《選修4-2矩陣與變換》教案解析

1、人教 A 版選修4-2 矩陣與變換教案第一講二階矩陣、二階矩陣與平面向量的乘法、二階矩陣與線性變換一、二階矩陣1. 矩陣的概念(2, 3)，將的坐標(biāo)排成一列，并簡(jiǎn)記為2OPyOP3P( 2, 3)32233O2x某電視臺(tái)舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成績(jī)?nèi)缦拢撼踬悘?fù)賽809090甲808688乙86882x3 ymz1,3x2 y4z2概念一：280 90象3 86 88表示，橫排叫做矩陣的名稱(chēng)介紹：23m23m324簡(jiǎn)記為24323m的矩形數(shù)字 （或字母） 陣列稱(chēng)為 矩陣 . 通常用大寫(xiě)的拉丁字母A、B、C3 2 4行 , 豎排叫做矩陣的 列 .上述三個(gè)矩陣分別是2× 1 矩

2、陣， 2× 2 矩陣（二階矩陣） ，2× 3 矩陣，注意 行的個(gè)數(shù)在前。矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)相等，對(duì)應(yīng)的元素也相等的兩個(gè)矩陣，稱(chēng)為A B。行矩陣： a 11,a 12 （僅有一行）a11列矩陣：（僅有一列）a21向量 a （ x,y ），平面上的點(diǎn)P（ x,y ）都可以看成行矩陣 x, y 或列矩陣x，在本書(shū)中 規(guī)定 所有的平y(tǒng)x的形式。面向量均寫(xiě)成列向量y練習(xí) 1：x31y1.已知 A, Bz，若 A=B ，試求 x, y, z4222xmnxy2.設(shè)A3， Bymny2x概念二：，若 A=B，求 x,y,m,n的值。由 4 個(gè)數(shù) a,b,c,d 排成的正方形數(shù)表ab稱(chēng)為

3、矩陣的元素。c稱(chēng)為二階矩陣。 a,b,c,dd零矩陣：所有元素均為000，即，記為 0。00第1頁(yè)共15頁(yè)二階單位矩陣：100，記為 E2.1二、二階矩陣與平面向量的乘法abxaxby定義： 規(guī)定二階矩陣A=d，與向量的乘積為 Acx，cydy即 Aabxaxbydycxdyc練習(xí) 2：1231.（ 1）0 1 11 2 1（ 2）01310x=1x2.2y，求11y三、二階矩陣與線性變換1.旋轉(zhuǎn)變換180o 得到 P (x ,y ), 稱(chēng) P為 P 在此旋轉(zhuǎn)變換作用下的象。問(wèn)題 1: P（ x,y ）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)其結(jié)果為x'x ，也可以表示為x'x 0 y ，即x'

4、;10 xx怎么算出來(lái)的？y'yy'0 x yy'01 yy問(wèn)題 2. P（ x,y ）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o 得到 P (x ,y ),試完成以下任務(wù)寫(xiě)出象P ； 寫(xiě)出這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的方程組形式；寫(xiě)出矩陣形式.問(wèn)題 3. 把問(wèn)題 2 中的旋轉(zhuǎn)30o 改為旋轉(zhuǎn)角，其結(jié)果又如何？30o2. 反射變換定義：把平面上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P的線性變換叫做 關(guān)于直線 l 的反射。研究： P（ x,y ）關(guān)于 x 軸的反射變換下的象P (x ,y ) 的坐標(biāo)公式與二階矩陣。3. 伸縮變換定義：將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k1 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k2 倍，（ k1

5、、 k2 均不為 0），這樣的幾何變換為 伸縮變換 。試分別研究以下問(wèn)題： . 將平面內(nèi)每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2 倍，橫坐標(biāo)不變的伸縮變換 的坐標(biāo)公式與二階矩陣 . . 將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k1 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k2 倍的 伸縮變換 的坐標(biāo)公式與二階矩陣 .4. 投影變換定義：將平面上每個(gè)點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)到它在直線 l 上的投影 P （即垂足），這個(gè)變換稱(chēng)為關(guān)于直線l 的投影變換。研究： P（ x,y ）在 x 軸上的（正）投影變換的的坐標(biāo)公式與二階矩陣。5. 切變變換定義：將每一點(diǎn)P（ x,y ）沿著與 x 軸平行的方向平移 ky 個(gè)單位，稱(chēng)為平行于x 軸的 切變變換。 將每一點(diǎn)P（

