初中數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)設(shè)計(jì)(共15頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)設(shè)計(jì) 杜紅衛(wèi)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有一個(gè)現(xiàn)象：當(dāng)解決數(shù)學(xué)某一問題遇到困難時(shí)，如果追根求源，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，往往是由于他們?cè)谀骋粋€(gè)或某一些概念處產(chǎn)生問題，而導(dǎo)致思維受阻。許多事實(shí)例證了正確地理解 數(shù)學(xué)概念是牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的金鑰匙?；诖?，我們就要對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)進(jìn)行分析，并且希望找到合理的概念教學(xué)的模式，以使教師的教課與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輕松而有成效。 一、什么是數(shù)學(xué)概念？概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的。

2、它是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。 可見，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生必須掌握的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一，是數(shù)學(xué)基本技能的形成與提高的必要條件，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。 為什么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解總是停留在表層，往往知其然，并不知其所以然？教學(xué)中如何進(jìn)行有效地概念教學(xué)，以使學(xué)生真正的理解概念？這是每名教師都在思考的問題。 二、 目前概念教學(xué)的現(xiàn)狀數(shù)學(xué)概念具有抽象性、發(fā)展性、生成性等特點(diǎn)，它的特點(diǎn)以及初中學(xué)生認(rèn)知的思維水平的限制性，決定了他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，會(huì)對(duì)一些抽象的、不常接觸的概念不容易理解，需要教師進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠參與到概念的發(fā)生與形成過

3、程中，了解概念的來(lái)龍去脈，理解概念的內(nèi)涵與外延，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)，以達(dá)到掌握并靈活運(yùn)用的程度。對(duì)于概念教學(xué)這個(gè)問題，在新課程實(shí)施以來(lái)，廣大教師都有了一定的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)了對(duì)概念教學(xué)的重視程度。但由于各種各樣的原因，事實(shí)上，大部分教師只是停留在思想的層面上，而行動(dòng)上仍然是傳統(tǒng)的教學(xué)模式。 案例 1 ：前不久聽一位教師關(guān)于“平方根”的概念教學(xué)課，上課開始，教師呈現(xiàn)一組面積不同的正方形，要求學(xué)生求邊長(zhǎng) x 。 這組題對(duì)于初二的學(xué)生來(lái)講，能夠很快的得到答案。由于邊長(zhǎng)都非負(fù)，所以學(xué)生的第一反應(yīng)說出的都是這組數(shù)的算術(shù)平方根，因?yàn)榻處熢O(shè)計(jì)要講平方根，所以要求學(xué)生寫出計(jì)算過程，

4、并強(qiáng)調(diào) ，然后取正舍負(fù)，再由這四個(gè)例子進(jìn)行抽象概括出平方根與算數(shù)平方根的定義：即 時(shí)，我們把 叫做 的平方根，其中正值又叫做 的算術(shù)平方根。接下來(lái)就是根據(jù)定義求一些非負(fù)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根的題組訓(xùn)練。表面上看，教師似乎讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的抽象概括的過程，但實(shí)質(zhì)上，教師的設(shè)計(jì)只是形式化的，并沒有使學(xué)生真正的參與到平方根的發(fā)生與形成過程中，沒有使學(xué)生真正弄清楚為什么 叫做 的平方根，所以可以想到學(xué)生只是機(jī)械的接受概念，在此基礎(chǔ)上照貓畫虎式進(jìn)行解題練習(xí)，這種做法一定會(huì)造成學(xué)生后期將平方根與算術(shù)平方根混淆。 案例 2：關(guān)于“同類項(xiàng)”的教學(xué)： 教師往往采用如下引入： 下面各式有何共同特點(diǎn)，請(qǐng)用簡(jiǎn)

