概率統(tǒng)計習題解

1、1.設Fi(x)與F2(x)分別是隨機變量X與Y的分布函數(shù)，為使aFjx) - bF2(x)是某個隨機變量的分布函數(shù)，則a,b的值可取為).25_ 3_ 23 A. a ,b = -51C. a ,b22a2a ,b =3-a,b2從這批產(chǎn)品中隨意抽取 4個，求這4個產(chǎn)品中B.D.2. 一批產(chǎn)品20個，其中有5個次品，的次品數(shù)X的分布律.解：因為隨機變量 X = 這4個產(chǎn)品中的次品數(shù)X的所有可能的取值為：0, 1, 2, 3, 4.且 PX =0=暉C20-910.2817 ；323C3 C1PX =1 = 15 5PX =4"CT一969CCf 70c20323C；5C；_ 10C

2、：0323C5C 1PX =2PX =30.0310 ；:0.2167 ；455 0.4696 ；C；0 一 96昇.0010.X01234p0.28170.46960.21670.03100.0010因此所求X的分布律為:3.如果X服從0-1分布,又知X取1的概率為它取0的概率的兩倍,寫出X的分 布律和分布函數(shù)解：設 Px =1 = p，貝U Px =0 =1 - p.2由已知，p=2(1-p)，所以p= 3X的分布律為:X01P1/32/3當 x ：0 時，F(xiàn)(x)二 PX ZX =0 ;1當 0 乞 x ：1 時，F(xiàn)(x)二 PX 豈 x二 PX =0：3當 x _1 時，F(xiàn)(x) =P

3、X mx =PX =0 PX =1 =1.X的分布函數(shù)為:0F(x)=彳1/31x:00_x： 1x 二 14. 一批零件中有7個合格品，3個不合格品，安裝配件時，從這批零件中任取一個, 若取出不合格品不再放回，而再取一個零件，直到取得合格品為止，求在取出合格品以 前，已取出不合格品數(shù)的概率分布解：設X=在取出合格品以前，已取出不合格品數(shù).則X的所有可能的取值為 0, 1, 2，3.720匕0Px =13 77=10 93017 / 12Px =23 210 97 7»=8 120Px=33 2 171-r-r t10 9 8 7120所以X的概率分布為:Px =0=CnC53955

4、2210995200.2215 ；P x -1C13C39c5227417666400.4114 ；X0123P7/107/307/1201/1205.從一副撲克牌（52張）中發(fā)出5張，求其中黑桃張數(shù)的概率分布 解：設X= 其中黑桃張數(shù).則X的所有可能的取值為 0, 1, 2, 3, 4, 5.P x = 2P x = 3=Px=45C52C13C3927417C5C52-99960C3C2133916302C5C52-199920C13C394290.2743；0.0815 ；39984 °.0107 ；G；c3933Px =5135390.0005.C5266640所以X的概率分

5、布為：X012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.00056. 一家大型工廠聘用了 100名新員工進行上崗培訓，據(jù)以前的培訓情況，估計大約 有4%的培訓者不能完成培訓任務求：(1) 恰有6個人不能完成培訓的概率；(2) 不多于4個的概率.解：設X = 不能完成培訓的人數(shù).則X J B(100,0.04),(1) PX -6C1oq0.046 0.9694 =0.1052；4(2) PX 乞4=為 C1ooO.O4k 0.9610 -0.629 .k=07. 一批產(chǎn)品的接收者稱為使用方，使用方風險是指以高于使用方能容許的次品率p接受一批產(chǎn)品的概率假設你是使用方

6、，允許次品率不超過p=0.05，你方的驗收標準為從這批產(chǎn)品中任取100個進行檢驗，若次品不超過3個則接受該批產(chǎn)品試求使用方風險 是多少？(假設這批產(chǎn)品實際次品率為0. 06).解：設X= 100個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X LI B(100,0.06),所求概率為 PX 乞3G寫(0.06)K(0.94)1004< =0.1430.K空8. 甲、乙兩人各有賭本 30元和20元，以投擲一枚均勻硬幣進行賭博 .約定若出現(xiàn) 正面，則甲贏10元，乙輸10元；如果出現(xiàn)反面，則甲輸 10元，乙贏10元.分別求投擲 一次后甲、乙兩人賭本的概率分布及相應的概率分布函數(shù)解：設X甲=投擲一次后甲的賭本 , X乙=

