群決策和社會選擇25

1、第十二章群決策與社會選擇Group Decisio n-maki ng and Social Choice Theory§ 12-1概述一、為什么要研究群決策A. 在現(xiàn)實(shí)生活中任何決策會影響一群人，因此在公正、民主的社會中 ，重大的決策應(yīng)盡量滿足受該決 策影響的群眾的愿望和要求 群眾通過代表反映愿望和要求，代表們構(gòu)成各種委員會行政機(jī)構(gòu)中的領(lǐng)導(dǎo)班子社會發(fā)展t信息和知識的積累及更新速度加快，領(lǐng)導(dǎo)個(gè)人難以在掌和應(yīng)付t智囊團(tuán)和咨詢機(jī)構(gòu)應(yīng)運(yùn)而生并廣泛存在，作用加強(qiáng)委員會、代表大會、議會、協(xié)會、俱樂部，領(lǐng)導(dǎo)班子、組織，智囊團(tuán)等等都是群，群中的成員各有偏好，要形成集體意見需要研究群決策和社會選擇理

2、論B. 世界上矛盾無處不在，人與人、組織與組織、國與國之間的矛盾如何解決，如何避免沖突升級，需要研究協(xié)商、談判、仲裁、調(diào)解、合作對策等沖突分析方法，因而沖突分析也是群決策的主要研究內(nèi)容.、分類涉及內(nèi)容及解決辦法-投票表決廠社會選擇.一委員會-社會選擇函數(shù)-社會福利函數(shù)激發(fā)創(chuàng)造性采集意見系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的探索群體參與仿真策 Team theory群決尺S策I多人一般均衡理論組織機(jī)構(gòu)決策實(shí)施與管理遞階優(yōu)化組織決策管理正規(guī)型擴(kuò)展型特征函數(shù)策 沖 協(xié)商與談判K-S突Mid-mid分均衡增量析主從對策與激勵(lì)強(qiáng)制仲裁仲裁與調(diào)解一5 最終報(bào)價(jià)仲裁亞對策論-組合仲裁三、社會選擇的定義與方式1. 定義：（Luce &a

3、mp; Raiffa ）社會選擇就是根據(jù)社會中各成員的價(jià)值觀及其對不同方案的選擇產(chǎn)生社會的決策；即把社會中各成員對各種狀況的偏好序集結(jié)成為單一的社會偏好模式2. 社會選擇的常用方式：慣例、常規(guī)、宗教法規(guī)、職權(quán)、獨(dú)裁者的命令、投票表決和市場機(jī)制其中：投票：少數(shù)服從多數(shù)，大多用于解決政治問題；市場機(jī)制：本質(zhì)是用貨幣投票，大多用于經(jīng)濟(jì)決策；獨(dú)裁：根據(jù)個(gè)人意志進(jìn)行（取代）社會選擇；傳統(tǒng)：以慣例、常規(guī)、宗教法規(guī)等代替社會中各成員的意志傳統(tǒng)到獨(dú)裁的演變：傳統(tǒng)（無論慣例、常規(guī)還是宗教法規(guī)）在開始時(shí)是社會上大部分公民 或成員認(rèn)可的規(guī)則（以及規(guī)定、法規(guī)）,隨著社會的發(fā)展，總有新的問題、新情況是原來的 規(guī)則（以及

4、規(guī)定、法規(guī)）所無法解決的，解決這些新的問題、新情況的新規(guī)則就要由社會上比較有威望的某些人制訂，這些人在解決新問題、新情況時(shí)就代替整個(gè)社會進(jìn)行了選擇只要這些人不是以民主方式選舉產(chǎn)生的，他們的權(quán)力就會逐漸增大，成為代替社會進(jìn)行決策的小團(tuán)體這個(gè)小團(tuán)體中最強(qiáng)有力的人物最終也就有可能成為獨(dú)裁者§ 12.2 投票表決（選舉）（Voting）投票表決可分成兩步：1.投票，應(yīng)簡單易行2. 計(jì)票，應(yīng)準(zhǔn)確有效-、非排序式投票表決 （No n-ranked Vot ing Systems）（一）只有一人當(dāng)選1. 候選人只有兩個(gè)時(shí)：計(jì)點(diǎn)制（Spot vote）投票：每人一票；計(jì)票：簡單多數(shù)票（simple

5、plurality）法則（即相對多數(shù)）.2. 候選人多于兩個(gè)時(shí)簡單多數(shù)（相對多數(shù)）過半數(shù)規(guī)則（絕對多數(shù)Majority）第一次投票無人獲得過半數(shù)選票時(shí)，a.二次投票，如法國總統(tǒng)選舉.b.反復(fù)投票：i.候選人自動退出，如美國兩黨派的總統(tǒng)候選人提名競選；ii.得票最少的候選人的強(qiáng)制淘汰，如奧運(yùn)會申辦城市的確定.例12. 1由11個(gè)成員組成的群，要在a、b、c、d四個(gè)候選人中選舉一人.設(shè)各成員心目 中的偏好序如下：成員i1234567891011排序第一位aaabbbbcccd第二二位cccaaaaaaaa第三位第四位d d b bd bcdcdcdcddbdbdbcb按簡單多數(shù)票法則，b得4票當(dāng)選