6、x,y ）沿著與y 軸平行的方向平移kx 個(gè)單位，稱(chēng)為平行于y 軸的切變變換。研究：這兩個(gè)變換的坐標(biāo)公式和二階矩陣。第2頁(yè)共15頁(yè)練習(xí)： P10 1.2.3.4四、簡(jiǎn)單應(yīng)用1 01. 設(shè)矩陣 A=，求點(diǎn) P(2,2) 在 A 所對(duì)應(yīng)的線性變換下的象。01練習(xí)： P13 1.2.3.4.5【第一講 . 作業(yè)】1. 關(guān)于 x 軸的反射變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣是2. 在直角坐標(biāo)系下，將每個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120o 的旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣是3. 如果一種旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為二階單位矩陣，則該旋轉(zhuǎn)變換是4. 平面內(nèi)的一種線性變換使拋物線yx2 的焦點(diǎn)變?yōu)橹本€y=x 上的點(diǎn)，則該線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣可以是

7、5. 平面上一點(diǎn)A 先作關(guān)于 x 軸的反射變換，得到點(diǎn)o，若存在A , 在把 A 繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180 ，得到點(diǎn) A112一種反射變換同樣可以使A變?yōu)?A2，則該反射變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣是6.P （ 1， 2）經(jīng)過(guò)平行于y 軸的切變變換后變?yōu)辄c(diǎn)P1(1,-5)，則該切變變換對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)公式為1x， Bzx2，且 A=B. 則 x7. 設(shè)A1yx2422x8. 在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于直線y=-x 的正投影變換對(duì)應(yīng)的矩陣為9. 在矩陣 A12對(duì)應(yīng)的線性變換作用下，點(diǎn)P(2,1)的像的坐標(biāo)為2110. 已知點(diǎn) A（ 2， 1）， B（ 2， 3），則向量 AB 在矩陣112對(duì)應(yīng)的線性變換下得到的向

8、量坐標(biāo)為0211. 向量 a 在矩陣 A12的作用下變?yōu)榕c向量1平行的單位向量，則 a 011511312. 已知 A2， a ， b a b ，ab ，求 A ， A32，設(shè)；4413. 已知 A10， a 1， b x，若 A a 與 A b 的夾角為135o，求 x.121114. 一種線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為解釋該線性變換的幾何意義。10。若點(diǎn) A 在該線性變換作用下的像為（5， 5）, 求電 A 的坐標(biāo)；1 010。求點(diǎn) A（ 1/5,3 ）在該變換作用下的15. 在平面直角坐標(biāo)系中，一種線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為102像；圓 x2y21上任意一點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在該變換作用下的

9、像。第3頁(yè)共15頁(yè)10130a1 0x'x22R360o 4.答案： 1.12.313.05.6.y'7.1 8.0a0 12x y221122719229.（0，5）10. （2， 8） 11.2，212.、112218422221xo513. 2/3 14.(5,y) 15.,yo322第二講線性變換的性質(zhì)·復(fù)合變換與二階矩陣的乘法一、 數(shù)乘平面向量與平面向量的加法運(yùn)算1.數(shù)乘平面向量 ：設(shè)xx，是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，則yy2.平面向量的加法： 設(shè)x1，x2，則x1x2y1y2y1y2性質(zhì) 1,是平面上的任意兩個(gè)向量，是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，則數(shù)乘結(jié)合律 ：設(shè) A 是一個(gè)二階矩

10、陣，A( )A ；分配律： A() AA【探究 1】對(duì)以上的性質(zhì)進(jìn)行證明，并且說(shuō)明其幾何意義。二、 直線在線性變換下的圖形研究 ykxb 分別在以下變換下的像所形成的圖形。1 0伸縮變換：0231旋轉(zhuǎn)變換：221 32 21 2切變變換：0 1特別地：直線x=a 關(guān)于 x 軸的投影變換？性質(zhì) 2：二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換（線性變換）把平面上的直線變成.（證明見(jiàn)課本P19）三、平面圖形在線性變換下的像所形成的圖形分別研究單位正方形區(qū)域在線性變換下的像所形成的圖形。恒等變換：旋轉(zhuǎn)變換：1 00 1cossinsincos第4頁(yè)共15頁(yè)切變變換：反射變換：投影變換：【練習(xí)： P27】【應(yīng)用】1 k0 11