7、投擲一次后乙的賭本.則X甲的取值為40, 20,且PX甲=40 = PX甲=20 =1 , PX乙=10 = PX乙=30=-,2 2X甲4020p1/21/2所以X甲與X乙的分布律分別為:9.設離散型隨機變量X的概率分布為:X乙1030P1/21/2（1）Plx =k4a2k, k =1,2J|,100；(2) PX =k = a2上，k =1,2, ，分別求(1 )、(2)中常數(shù) a的值.100 , 100解: （ 1）因為 7 PX =k 丨為 a2k =1,k 1k 1100、所以-1）2（12 ） 即a1，1-2QOOO(3)因為 v pX 二 kl 八 a2± =1,kW

8、kW1即a1，所以a =1.1-1210. 已知一電話交換臺服從彊=4的泊松分布，求：(1)每分鐘恰有8次傳喚的概率; (2)每分鐘傳喚次數(shù)大于 8次的概率.解：設X= 每分鐘接到的傳喚次數(shù)，則X LI P(')，查泊松分布表得(1) PX =8PX _8 -PX _ 9 =0.0511 -0.0214 ；(2) PX _8 =0.02136 .11. 一口袋中有5個乒乓球，編號分別為1、2、3、4、5，從中任取3個，以示3個球中最小號碼，寫出X的概率分布.解：X的所有可能的取值為1, 2, 3.C2610P"2點C；10C2Px = 3 = C3C5丄10所以X的概率分布為

9、:12.X123P6/103/101/10ax + b ,0 £ x c1設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x) = *其它0rPX，試求常數(shù)a和b.1a b03(ax b)dx 坯運P X1 (ax b)d4a -2b、3 丿 3,a b 4a 2b由183913.已知隨機變量 X的概率分布如下,a 二-1.5,-1 00. 20. 250. 300. 252求Y = 3X1及Z = X2 1的概率分布.解：Y - -3X 1的所有可能的取值為 4，1，-2，-5.且 PY =4 = PX 二-1 =0.2 ；PY =1 =PX =0 =0.25 ；PY 二 -2 = PX =1 =0.

10、3 ；PY 二5 =PX =2 =0.25.所以Y =3X - 1的分布律為Y =<X +1-5-214P0.250.30.250.22Z二X1的所有可能的取值為1, 2, 5且 PZ T =PX =0 =0.25 ;PZ =2 =PX = -1 PX =1 =0.5 ;PZ =5 =PX =2 =0.25.所以Z =X 2 T的分布律為Z =X2 +1125P0.250.50.2514.服從柯西分布的隨機變量E的分布函數(shù)是 F(x)=A+Barctanx ,求常數(shù) A, B;P X <1以及概率密度f(x).解:二 1 F(-：)二 lim (A B arctan x)二 A B

11、 = 0 A ! f2 得！2二 1F( ：) =!im_(A Barctanx) = A ? B =1 B =-1 1所以 F (x) = arctan x ；2 兀PX ：1二P-1 ： x ：1 = F(1)F(-1) =0.5；1 1f(x) =F'(x)廠兀 1 +x215.設連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為0 , x ： 0F(x) =Ax ,0 乞 x ：11 , x -1求：(1)常數(shù)A的值；(2)X的概率密度函數(shù)f (x) ；( 3)P'X乞21解：(1)由 F(x)的連續(xù)性得 F(10) =F(1 0) =F(1)=1即 lim Ax2x 1 -=1，所以 A

12、 =1 ,20,F(x) = x ,1,x : 0x _1(2) f(x)二 F'（x）二 2x，I。，0 ： x : 1其他(3) PX< 2H F (2) = 1.16.設隨機變量X的分布密度函數(shù)為4 f (x) = W1 - x20當 x : 1其它試求：（1）系數(shù)A ；（2）P1X<2 ；（3）X的分布函數(shù)F(x).解：（1）因為二匚f (x)dx1 a二dx = Aarcsin x21所以A =丄jif(上2-X0其它(2) P 112dx= 1 arcsi nxji1一 ；3(4)當 x -1 時，f(x) =PX Ex =0,x 1當 0 EX ：1 時，f

13、(x)二 PX Ex二"(1 -12dt 二丄 arcsinji1當 x -1 時，f (x)二 PX x二二呂dt"，0,X v-1所以F (x)Uarcsinx,1 蘭x c12 n?-x£117.設隨機變量XN(5, 4)，求a使:(1)px " = 0.903 ；（ 2）p|X 5>a =0.01.解:由 X N(5, 4）得X 一52-N(0,1)（1)px “=cX -5P <a _5f =a 56()=0.90322 J25查標準正態(tài)分布表得：1.3，所以=7.6 ；2(2)由 P<X 5 ao( = 0.01 得，p X