6、實(shí)際上,雖然有4人認(rèn)為b最好,但是有7人認(rèn)為b最差;雖然只有3人認(rèn)為a最好,但是其余8人認(rèn)為a是第二:位的所以，由a當(dāng)選為宜.例12.2設(shè)各成員心目中的偏好序如下成員i :1234567891011排序第一位b bbbbbaaaaa第二位a aaaaacccdd第三位c ccddddddcc第四位d ddccccbbbb按簡單多數(shù)票法則或過半數(shù)規(guī)則，b得6票當(dāng)選.實(shí)際上,雖然有6人認(rèn)為b最好,但是有5人認(rèn)為b最差；雖然只有5人認(rèn)為a最好，但是其余 6人認(rèn)為a是第二位的；所以，由b當(dāng)選未必合適.例12.3設(shè)各成員心目中的偏好序如下成員i1234567891011排序第位bbbccccddaa第二

7、二位aaaaaaaaabd第三位dcdbbbdcbdc第四位cdcdddbbccb按過半數(shù)規(guī)則,第一次投票無人獲得過半數(shù)選票,c、b得票多，第二投票時(shí),6人認(rèn)為c比b優(yōu)，c當(dāng)選.而在該問題中沒有人認(rèn)為a處于第二位以下，卻有4人認(rèn)為c最差.由上面三個(gè)例子可知，無論簡單多數(shù)票法則、過半數(shù)規(guī)則還是二次投票，都有不盡合理 之處(二) .同時(shí)選出二人或多人1. 單一非轉(zhuǎn)移式投票表決(Single nontransferable voting)投票人每人一票，得票多的候選人當(dāng)選.如：日本議員選舉采用選區(qū)制，每選區(qū)當(dāng)選人數(shù)超過2個(gè),1890年起即用此法.2. 復(fù)式選舉(Multiple voting)每個(gè)投

8、票人可投票數(shù)=擬選出人數(shù)但對每個(gè)候選人只能投一票弊端：在激烈的黨派競爭中，實(shí)力稍強(qiáng)的黨派將擁有全部席位.因此該方法只能用于存在共 同利益的團(tuán)體、組織內(nèi)部，如黨團(tuán)組織和班干部的選舉.3. 受限的選舉(Limited voting)每個(gè)投票人可投票數(shù)v擬選出人數(shù)對每個(gè)候選人只能投一票弊端：同上.1868年英國議會選舉采用此法，1885年即取消.4. 累加式選舉(Cumulate voting)每個(gè)投票人可投票數(shù)=擬選出人數(shù).這些選票由選舉人自由支配，可投同一候選人若干票 利：可切實(shí)保證少數(shù)派的利益.大多用于學(xué)校董事會的選舉，例:英國(1870-1902).(注意：公司董事會的選舉與此不同.)5.

9、名單制(List system)由各黨派團(tuán)體開列候選人名單，投票人每人一票，投給黨團(tuán).此法于1899年用于比利時(shí)，以后被荷蘭、丹麥、挪威和瑞典等國采用.計(jì)票分兩種：.最大均值法；.最大余額法例12. 4 24000人投票，選舉5人，A、B、C、D四個(gè)黨派分別得 8700、6800、5200、3300 票，如何分配議席？(1)最大均值法：A黨首先分得第一席.第二席分給各黨派時(shí)，各黨派每一議席的均值如下：黨派得票除數(shù)均值(每一議席的得票均值)A870024350B680016800C520015200D330013300由于B黨的均值最大B黨得第二席.分第三席時(shí)各黨派每一議席的均值如下黨派得票除數(shù)

10、均值A(chǔ)870024350B680023400C520015200D330013300C黨得第三席,分第四席時(shí)各黨派每-議席的均值如下：黨派得票除數(shù)均值A(chǔ)870024350B680023400C520022600D330013300由于A黨的均值最大,A黨得第四席.分第五席時(shí)各黨派每一議席的均值如下黨派得票除數(shù)均值A(chǔ)870032900B680023400C520022600D330013300B黨的均值最大B黨得第五席最后A B各得2席，C得1席.最大余額法：首先計(jì)算Q=N/K的值：Q=24000/5=4800,用各黨派得票數(shù)除以Q并計(jì)算余數(shù)：黨派得票除數(shù)分得席位余額A8700480013900

11、B6800480012000C520048001400D3300480003300按每4800票得-席,A、B、C黨各得一席,剩余2席，因?yàn)锳、D兩黨的余額大，最后A黨得2席,B、C和D黨各得一席可以證明，最大均值法對大黨有利；最大余額法對小黨有利6. 簡單可轉(zhuǎn)移式選舉 (Single nontransferable voting)常常用于3-6個(gè)席位的選區(qū).投票人每人一票.現(xiàn)況值Q=N/(K+1),得票數(shù)大于Q的候選 人人選，得票最少的候選人被淘汰，由未被淘汰的未當(dāng)選候選人在下一輪中競爭剩余席位.仍以例12.4說明.N=24000, K=5,故Q=N/(K+1)=24000/6=4000,設(shè)

12、各黨派候選人的第一次投票得票數(shù)為：候選人： A 1 A 2 A 3B1 B 2 C1 C2 D1得票數(shù):4100410050041002700405011503300其中，A 1 ,A 2 , B 1 , C 1第一次投票后可入選,A 3被淘汰，B 2 , C2 , D 1通過第二次投票競爭最后一席這時(shí)Q=24000/2=12000.支持A黨的可轉(zhuǎn)移投票方向，他們在讓誰入 選上有決定性影響.7. 認(rèn)可選舉（Approval vote ）每個(gè)投票人可投任意張選票，但他對每個(gè)候選人只能投一張票.得票最多的前 K個(gè)候選人當(dāng)選.如職稱評定，評獎，評先進(jìn)等.（三）.其它投票表決（選舉）方法1. 資格認(rèn)定