11、 00 11 00 022試研究函數(shù) y122作用下得到的新曲線的方程。在旋轉(zhuǎn)變換x2222四、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法x31121.研究任意向量R30o ：22y先在旋轉(zhuǎn)變換13作用，再經(jīng)過(guò)切變變換：作用的向量0122x'y'2.二階矩陣的乘積定義：設(shè)矩陣 A a1b1， B a2b2 ，則 A 與 B 的乘積 AB a1 b1a2b2 c1 d1c2 d2c1 d1c2 d2【應(yīng)用】1- 1101.計(jì)算 2121cos- s i ncos- s i n2.A co s， Bc o ssinsin，求 AB110123.求在經(jīng)過(guò)切變變換： A=，及切變變換： B=兩次變換后的

12、像。321011001R90o ，求向量4.設(shè)壓縮變換：A 2，旋轉(zhuǎn)變換R90o ： B，將兩個(gè)變換進(jìn)行復(fù)合01102x在復(fù)合變換下的像；求在復(fù)合變換下的像；在復(fù)合變換下單位正方形變成什么圖3y形？第5頁(yè)共15頁(yè)x2y20.5031125. 試研究橢圓旋轉(zhuǎn)變換：22；切變變換：31伸縮變換：01130；41221010反射變換：1；投影變換：五種變換作用下的新曲線方程。000進(jìn)一步研究在，等變換下的新曲線方程?！揪毩?xí)： P35】【第二講 . 作業(yè)】 A.B.C.D.1. 下列線性變換中不會(huì)使正方形變?yōu)槠渌麍D形的是（）A. 反射變換B. 投影變換C. 切變變換D. 伸縮變換2.10在切變變換：2

13、作用下，直線 y=2x-1變?yōu)?3.在 A0.51作用下，直線 l 變?yōu)?y=-2x-3,則直線 l為2110對(duì)應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓x2y2變?yōu)?. 在102145. 已知平面內(nèi)矩形區(qū)域?yàn)閤1i x212則j （ 0x 1,0x 2）, 若一個(gè)線性變換將該矩形變?yōu)檎叫螀^(qū)域，該線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為x2y21繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后得到新的橢圓方程為6.將橢圓3410對(duì)應(yīng)的線性邊變換作用下，圓(x+1) 2+(y+1) 2=1 變?yōu)?.在018.計(jì)算：131124042 1101 111102111119. 向量1經(jīng)過(guò)11100和1兩次變換后得到的向量為21110.向量3 先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o

14、，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 15o 得到的向量為111.函數(shù) ysin(x) 的圖像經(jīng)過(guò)201001的伸縮變換，和0的反射變換后的函數(shù)是3112.x2y21先后經(jīng)過(guò)反射變換0110橢圓431和伸縮變換0后得到的曲線方程為00.513.已知2 11211，且1，求矩陣。0第6頁(yè)共15頁(yè)100.5010x2y21變換后的方程，14.分別求出在、01、0對(duì)應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓2004并作出圖形。15.函數(shù) y1x2y21？寫(xiě)出相應(yīng)的矩陣。先后經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到4x4答案： 1.2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x106.222xy2407.y=x （ 2x 0）5.17 x7 y028.1 1

15、311、21310.111. ysin( x)218、1019.3052312. x2y211 2 x 2) 、 x2y 2113.14.y=-2x( 2 x 2) 、 y=0(1 15.1030221122202221122第三講矩陣乘法的性質(zhì)·逆變換、逆矩陣一、 矩陣乘法的性質(zhì)0111011. 設(shè)，2，1由 A、 B、 C研究矩陣是否滿足，結(jié)合律；交換律；1130消去律。結(jié)論 ：2. 由結(jié)合律研究矩陣的乘方運(yùn)算。3. 單位矩陣的性質(zhì)【應(yīng)用】1. 設(shè) 0 1 ，求81 12. 【練習(xí)： P41】二、 逆變換與逆矩陣1.逆變換： 設(shè)是一個(gè)線性變換，如果存在一個(gè)線性變換，使得 I ，（

