看此內容之前，最好先復習下“n 元非齊次線性方程組AXb 的解的情況”與“ n 元齊次線性方程組 AXO 的解的情況”。（1）n 元齊次線性方程組 AXO 解的結構 定理 3.4.1：詳見課本 P101-102 定義 3.4.1（并理解“基礎解系、通解、結構式通解、向量式通解”）：詳見課本 P102 定理 3.4.2：詳

30、見課本 P102 解題步驟（“注”為補充說明）（以課本 P104 例 3.4.1 為例）：10274（I）A 011310000000000注：往“行最簡形矩陣”方向轉化（因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法真正轉化成行最簡形矩陣，所以說“往 方向轉化”）。（ II ）得到同解方程組x1 2x37x44x5x2 x3 3x4x5x12x37 x44x5 0注：由x2x33x4x5 0得到同解方程組274131（ III ） 此方程組的一組解向量為：1 1，2 0，3 0010001注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1 有的是 0，一看便知x1 2x37x44x5x2x33x4x5x3 x3x4x4x5x5;.（ IV ）顯然1 ，2 ，3 線性無關。注：根據(jù) 課本 P93-94 定義 3.3.3 得