13、.候選人數(shù)M=當(dāng)選人數(shù)K即等額選舉,用于不存在競爭或不允許競爭的場合.不限定入選人數(shù)如學(xué)位點(diǎn)評審，職稱評定，評獎等.目的不是排序.而是按某種標(biāo)準(zhǔn)來衡量被選對象.2. 非過半數(shù)規(guī)則2/3多數(shù)，例美國議會推翻總統(tǒng)否決需要2/3多數(shù).2/3多數(shù)= 60%多數(shù)，例如希臘議會總統(tǒng)選舉，第一次需要2/3多數(shù)，第二次要60%多 數(shù).3/4多數(shù)，美國憲法修正案需要3/4州議會的批準(zhǔn).過半數(shù)支持,反對票少于1/3.例如1993年前我國博士生導(dǎo)師的資格認(rèn)定.一票否決，安理會常任理事國的否決權(quán).、偏好選舉與投票悖論（Paradox of voting ）1. 記號N= 1,2,n 表示群,即投票人的集合；A= a

14、1 ,am備選方案（候選人）集合；Ai )i成員（投票人）i的偏好；AG， G群的排序.n jk 或 N(aj ' aQ群中認(rèn)為aj優(yōu)于ak的成員數(shù)采用上述記號，過半數(shù)規(guī)則可以表示為：對 a j，a k A 右 n jk > n kj 貝V a j G a k ; 若 n jk =n kj 則 a j G a k2. Borda 法（1770 年提出）由每個(gè)投票人對m個(gè)候選人排序，排在第一位的得m-1分，排在第二位的得m-2分， 根據(jù)各候選人所得總分多少確定其優(yōu)劣.3. Condorcet 原則（1785 年提出）對候選人進(jìn)行成對比較，若某個(gè)候選人能按過半數(shù)規(guī)則擊敗其它所有候選人

15、，則稱為Condorcet候選人；若存在Condorcet候選人，則由其當(dāng)選.用上述記號表示，即:若njk > nkj V ak A a j ,則aj當(dāng)選.例12. 5群由60個(gè)成員組成，A= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是23人認(rèn)為a 'c b（即a優(yōu)于c ,c優(yōu)于b, a也優(yōu)于b）16人認(rèn)為c _b -a2人認(rèn)為c _a _ba 與 b 相比 N(a _b)=25.N(b a)=35因此有b 'gaa 與 c 相比 N(a c)=23,N(c a)=37因此有c _Gab 與 c相比 N(b -c)=19,N(c b)=41因此有c 'gb由于候選人c能分

16、別擊敗a 與 b,所以 c 是 Condorcet候選人，由c當(dāng)選但是，常常不存在 Condorcet候選人.19人認(rèn)為b _c -a4.多數(shù)票循環(huán)（投票悖論）例12.6若群中60個(gè)成員的態(tài)度是23人認(rèn)為a b 'c17人認(rèn)為b 'c 'a2人認(rèn)為b a 'c8人認(rèn)為c b 'a10人認(rèn)為c a 'b由于N(a 'b)=33,N(b -a)=27因此有a gbN(b c)=42,N(c a)=18因此有b 'gcN(a ©=25,N(c a)=35因此有c 'ga每個(gè)成員的偏好是傳遞的，但是按過半數(shù)原則集結(jié)得到的

17、群的排序并不傳遞，出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán),這種現(xiàn)象稱作 Condorcet效應(yīng)（也叫投票悖論）5.出現(xiàn)Condorcet效應(yīng)的概率成員數(shù)N :357111525OO方案數(shù)m= 3.0556.0694.0750.0798.082.0843.08/4.111.14.15.17555.16.20.22.25136.20.25.27.31528.415210.488715.608720.681130.791449.8405三、策略性投票1.小集團(tuán)控制群 例：百人分蛋糕（操縱性）2.謊報(bào)偏好而獲益例12.7群由30個(gè)成員組成，A= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是：14認(rèn)為a b 'c4人認(rèn)為b -a

18、 _c4人認(rèn)為b c -a8人認(rèn)為c b -a8人撒謊,根據(jù)Borda法和Condorcet原則，都應(yīng)由b當(dāng)選，但是，若認(rèn)為a b -c的14人中有 稱他們認(rèn)為 a c _b ,則按Borda法，將由a當(dāng)選.3. 程序（議程）問題例12.6所述問題：后參加表決的方案獲勝 四、衡量選舉方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn) 能否充分利用各成員的偏好信息 若存在Condorcet候選人，應(yīng)能使其當(dāng)選 能防止策略性投票§ 12.3社會選擇函數(shù)、引言1. 仍以例12.5為例：群由60個(gè)成員組成，A= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是23人認(rèn)為a'c'b19人認(rèn)為b'ca16人認(rèn)為c'