5、潔的語(yǔ)言敘述： （ 1） ； （ 2） ,而后師生共同歸納出同類項(xiàng)的概念。 這樣的教學(xué)只是揭示了“同類項(xiàng)是什么”，而沒有揭示“為什么提出同類項(xiàng)的概念，為什么教學(xué)中這樣定義同類項(xiàng)概念”。這里涉及到科學(xué)分類的問題，分類是自然科學(xué)中的基本邏輯方法，通常是根據(jù)所研究的具體問題，選取恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)對(duì)象的屬性，把他們不重不漏地劃為若干類別，再分別加以研究，從某種程度上說，概念是對(duì)客觀事物按照某種需要進(jìn)行分類的產(chǎn)物，僅僅以事實(shí)為基礎(chǔ)形成的概念難以遷移。 案例 3：“矩形”概念的教學(xué)： 首先采用合作學(xué)習(xí)：用 6根火柴棒首尾順次相接擺成一個(gè)平行四邊形。 議一議：（1）能擺成多少個(gè)不同的平行四邊形？他們有什

6、么特點(diǎn)？ （2）在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的一個(gè)平行四邊形？說出你的理由。 （學(xué)生分組討論） 生 1：我們這組認(rèn)為，可以擺成無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形，他們的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分。 師：這些特點(diǎn)都是平行四邊形的性質(zhì)，鄰邊有什么特點(diǎn)嗎？ 生 1： (猶豫 )鄰邊不相等，其比值始終是 2： 1. 生 2：有一個(gè)面積最大的平行四邊形，即長(zhǎng)方形，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e等于底邊乘以高，如果擺成長(zhǎng)方形，高與平行四邊形的一邊相等，這樣面積才是最大的。（眾生疑惑） 師：你能說一下這個(gè)平行四邊形一個(gè)內(nèi)角的特點(diǎn)嗎？ 生 2：每個(gè)角都是直角。 師：實(shí)際上，平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是直角，我們把這樣的平行四邊形

7、就叫做矩形。 生 (嘩然）：這不是小學(xué)的長(zhǎng)方形嗎？ 教師在學(xué)生的疑惑聲中，畫出圖形，板書課題及矩形定義。 在這個(gè)案例中，教師創(chuàng)設(shè)情境，采用小組合作學(xué)習(xí)的形式，通過“平行四邊形什么時(shí)候面積最大”的問題引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，從而引入矩形的定義，卻沒有取得很好的教學(xué)效果： 1.很多學(xué)生對(duì)“當(dāng)平行四邊形是矩形時(shí)，面積最大”的知識(shí)沒有真正理解，實(shí)質(zhì)上這個(gè)問題是平行四邊形面積與垂線段性質(zhì)兩方面知識(shí)的綜合，它與矩形的定義沒有多大關(guān)系； 2.矩形的邊沒有特殊性，但教師卻要求學(xué)生說出鄰邊之比 2： 1，這無(wú)意中強(qiáng)調(diào)矩形鄰邊的不等性，使得在生成矩形概念時(shí)，學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)為，矩形就是長(zhǎng)方形； 3.這樣的問題設(shè)計(jì)很難在學(xué)生

8、頭腦中形成“矩形是平行四邊形一個(gè)內(nèi)角的特殊化”的概念。 教材把“矩形”安排在平行四邊形之后，就是因?yàn)樗翘厥獾钠叫兴倪呅?，因此完全可以用概念同化的方法進(jìn)行矩形概念的教學(xué)，這與以前學(xué)過的平行四邊形和將要學(xué)習(xí)的菱形、正方形在研究思路、方法上一脈相承，這樣的設(shè)計(jì)充分尊重學(xué)生的實(shí)際情況，可以使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)其類比思維的能力。盡管新課程倡導(dǎo)動(dòng)手操作、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，但更應(yīng)該根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)制訂教學(xué)策略，應(yīng)該以有利于學(xué)生知識(shí)的獲得、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)。 在我們的日常教學(xué)中，類似于以上的概念教學(xué)并不是少數(shù)，我們將目前部分教師的概念教