16、 I 是恒等變換）則稱(chēng)變換可逆 ，其中是的逆變換。2.逆矩陣：設(shè)是一個(gè)二階矩陣，如果存在二階矩陣，使得BA=AB=E 2,則稱(chēng) 矩陣可逆 ，其中為的逆矩陣。1符號(hào)、記法：A，讀作的逆。1.試尋找 30o 的逆變換?！緫?yīng)用】31A 1 。1. A，問(wèn) A 是否可逆？若可逆，求其逆矩陣4221A 1 。2.A ，問(wèn) A 是否可逆？若可逆，求其逆矩陣42ab由以上兩題，總結(jié)一般矩陣A可逆的必要條件。cd第7頁(yè)共15頁(yè)三、逆矩陣的性質(zhì)1.二階矩陣可逆的唯一性。2.設(shè)二階矩陣A 、B 均可逆，則 AB 也可逆，且 ( AB) 1B 1A1【練習(xí)： P50】【第三講 . 作業(yè)】1.已知非零二階矩陣A、 B

17、、C，下列結(jié)論正確的是（）A.AB=BA B.(AB)C=A(BC)C.若 AC=BC則 A=BD. 若 CA=CB則 A=B2.下列變換不存在逆變換的是（）A. 沿 x 軸方向，向 y 軸作投影變換。B. R60o 變換。C. 橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增加橫坐標(biāo)的兩倍的切變變換。D.以 y 軸為反射變換3.下列矩陣不存在逆矩陣的是（）A.01B.0.50C.011010011D.1 004.設(shè) A,B 可逆，下列式子不正確的是（）A. (AB) 1A1B1B.(AB) 1B1A1C.(A1) 1AD.(A2) 1(A 1)25.N01，則 2106.1 0101 1011 1020 1117.12

18、23460312248.設(shè) A10021經(jīng)過(guò)先再 A2， B1則向量經(jīng)過(guò)先再的變換后的向量為101的變換后的向量為9. 關(guān)于 x 軸的反射變換對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣是10. 變換將（ 3， 2）變成（ 1，0），設(shè)的逆變換為 1，則 1 將（ 1， 0）變成點(diǎn)11.矩陣01的逆矩陣為1112.設(shè)：x'11x，點(diǎn)（ 2， 3）在 1 的作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)為y'01y111313.A 22，則A1=0131221 11014. ABC的頂點(diǎn) A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果將三角形先后經(jīng)過(guò)和兩次變換變成 ABC ,0 111求 ABC的面積。132015.已知 A22， B，

19、求圓 x2y21在 ( AB)1變換作用下的圖形。310122第8頁(yè)共15頁(yè)16. 已知 A21A2, A3, A4,An0，試分別計(jì)算：2答案： 1.B 2.A3.D 4.A 5.1012248.229.1006.37.06、3011411111310. （ 3， 2）12. （ 1，3）2214.115.2y211.013.4x1131322448121632、 An2nn2n116. A2、 A3A4040、016802n第四講二階行列式與逆矩陣·逆矩陣與二元一次方程組一 . 二階行列式與逆矩陣【概念】abbc0.如果矩陣 A是可逆的，則 adcd其中 abababbc ， a

20、dabcd 稱(chēng)為 二階行列式 ，記作，即 adbc 也稱(chēng)為行列式的展開(kāi)式。cdcdcd符號(hào)記為： detA或 |A|【可逆矩陣的充要條件】abdetA= ad bc0. 此時(shí)定理：二階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)cddbA1det A det A（請(qǐng)同學(xué)一起證明此定理）c adet A det A【應(yīng)用】1. 計(jì)算二階行列式：312223412. 判斷下列二階矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣。01 A1 01 1 B0 0【練習(xí)： P55】二、 二元一次方程組的矩陣形式1. 二元一次方程組的矩陣形式axbye一般的，方程組可寫(xiě)成矩陣形式為：cxdyf2. 二元一次方程組的線性變換意義設(shè)變換abx、ea

21、xbyexe：d，向量，則方程組cxdy，意即：ycyfff三、逆矩陣與二元一次方程組第9頁(yè)共15頁(yè)3 x1 y31. 研究方程組：22的矩陣形式與逆矩陣的關(guān)系。1 x3y122【定理】 如果關(guān)于 x,yaxbyeab的二元一次方程組cxdy的系數(shù)矩陣 Ac是可逆的，則該方程組有fdxab1唯一解：ecdfy【推論】 關(guān)于 x,yaxby0ab的二元一次方程組dy（ a,b,c,d,均不為 0），有非零解 0cx0cd【應(yīng)用】1.用逆矩陣解二元一次方程組【思考】課本60 頁(yè)思考3xy24 x2y0axbyeabcxdy的系數(shù)矩陣 Ac不可逆，方程組的解如何？fd【練習(xí)： P61】【應(yīng)用】1.