14、 5 va = 0.99所以 p X 5 £ = pG cX 5 £0(X - 5=P()-：(一)=2皿(一)-1 = 0.99I 222 j 222即:：（一）=0.995，查標準正態(tài)分布表得2.58，所以:=5.162 218.設 X N（10 ,22），求 P«0 ： X : 13 , P X -10 ： 2.X 10解：由 X N(10 ,22)得 N (0 ,1)2P10 ： X ：13?=P 0 :X 10|丁 w.5)n9934932 ；p X 10| <2 = P2 ex 10 £2X 10-P -11=：（1）-（-1）二2：（

15、1）-1 =2 0.8413 -1 =0.6826.219.某地8月份的降水量服從 "-185 mm, -28 mm的正態(tài)分布，求該地區(qū)8月份降水量超過250 mm的概率.解：設隨機變量 X = 該地8月份的降水量,則 XL N(185,282)，從而L N(0,1)28所求概率為X _185250 185PX_250=P -85旦 =1 一門(2.32) =1 0.9898 =0.010228 2820.測量某一目標的距離時，產(chǎn)生的隨機誤差X(cm)服從正態(tài)分布 N(0, 400)，求在3次測量中至少有1次誤差的絕對值不超過 30 cm的概率.解：由 X U N(0,400)得 X

16、 L N(0,1)20設Y = 在3次測量中誤差的絕對值不超過30 cm的次數(shù)，則YU B(3, p)其中 p = PX c30=P30cX c30=P1.5cX £1.5-"(1.5) - 門(一1.5) =2(1.5) -1 =2 0.9332 -1 = 0.8664所以P3次測量中至少有1次誤差的絕對值不超過 30 cm = PY _1= P0 =C3)0.8664) 0.13320.997621. 自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p,當在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)X的概率函數(shù).解：由已知，x LIg(p)所以 P(X =

17、i) = p(1-p)i,i =0,1,21 川l|.22. 已知測量誤差 X N(7.5,102), X的單位是mm，問必須進行多少次測量，才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10 mm的概率大于0. 9.解：設必須進行n次測量才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10 mm的概率大于 0. 9.2 x _7 5由已知 X N(7.5,102), N(0,1)10設Y = n次測量中，絕對誤差不超過10mm的次數(shù)，則丫口 B(n, p)其中 p=PX 叮0 =P X 乞 0.25 -：（0.25） =0.5987所求概率為PY _1 . 0.9，即PY=0乞0.1C°0.59870

18、0.4013 <0.1，解之得，n 一3必須進行3次測量，才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10mm的概率大于0. 9.23. 參加某項綜合測試的 380名學生均有機會獲得該測試的滿分 500分.設學生的得 分XN（），二2），某教授根據(jù)得分 X將學生分成五個等級：A級：得分X_（）二）； B 級：乜 X : （亠；上：）；C 級：- ；）乞 X L ； D 級：（亠一2二）乞 X ：（-）； F級：X ：:（亠-2二）.已知A級和C級的最低得分分別為 448分和352分，則：（1）和二是多少？ （ 2）多少個學生得 B級？解：（1）由已知,; - 4481 -c -352，解之得一

19、400- - 48（2）pex ；八 P0: 1a= G（1）_：G（0） =0.8413 -0.5 =0.341324. 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠是相互獨立的，且紅、綠兩種信號顯示時間相同.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù).求X的概率分布.解:X的所有可能的取值為 0，1，2，3.且 PX =0二1 ；2PX =2PX =3111222111x x22218 ；18 ；所以X的概率分布為X0123P1/21/41/81/8125. 設顧客在某銀行窗口等待服務的時間X（ min ）服從的指數(shù)分布.某顧客5在窗口等待服務，若超過 10

20、min，他就離開.若他一個月到銀行 5次，求：（1） 一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)Y的分布；求PY1解：(1)由已知，X E( ),YB(5, p)5110 10 1 一其中 P = PX 10 =1-PX 乞10 =1 - f(x)dx=1 - 耳5dx 二e八"5所以 Y 的分布為 PY =k pk(1 - p)5“= C5k(e，)k(1-e)5上,(k =0,1,2,3,4,5)；(2) pfY _1.；=1 PY =0 =C°(e)0(Ve)0.5167.26.設X E()，求Y =aX (a - 0)的概率分布解：因為 Y =g(X) =aX(a 0)所以 g'(x)=a 0,h(yH-,h'(yH1，而 fx(x)二 飛a a 10,fY(y)二 fx(h(y)山'(y)|= e丄=-e , (y -0)a aY = aX (a 0)的密度函數(shù)為0y _oy 027.假設你要參加在11層召開的會議，在會議開始前5 min你正好到達10層電梯口, 已知在任意一層等待電梯的時間服從0到10 min之間的均勻分布.電梯運行一層的時間為10 s，從11層電梯口到達會議室需要20秒.如果你不想走