二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

1、.二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果 yax 2bxc(a, b, c是常數(shù)， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) 。y ax 2bxc(a,b,c是常數(shù)， a 0) 叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于xb對(duì)稱的曲線，這條曲線叫 拋物線 。2a拋物線的主要特征：有開口方向；有對(duì)稱軸；有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫法-五點(diǎn)法：二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：（ 1）一般式： yax 2bxc(a,b,c是常數(shù)， a0)（ 2）頂點(diǎn)式：y(xh) 2( ,k是常數(shù)， a0)ak a h（ 3）當(dāng)拋物

2、線 yax 2bxc 與 x 軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程ax 2bx c 0有實(shí)根 x1 和 x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax2bx ca( xx1 )( xx2 ) ，二次函數(shù) y ax 2bxc 可轉(zhuǎn)化為 兩根式 ya(xx1 )( xx2 ) 。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。三、拋物線 yax 2bxc 中， a, b, c 的作用（ 1） a 決定開口方向及開口大小，這與yax 2 中的 a 完全一樣 .（ 2） b 和 a 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置. 由于拋物線 yax 2bx c 的對(duì)稱軸是直線bb0 （即 a 、 b 同號(hào)）時(shí)，x，故： b0 時(shí)，對(duì)稱軸為 y 軸所在

3、直線； 2aa對(duì)稱軸在 y 軸左側(cè)； b0（即 a 、 b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸右側(cè) .a（ 3） c 的大小決定拋物線yax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置 .;.當(dāng)x時(shí)，c，拋物線 yax 2bxc 與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0， c ）：0y c0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn) ; c0 , 與 y 軸交于正半軸； c0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立. 如拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)，則b0 .a四、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)yax 2bxc(a,b,c是常數(shù)， a0)a0a0yy圖像0x0x（ 1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（1）拋物線開

4、口向上，并向上無限延伸；（2）對(duì)稱軸是 x=bb，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2）對(duì)稱軸是x=2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是b4acb 22a（b4acb22a，）；4a（，4a）；b2ab（ 3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)， y（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x2a2a時(shí)， y 隨 x時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；b（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，b2a（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，4acb 22ay 有最小值，y最小值b 24a4acy 有最大值，y最大值4a;.五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

5、。因此一元二次方程中的b24ac ，在二次函數(shù)中表示圖像與x 軸是否有交點(diǎn)。當(dāng) 0 時(shí)，圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) =0 時(shí)，圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0 時(shí)，圖像與 x 軸沒有交點(diǎn)。補(bǔ)充：函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減六、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)xb 時(shí)， y最值4acb 2。2a4a如果自變量的取值范圍是x1 xx2 ，那么，首先要看b是否在自變量取值范圍2ax1xx2 內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=b時(shí)， y最值4acb 2；2a4a若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1xx2 范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)， y 隨

6、x 的增大而增大， 則當(dāng) xx2 時(shí)，y最大ax22bx2c ，當(dāng) xx1時(shí)， y最小ax12bx1c ；如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小， 則當(dāng) xx1 時(shí)，y最大ax12bx1c ，當(dāng) xx2時(shí)， y最小ax22bx2c 。;.典型例題x211. 已知函數(shù) y2x51 x3，則使 y=k 成立的 x 值恰好有三個(gè)， 則 k 的值為（）1 x3A0B1C2D32. 如圖為拋物線yax2bxc 的圖像，A、B、C 為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且 OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是（）A a b=1B a b= 1C b2aD ac03. 二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖所示，則反比例

7、函數(shù)ya 與一次函數(shù) y bx cx在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（） .4. 如圖，已知二次函數(shù)yx 2bxc 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（ 1， 2），當(dāng) y 隨 x 的增大而增大時(shí)， x 的取值范圍是yyx2bxc1-1O 1x（ 1,- 2）5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線yx22x3繞著它與 y 軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ，所得拋物線的解析式是（）A y( x 1)22B y( x 1)24C y(x 1)22D y( x 1)246.已 知 二 次 函 數(shù) y ax 2bxc 的 圖 像 如 圖 ， 其 對(duì) 稱 軸 x1，給出下列結(jié)果 b24ac abc0 2ab0 abc0 ab c0 ，

8、則正確的結(jié)論是;.（）A BCD7拋物線 y ax2bxc 上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x ，縱坐標(biāo) y 的對(duì)應(yīng)值如下表：x2 1012y04664從上表可知，下列說法中正確的是（填寫序號(hào)）拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）； 函數(shù) y ax2bxc 的最大值為 6；拋物線的對(duì)稱軸是 x1在對(duì)稱軸左側(cè)，y 隨 x 增大而增大；28. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（2，4），過點(diǎn) A 作 AB y軸，垂足為 B，連結(jié) OA(1)求 OAB 的面積；(2)若拋物線 yx22x c 經(jīng)過點(diǎn) A求 c 的值；將拋物線向下平移m 個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在 OAB 的內(nèi)部（

9、不包括 OAB 的邊界），求 m 的取值范圍（直接寫出答案即可）;.1239 已知二次函數(shù)y=4 x + 2 x 的圖像如圖（ 1）求它的對(duì)稱軸與x 軸交點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（ 2）將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)分別為 A、 B、 C 三點(diǎn)，若 ACB =90，求此時(shí)拋物線的解析式；（ 3）設(shè)（ 2）中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M，以 AB 為直徑， D 為圓心作 D ，試判斷直線 CM 與 D 的位置關(guān)系，并說明理由;.10. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， AB 在 x 軸上， AB 10，以 AB 為直徑的 O與 y 軸正半軸交于點(diǎn)C，連接 BC，

10、AC.CD 是 O的切線， AD CD 于點(diǎn) D，tan CAD 1 ，拋物2線 yax 2bxc 過 A，B， C 三點(diǎn) .（ 1）求證： CAD CAB；（ 2）求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點(diǎn)E 是否在直線CD 上，并說明理由；（ 3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA 是直角梯形 .若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請(qǐng)說明理由.;.11. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD 是直角梯形， BC AD， BAD= 90 ，BC 與 y 軸相交于點(diǎn)M，且 M 是 BC 的中點(diǎn)， A、B、D 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（ -1，0），B( -1 ，2)， D(

11、 3， 0)，連接 DM ，并把線段DM 沿 DA 方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P使得 PA= PC若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由。（3）設(shè)拋物線與x 軸的另 個(gè)交點(diǎn)為E點(diǎn) Q 是拋物線的對(duì)稱軸上的 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q 在什么位置時(shí)有QEQC 最大？并求出最大值。yBNMCEAODx圖;.12如圖， 拋物線 y= 1 x2 +bx 2 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，且 A（一 1，0）2求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)；判斷 ABC的形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn) M(m， 0)是 x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM 的值最小時(shí)，求m的值;.13.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將 n 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形并排組成矩形OABC ，相鄰兩邊OA 和 OC 分別落在 x 軸和 y 軸的正半軸上，設(shè)拋物線2y=ax +bx+c(a0)過矩形頂點(diǎn) B、C.（1）當(dāng) n 1時(shí)，如果 a= 1，試求 b 的值；（2）當(dāng) n 2時(shí)，如圖 2，在矩形 OABC 上方作一邊長(zhǎng)為 1