19、;ba2人認(rèn)為c'ab根據(jù)Condorcet原則c當(dāng)選根據(jù)簡單多數(shù)規(guī)則a當(dāng)選根據(jù)過半數(shù)（二次投票）規(guī)則b當(dāng)選.那么這該例中一共只有三個(gè)候選人，采用不同選舉方法時(shí)，這些候選人都有可能當(dāng)選些方法中究竟何者合理 ？據(jù)何判斷選舉方法的合理性？2例12.6表明多數(shù)票循環(huán)不可避免，問題是：出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán)時(shí)該誰當(dāng)選？.這種數(shù)量指標(biāo)稱為社會選擇函數(shù)研究社會選擇問題的理論家提出：應(yīng)該采用某種與群中成員偏好有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)來反映群二、社會選擇函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)0.記號在對x,y比較時(shí)11右x i yD i =0若xi y-1右y i x群中各成員的偏好分布D=(D 1，Dn)偏好分布的集合D= -1,0, 1

20、n（即社會）對各方案的總體評價(jià)社會選擇函數(shù)F(D) = f( D 1 ,Dn )"DC D即 F : -1, 0, 1 T -1,0, 1 1. 明確性(Decisiveness)D 工 0 t F(D)工 02. 中性(Neutrality)又稱對偶性對侯選人的公平性f( -D 1，-Dn) = - f( D 1，,Dn)3. 匿名性(Anonymity)又稱平等原則各成員的權(quán)力相同f( D 1，,D n ) = f( D ；二1)，,D .-(n)其中b是(1,n)的新排列4. 單調(diào)性(Monotonicity)又稱正的響應(yīng)若 D > D'貝U F ( D ) &g

21、t; F ( D ')5. 一致性(Unanimity)又稱 Weak Pareto 性f ( 1, 1,1) = 1 or f ( -1,-1，,-1) = -16. 齊次性(Homogeneity)對任意正整數(shù)m F ( mD ) = F ( D )7. Pareto 性D i 1,0 for all I and D = 1 for some k t F(D ) =1D i = 0 for all I t f ( D ) = 0三、社會選擇函數(shù)1. Con dorcet-函數(shù)fc(x) = min n( x 'i y )f c (.)值愈大愈優(yōu).例12. 6群中60個(gè)成員的

22、態(tài)度是：23人認(rèn)為a'bc17人認(rèn)為b 'c a2人認(rèn)為b'ac8人認(rèn)為c'ba10人認(rèn)為c'abN(a ®=33, N(a c)=25 因此 f c ( a ) = 25N(b a)=27, N(b ©=42,因此 f c ( b ) = 27N(c a)=18, N(c a)=35,因此 仁(c ) = 18 b 'g a 'g cCon dorcet-函數(shù)值還可以用下法求得：根據(jù)各方案成對比較結(jié)果列出表決矩陣f-3325N =27-42、3518-一即Condorcet-函數(shù)值.2. Borda-函數(shù)矩陣中各行最

23、小元素：252718Co ndorcet-函數(shù)滿足性質(zhì) 16.fb (x)=' N( x -i y )y" xf b (x)即表決矩陣中x各元素之和，fb ()值愈大愈優(yōu).例12. 6中方案a ,b ,c的Borda-函數(shù)值分別是 58, 69, 53, /.b - G a - G CBorda-函數(shù)滿足性質(zhì)16.3. Copela nd-函數(shù)根據(jù)各方案兩兩比較的勝負(fù)次數(shù)的差來定f cp (x) = My: y A 且 x Gy- My: y A 且 y gxf cp (.)值愈大愈優(yōu).例12.6中方案a ,b ,c的Copeland函數(shù)值均為0,三者平局Copela nd-

24、函數(shù)滿足性質(zhì) 16.4. Nanson 函數(shù)用Borda-函數(shù)求解，每次淘汰Borda-函數(shù)值最小的方案A j 1 = A j x A j ; fb (x) w f b (y),且對某些 y fb (x) v f b (y) 直到A j 1 = A j為止.例 12. 6 中 fb (c)的 Borda-函數(shù)值最小，A 2 = A 1 c = a, b A3 = A 2 b = a - - a g b g cNan son函數(shù)不滿足性質(zhì)(4).5. Dodgson 函數(shù)(C.J.Dodgson,英，1832 1898)使某個(gè)候選人成為 Condorcet候選人需要N中成員改變偏好的總選票數(shù)N個(gè)

25、成員,m個(gè)候選人記n jk = N (a j ' i ak)n為偶數(shù)時(shí) n0= n/2n為奇數(shù)時(shí) n0=(n+1)/2 n” = 0mf (a j) =J n。-n jk| (n。-n jQ. 2j=1,m例 12.6 中，a,b,c 的 Dodgson 函數(shù)值分別為 5, 3, 12, b 'G a 'G cDodgson函數(shù)不滿足 (4).6. Kemeny 函數(shù)使社會排序與各成員對方案的偏好序有最大的一致性首先定義:社會選擇排序矩陣L = I jk 1I jk =0-1e jknjknkjn na j_Ga kajgakak'gajA上的每一線性序都對應(yīng)一

26、個(gè)L記 njk = N (a j 'g a k)nkj = N (a k 'g a j )*njk = N (a j g a k) 比例矩陣M = m jk*m jk = (n jk + n j"2)/n 投票矩陣E = M-M T定義 < E L > = -ejk Ijkj k它反映群的排序與成員排序即，群中認(rèn)為a j a a k的成員的比例與群的排序ljk的內(nèi)積, 的一致性.Kemeny 函數(shù)f k = max < E L >。7. Cook-Seiford 函數(shù)設(shè)成員i把方案j排在rj位，方案j的群體序?yàn)镵則成員I與群體序的總偏差：