22、為何值時(shí)，二元一次方程組三、三階矩陣與三階行列式1. 三階矩陣的形式2. 三階行列式的運(yùn)算【第四講 . 作業(yè)】abxxcd有非零解？yy3 11. 矩陣 A，則 |A|=4 22. 矩陣 A x2 1 ，若 A 是不可逆的，則 x=1053.12的逆矩陣為3410， B12，則 (AB) 14.A 10133x，3A 5.A 2，若 A不可逆，則116.若關(guān)于 x,y 的二元一次方程組3xmy0有非零解，則m4x11y07.設(shè)二元一次方程組2mxxm所有值的集合為24沒(méi)有非零解，則yy8.向量在旋轉(zhuǎn)變換 R60o的作用下變?yōu)?，則向量39.13x1若1，則 x+y 0y2第10頁(yè)共15頁(yè)10.

23、A 31， B32，向量滿足 (AB 1)3，則向量1001111. 用逆矩陣的方法解方程組：7x11y33xy0xy012x4 y012. 求下列未知的二階矩陣X：12X3212323111 X111313. 當(dāng)為何值時(shí)，二元一次方程組22xx13y有非零解？y14. 設(shè) A12，矩陣 B滿足 ABA 130，求矩陣 B.1112217215答案：1.22.23.554.7. m38.3135.6.-33/4215101033131429.310.11.x11x=k,y=3k77、0, y12.336610527738527713.1或 414.33412107733第五講變換的不變量與特征

24、向量一 . 特征值與特征向量【探究】1.計(jì)算下列結(jié)果：10a01010001b以上的計(jì)算結(jié)果與2. 計(jì)算下列結(jié)果：a0，的關(guān)系是怎樣的？0b10a02010002ba0以上的計(jì)算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？0b【定義】第11頁(yè)共15頁(yè)ab設(shè)矩陣 A，如果存在實(shí)數(shù)及非零向量，使得 A，則稱(chēng)是矩陣 A 的一個(gè)特征值。cd是矩陣 A 的屬于特征值的一個(gè)特征向量。（結(jié)合探究1、 2 說(shuō)明，特征值與特征向量）【定理 1】如果是矩陣 A 的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A 的屬于特征值的特征向量。其幾何意義是什么？【定理 2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線?！緫?yīng)用】31從幾何

25、角度解釋旋轉(zhuǎn)變換22 的特征值與特征向量。1 32 2二、 特征值與特征向量的計(jì)算2 21. 設(shè) A，求 A 的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。1 3【總結(jié)規(guī)律】一般的，矩陣Aabc的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量的求法。d【應(yīng)用】求 A12的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。14【練習(xí)： P70】【第五講 . 作業(yè)】1. 設(shè)反射變換:x'xA，則下列不是A 的特征向量的是（）y'對(duì)應(yīng)的矩陣為y0B.10D.1A.0C.1112. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. 矩陣 A 的一個(gè)特征向量只能屬于A 的一個(gè)特征值B.每個(gè)二階矩陣均有特征向量C. 屬于矩陣 A 的不同特征值的特征向量一定不共線D.如果是矩陣 A 的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù) k， k也是矩陣 A 的屬于特征值的特征向量。3. 設(shè)1 ，2 分別是恒等變換與零變換的特征值，則1 2 4. 投影變換00的所有特征值組成的集合為:10ab的特征多項(xiàng)式為5. 矩陣c d6. 已知 A 是二階矩陣，且 A2 0，則 A 的特征值為7.11A 的屬于 0 的特征向量為若0是矩陣 A的一個(gè)特征值，則0x8.1 mA 1 已知 1、2 是矩