27、9;| rj-K |j各成員排序與群體序的總偏差d jk = ._| rij -K |ij數(shù)學(xué)規(guī)劃minf二：d jk pjkj ks.t.二jP jk二 p jk = 1k的解中p jk = 1表示方案j的群體序?yàn)镵8. 本征向量函數(shù)Dodgson 矩陣D = d jk 其中：d jk = n jk /n kj ,顯然 d jk = 1/d kj ，但是 d jk 豐 djl * dlk ,可由（D - ml） W = 0求得 W后.按各分量的大小排相應(yīng)方案的次序9. Bernardo 函數(shù)上述各種方法只根據(jù)各成員對各方案的總體優(yōu)劣集結(jié)成群體序?qū)δ承┒嗳硕鄿?zhǔn)則問題，尤其是實(shí)際工程問題，應(yīng)該根

28、據(jù)每個(gè)準(zhǔn)則下各方案的優(yōu)劣次序集結(jié)成群體序一般的多準(zhǔn)則社會選擇問題可以表述為：對有限方案集A= a 1 ,，am,由委員會N= 1,2,，n 根據(jù)準(zhǔn)則集（即評價(jià)指標(biāo)體系）C= C1, C1,Cr來確定各方案的優(yōu)先 次序在求解問題時(shí)，首先要根據(jù)r種不同的準(zhǔn)則中的每一種準(zhǔn)則 ，分別描述各方案a的優(yōu)劣. 為了集結(jié)各成員的意見，可以用協(xié)商矩陣n表示委員會對各方案優(yōu)劣的總體感覺 n是m Xm方陣，其元素二jk表示將方案a排在第k位的成員人數(shù)為了反映各準(zhǔn)則的重要性，可以 對各準(zhǔn)則加權(quán)權(quán)向量W= w1, W2,wr.設(shè)根據(jù)準(zhǔn)則ci,有xjk位成員將 日r排在第k位，貝V二jk=X W| .xjk, Berna

29、rdo定義一個(gè)0-1矩陣P,其每行、每列只有一個(gè)1元素為1,余者均為0.使二 ' jk pjk 極大，即 j ,kmax i -' jk Pjkj kms.t. 二 Pjk =1k=1,2,mj mm二 p jk =1j=1,2,mk dPjk0,1P中的非0元素Pjk =1表示方案a應(yīng)該排在k位.§ 12.4 社會福利函數(shù)(Social Welfare Function) 一、社會福利(Social Welfare)1. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)學(xué)派，主要研究社會的福利與福利的判斷問題；2. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家(例Bergs on, Samulson等)認(rèn)為：社會福利是

30、一種可以測度的量，人們可據(jù)以判斷一種社會狀況是優(yōu)于，無差異于還是劣于另一種社會狀況。即可以用Social welfare function來度量社會福利。定義：SWF是社會狀態(tài)x的實(shí)值函數(shù)，是社會福利的測度，記作W(x)=G(w, (x),wn (x)Note:社會福利是社會中各成員所享受福利的綜合，而非總和；個(gè)人的福利 wi(x)與該成員對社會的貢獻(xiàn)、地位、個(gè)人的興趣、愛好等多種因素 有關(guān)3. 若用u i (x)表示社會狀態(tài)x帶給成員i的福利，貝y W(x)=G(u 1 (x),u n (x),n在相互效用獨(dú)立時(shí) G可表示為加性，即 W(x)= VjvuMx)但是，由于存在不確定性，設(shè)導(dǎo)致x

31、 j的自然狀態(tài)B j的概率為n ( 0 j)故應(yīng)有：max E二W(x) =W(Xj) 二何),所以社會福利的判斷極其復(fù)雜.j即使對確定性的xa) 各成員間的效用并不獨(dú)立：不患寡而患不均；b) 兩個(gè)人的福利相加并無意義(一個(gè)人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價(jià)),所以加性社會福利函數(shù)并無實(shí)際意義.而且使用SWF存在如下問題： 各成員的福利(效用)函數(shù)如何確定？ 人與人間的福利函數(shù)如何校定基準(zhǔn)值與比例尺，即如何進(jìn)行效用的人際比較？ 由誰評價(jià)？怎樣評價(jià)？即個(gè)人的誠實(shí)性與評價(jià)的公平性如何檢驗(yàn)？社會福利函數(shù)的實(shí)質(zhì)：是一種規(guī)則，是潛在的群決策過程，是從個(gè)人對社會狀況的排序得出社會總體排序的方法.二、偏

32、好斷面 (profile of preferenee ordering)(偏好分布)1(1)二個(gè)方案x y , xy ,x 討(2)三個(gè)方案R1 : x - y -z ,2R : xzy ,13,R : x - y - z記各方案間可能的偏好序集合r= R1 R2,R ,R S ，則可能的偏好序種類 S為方案數(shù)m234578只考慮強(qiáng)序時(shí)m! 26241207205040全部S313755414386460332儡燈巴丫面:記成員i的排序?yàn)镺i , 0疋r(n)偏好斷面 P = ( 01,02,0n)P r社會福利函數(shù)f : p r3. 可能的社會福利函數(shù)2個(gè)成員,2個(gè)方案成員的偏好序S=3時(shí),

33、f的定義域即偏好分布有3 2 = 9種,f的值域即群的排序?yàn)?,因此，f的可能形式有3 9 =19683種.27123個(gè)成員，2個(gè)方案時(shí)，f的可能形式有3=7.6256 X 10 種2個(gè)成員，3個(gè)方案時(shí)，f的可能形式有13 169 =1.8X 10 188種.3個(gè)成員，3個(gè)方案，只考慮強(qiáng)序時(shí)，f的可能形式有6216=1.2X 10 168種.在這許多可能形式中，哪些比較合理呢？ K. J. Arrow研究了社會福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的條件.三、Arrow的條件（即社會福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì)）條件1.完全域（廣泛性）U niversalitya）.m > 3b）.N > 2c）.社會福利函

34、數(shù)定義在所有可能的個(gè)偏好分布上；條件 2.社會與個(gè)人價(jià)值的正的聯(lián)系（Positive association of social and in dividual value）若對特定P,原來有X P y,則在P作如下變動后仍有有 X P yi. 對除x以外的方案成對比較時(shí)偏好不變ii. x與其他方案比較時(shí)或者偏好不變，或者有利于X。（有利于 X是指 xy x ' y或者 y r x x - i y或 x _i y）原來有x - G y,則在P作如上變動后仍有x - G y或x y條件 3 無關(guān)方案獨(dú)立性（I ndependenee of I rrelevant A lternative

35、s）i. A1 A , A1 U A1 = A 對A1中方案的偏好變化不影響A1中方案的排序 換言之ii. x , y的優(yōu)劣不因z的加入而改變.條件4.非強(qiáng)加性（公民主權(quán) Citizen'sovereignty）總要有某些成員認(rèn)為x r y時(shí)，才能有x 'G y.條件 5.非獨(dú)裁性（Non-Dictatorship ）群中任一成員i都沒有這樣的權(quán)力：x = yx 'G y此外，個(gè)人和群的優(yōu)先序應(yīng)滿足連通性（可比性），傳遞性.條件2加條件4即P areto條件.四、Arrow的可能性定理定理1 （m=2的可能性定理）若方案總數(shù)為2,過半數(shù)決策方法是一種滿足條件15的社會選

36、擇函數(shù)，它能對每一偏好分布產(chǎn)生一個(gè)社會排序。定理2 （一般可能性定理）即Arrow不可能定理若m3，社會中的成員可以對方案以任何方式自由排序，則滿足條件2和3且所產(chǎn)生的社會排序滿足連通性和傳遞性的社會福利函數(shù)就必定是，要么是獨(dú)裁的，要么是強(qiáng)加的。Arrow不可能定理的本質(zhì)是Condorcet效應(yīng)（投票悖論）的公理化描述.另一種表述法*:滿足（U.P.I）的防投票策略性選舉都可能產(chǎn)生一個(gè)獨(dú)裁者，即沒有一種選舉方法是非獨(dú)裁的且是防投票策略的.五、單峰偏 Black好與Coombs條件要使Arrow的不可能定理成為某種可能性定理，必須放松Arrow的條件1、2、3.首先放松條件1（完全域）.1. 單

37、峰偏好背景：在議會中，通?？筛鶕?jù)各黨團(tuán)的政治傾向從左到右（或從激進(jìn)到保守）依次排列.此時(shí)議員對各黨派（以及該黨派的議案或候選人）的排序就和這些黨派的政治傾向與議員本人的政治觀點(diǎn)的距離有關(guān)，即滿足單峰偏好約束.2. Coombs 條件背景：給a賦值n （aj）,成員i的理想點(diǎn)為Ii,方案a的優(yōu)劣與I n （a）-li I的大小成反比例.Coombs條件與單峰偏好的區(qū)別：Coombs條件要求對稱于Ii .3. 多樣性程度（不考慮，只考慮強(qiáng)序）Fb(m) = 2Fc (m )=(m -1)m+1華中理工大學(xué)學(xué)報(bào) 22（8）2m345710Fb(m)/m!2/38/2416/120.0131.41 X

38、 10Fc (m )/m!2/37/2411/120.0041.27 X 104.使過程多數(shù)規(guī)則具有傳遞性的偏好斷的規(guī)模六、SCF與SWF的比較同異：均為集結(jié)方法采用數(shù)學(xué)的投表決法（排序）以方案成對比較作基礎(chǔ) SWC的方案可以無限，SCF中方案有限性質(zhì)與條件：2 t單調(diào)性2+4t Pareto 最優(yōu)（一致性）（3）, 5 t匿性性1b自反連道J明確性§ 12.5群效用函數(shù)-、導(dǎo)致Arrow不可能定理的原因 否認(rèn)效用的基數(shù)性； 否認(rèn)效用的人際比較的可能性以咖啡或茶待客問題為例：甲認(rèn)為咖啡-茶乙認(rèn)為茶咖卩啡由甲乙構(gòu)成的群不能作結(jié)論但若拋開無關(guān)方案獨(dú)立性條件：甲認(rèn)為 咖啡-茶-牛奶-汽水-

39、可樂-啤灑乙認(rèn)為 茶-牛奶-汽水-啤灑-可樂-咖啡則似以茶待客為宜但是,若甲乙表達(dá)的對飲料的偏好強(qiáng)度如下乙的鴉用-茶汽水町樂1咖阱-茶汽水則仍以咖啡待客為宜即:若各成員的偏好可比強(qiáng)度可測，則集結(jié)成員偏好序就成了集地各成 員的基數(shù)效用這一效用函數(shù)滿足兩個(gè)公理和五個(gè)條件， 阿羅的不可能定理就成為可能定理、群效用函數(shù)與多目標(biāo)效用函數(shù)的比較形式相同：對方案的評價(jià)都涉及多個(gè)準(zhǔn)則實(shí)則不同：MAUF是由一個(gè)決策人作判斷的，只要量化他對各屬性的偏好（即可以由他一個(gè)人對各屬性值作權(quán)衡）這種量化是可以實(shí)現(xiàn)的；GUF要考慮群中各成員的偏好， 再設(shè)法集結(jié)，由于a+ui（x）仍是成員i的效用，如何確 定各成員的a（a為

40、效用基準(zhǔn)）、b（b為比例尺度）,使群中各成員的效用可比,這是很難（如果 不是不可能!）實(shí)現(xiàn)的有人提出：集結(jié)群體效用應(yīng)該找一個(gè)超脫于各成員之外，公正無私的人，他要想象自己處于群種各個(gè)成員的客觀地位且具有其相同的主觀愛好，去估計(jì)各種社會狀況對群中各成員的效用，再據(jù)以集結(jié)成群的效用但是,在現(xiàn)實(shí)生活中，不可能找到這樣的人 三、群決策提法本身存在缺陷在第一章中，我們指出：決策是自由意志行動因此,個(gè)人能決策；群不是統(tǒng)一實(shí)體，不具備自己意志，不能決策，群是社會的作用：群中成員只能決定: 如何投票；是否接受他人意見；是否要提反對意見§ 12.6談判與仲裁§ 1261引言一、群決策的分類Ha

41、rsanyi根據(jù)群中成員的行為準(zhǔn)則把群決策分為兩大類： 從倫理道德出發(fā)，追求群作為整體的利益，屬于集體決策，即社會選擇問題例如：委員會，董事會，智囊團(tuán)所作的決策; 追求自身利益及與他人對立的價(jià)值，是對策即博奕問題，談判可以歸入這一類二、研究沿革 1994 Von-Neuma nn-M orge nsterm,用數(shù)學(xué)模型研究談判問題 Nash（1950）談判問題（Bargaining Problem） Luce, R.D & Raifa, H（1957）, Games and Decision Raiffa, H.（1982）:The art and Scienee of Negotia

42、tion§ 12-6-2 Nash談判模型一、問題表述：甲、乙兩個(gè)談判者，效用分別為uq ）和u2（ ）；可行域?yàn)镽,現(xiàn)況點(diǎn)為（Xc,yjPareto最優(yōu)邊界QP的子集MN較現(xiàn)況點(diǎn)占優(yōu)勢，MN稱為談判集（見下圖）.1. 每個(gè)人都指望對方是合乎理性的；2. 談判雙方的效用函數(shù)（）和呼（）能足夠精確地反映各自的偏好 ；3. 任何協(xié)議一經(jīng)達(dá)成就具有強(qiáng)制性，不得違約.三、Nash提出的四條公理 一一為了預(yù)先求得談判結(jié)果公理一后果限于談判集內(nèi)談判雙方一致達(dá)成的協(xié)議點(diǎn)（x* ,y*）是談判集中的點(diǎn)，是可行的，Pareto最優(yōu)的，不劣于現(xiàn)況點(diǎn)的值。公理二對稱性如果可行域是對稱的，現(xiàn)況點(diǎn)是對稱的（即

43、若（x,y） R,則（y,x） R;Xc= yc ）,貝V達(dá)成的協(xié)議點(diǎn)也是對稱的（即 x=y ）。即取方均令乎理性：嶷略互為競象對稱協(xié)議點(diǎn)公理三策略上等價(jià)表示的不變性由U1( ) > U1 ( )= a 1 U1( )+3 1U2( )_. U2' ( )= a 2 U2( )+3 2構(gòu)成新問題，*若(X,y）是原問題的協(xié)議點(diǎn)，則（必 -1 ,2y2）是新冋題的協(xié)議點(diǎn)由此公理，在求解談判問題時(shí)不必對雙方的偏好強(qiáng)度作人際比較，且可以對談判問題進(jìn)行座標(biāo)變換使之規(guī)范化再求解。公理四無關(guān)方案獨(dú)立性有二個(gè)談判問題,若RRi ；兩個(gè)問題的現(xiàn)況點(diǎn)相同，且（xc,yc） R2，且第一個(gè)談判問題的

44、協(xié)議點(diǎn)（x*,y*） R2,貝y（x*,y*）也是談判問題二的協(xié)議點(diǎn).四、定理右公理一到四成立，且R中存在X> xc, y> yc的點(diǎn)，則（x , y ）唯一，它使定義在 R上的函數(shù)（X-xj（ y-yc）取極大值.更一般的，對n2的多人談判問題，Nash-Harsanyi談判模型為：nmaxi 丨以-c）i呂s. t. XiC1=1,2，,nx R其中Ci為判談人i的現(xiàn)況值，Xi為判談人i的后果，x =（X1,X2,xn）,R為x的可行域五、評注對實(shí)際的談判問題： Pareto邊界于復(fù)雜，難以求得 效用難以設(shè)定（足夠準(zhǔn)確）; 公理四的合理性可疑例:圖 12.3圖12.3之a(chǎn)所示為

45、談判問題一，現(xiàn)況點(diǎn)為(0,0),由于可行域的對稱性,以(0.5, 0.5)作為協(xié)議點(diǎn)是談判雙方都可以接受的；根據(jù)公理四，在R1二，可行域?yàn)镽2,見圖12.3之b.問題二的協(xié)議點(diǎn)仍為 大可能值的一半，雙方都能接受；可能值，即在談判中乙方未作任何讓步 的實(shí)力地位，沒有什么無關(guān)方案.中去掉無關(guān)方案R2，得到新的談判問題 (0.5, 0.5).在問題一中，談判雙方各得最 問題二中，甲方只得最大可能值的一半，而乙方得到了最大,甲對此肯定難以接受.事實(shí)上，可行域反映了談判人§ 12-6-3其他談判模型一、等效用法(即K-S法) 規(guī)范化問題：圖12.3之b所示的談判問題二可以規(guī)范化 如右圖取直線x

46、=y與談判集x=yx+y/2=1的解 y=x=2/3為談判問題的解非規(guī)范化問題，現(xiàn)況點(diǎn)為(xc,yc),談判集為X=g(y)時(shí)，協(xié)議點(diǎn)為Xmax xcx-Xc=(y-yc)ymax 一 ycx = g(y)對圖12.3之b所示的談判問題的解/ x=2y-x+y=1的解為(2/3, 1/3)二、中間一一中間法談判雙方各得最大效用的一半，再得潛在增量之半，如此繼續(xù)，直到到達(dá)談判集中的某一點(diǎn)(潛在增量：在不損害對方利益的情況下，某個(gè)談判人可以獲得的利益)例(同上圖).雙方先達(dá)到 G(0.5, 0.5)處，這時(shí)匕的潛在增量為0.25, y的潛在增量為 0.5;各得一半到達(dá)D(0.625, 0.75).

47、因?yàn)镈點(diǎn)在談判集上，D點(diǎn)就是協(xié)議電.般的，記(x0,yo)為現(xiàn)況點(diǎn)，(X0,Y0)為談判集中最大值,可以按下列步驟求得協(xié)議點(diǎn)第一步新的臨時(shí)協(xié)議點(diǎn)為： Xi+1=0.5(X+Xi)yi+i=o.5(Yi+yi)第二步 檢驗(yàn)(Xi+i, yi+i)是否在談判集上，若是，終止否則令 Xi+i = g(yi+i)Yi+i = f (Xi+i)轉(zhuǎn)第 -步這種方法的不足之處：在x '處y取得極大值時(shí)，x<x'處的可行域形狀與后果無關(guān)；即：在XV g(ymax)處可行域的變化不影響談判結(jié)果三、均衡增量法選足夠大的N,談判雙方各得潛在增量的i/N，得到新的臨地協(xié)議點(diǎn)；從新的臨地協(xié)議點(diǎn)出發(fā)

48、，重復(fù)上述步驟，逐步進(jìn)行達(dá)到談判集為止.(注意初始點(diǎn)的選定問題)記現(xiàn)況點(diǎn)為(x0,y0),選擇足夠大的正整數(shù)N,令：Xi+i=i/N g(yi)-xq+ Xiyi+i=i/Nf(Xi)-yi+ yii=o,i,2,反復(fù)迭代，直至產(chǎn)生協(xié)議點(diǎn).§ I2-6-4談判問題與效用一、談判問題建立在效用空間上的必要性由于相同的實(shí)物對不同的人有不同效用，在就有必要引入效用；由于策略表示的等價(jià)性，可避免效用的人際比較的困難二、使用效用存在的問題： 如何獲得足夠精確的效用函數(shù)， 鼓勵(lì)說謊：效用函數(shù)越凸的談判者好處越大，例：談判雙方要分配100元，達(dá)不成協(xié)議時(shí)雙方的收入均為0.設(shè)甲乙雙方均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的他

49、們關(guān)于貨幣x的效用函數(shù)均為In(i + x);設(shè)甲得y元，則乙得(100-y)元，他們的效用函數(shù)分 別為w=l n(i+y)u2=l n(i+i00-y)=l n(i0i-y)據(jù)此可得表i2.i(表中ui'為規(guī)范化的效用值)及圖i2.5表i2.i貨幣與效用對照表yi,25i0 ,203040506070809095i00In (i+y).69i.ii.742.43.043.433.7i3.934.ii4.264.394.5i4.564.62ui'.i5.238.388.52.66.74.8i.85.89.92.95.98.99i.0由于談判問題的對稱性，無論采用哪一種方法求解，

50、協(xié)議點(diǎn)均在點(diǎn)B(.85, .85)處，折合成貨幣,雙方各得50元.但是，如果談判人甲謊稱自己是風(fēng)險(xiǎn)中立的，即效用函數(shù)是貨幣 x的線性函數(shù)：ui=x (這比甲的真實(shí)效用函數(shù)凸)，而談判人乙真實(shí)地宣布自己的效用函數(shù)為In(1 + x).設(shè)甲分得z元，貝U有:ui=zu2=l n(101-z)據(jù)此可得表12.2和規(guī)范化的談判問題如圖12.6所示.z010203040506070809095100u1'0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.951.0U24.624.514.404.264.113.933.713.443.042.401.770U2 '1.0.98.95.92.89.85.81.79.66.52.390由于這時(shí)的談判可行域不對稱，采用不同的談判模型得到的協(xié)議點(diǎn)各不相同采用Nash模型求得的協(xié)議點(diǎn)為B (0.77, 0.69);采用等效用法、中間-中間法和均衡增量法求得的協(xié)議點(diǎn)分別為C(0.72, 0.72)、D(0.75, 0.71)和E(0.76, 0.70).由于規(guī)范化后的談判