9、學(xué)模式進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納，可以分為以下幾類： （一）開門見山，教師直接給出定義，歸納注意事項(xiàng)、舉例讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)； （二）認(rèn)為概念教學(xué) = 解題教學(xué)，所以通過大容量訓(xùn)練，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)概念； （三）創(chuàng)設(shè)情境，但情境的選擇并不能揭示概念的本質(zhì)，只是為了設(shè)計(jì)情境而刻意安排的，讓人感到前后不夠協(xié)調(diào)； （四）注意到讓學(xué)生參與概念的形成過程，但在概念的分析過程中，缺乏與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系，總感覺每個(gè)概念都是孤零零的，沒有形成系統(tǒng)。 這些模式的教學(xué)，其效果往往事倍功半，耗費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間與精力，但知識(shí)掌握的一知半解，吃?shī)A生飯，對(duì)問題的解決，依靠簡(jiǎn)單的機(jī)械模仿，所有的訓(xùn)練都游離在知識(shí)的表層甚至知識(shí)之外。長(zhǎng)此以往

10、，必將使學(xué)生成為并不優(yōu)秀的“做題機(jī)器”，數(shù)學(xué)雙基也無(wú)法落實(shí)。鑒于此，反思我們的概念教學(xué)就顯得尤為重要，到底什么樣的概念教學(xué)模式可以稱之為好的，有效的教學(xué)模式是什么呢？我認(rèn)為應(yīng)該沒有統(tǒng)一的模式，教學(xué)有法、教無(wú)定法，只要教師能重視基本概念蘊(yùn)含的智力開發(fā)價(jià)值，注意充分挖掘基本概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的教育價(jià)值，能夠使學(xué)生掌握知識(shí)、發(fā)展能力的概念教學(xué)都是有效的、好的教學(xué)。 三、初中數(shù)學(xué)課堂概念教學(xué)的一些想法從教育與發(fā)展心理學(xué)的角度出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，以若干典型事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)

11、而獲得概念。數(shù)學(xué)概念要講背景、講思想、講應(yīng)用，概念教學(xué)則強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程，由于數(shù)學(xué)能力是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力，因此重視數(shù)學(xué)概括過程對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性。 概念的課堂教學(xué)大致經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別、概念應(yīng)用舉例、概念的鞏固練習(xí)。下面結(jié)合實(shí)例就其中關(guān)鍵環(huán)節(jié)談?wù)勗谠O(shè)計(jì)時(shí)的注意事項(xiàng)。 （一）概念的引入 概念的引入是概念課教學(xué)的起始步驟，是形成概念的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)教學(xué)中在教學(xué)方式上是以教師傳授為主，學(xué)生被動(dòng)接受學(xué)習(xí)，這顯然不利于新課程背景下創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)。課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“ 抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成

12、過程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式”。通過概念引入過程的教學(xué)，應(yīng)該使學(xué)生明確：“概念在生活中的實(shí)際背景是什么？”“為什么引入這一概念”以及“將如何建立這一概念”，從而使學(xué)生明確活動(dòng)目的，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提取有關(guān)知識(shí)，為建立概念的復(fù)雜智力活動(dòng)做好心理準(zhǔn)備。在引入過程中教師要積極地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有利于他們理解數(shù)學(xué)概念的各種情境，給學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓他們逐漸養(yǎng)成主動(dòng)探究的習(xí)慣，從而實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的通過主動(dòng)探究來(lái)獲取知識(shí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)不再單純地依賴于教師的講授，教師努力成為學(xué)習(xí)的參與者、協(xié)作者、促進(jìn)者和組織者。 我認(rèn)為在概念課的引入上，要樹立起讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的觀念，如果能讓學(xué)生產(chǎn)生

13、認(rèn)知沖突，對(duì)學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求，并主動(dòng)發(fā)現(xiàn)新概念是最佳途徑。這樣學(xué)生們?cè)谶\(yùn)用概念時(shí)不但“知其然”也“知其所以然”，同時(shí)還能培養(yǎng)他們的探究精神，激發(fā)學(xué)生的潛能。所以對(duì)于情境的設(shè)計(jì)，要結(jié)合概念的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)剡x取，特點(diǎn)不同，引入形式也就會(huì)存在差異：我們提倡借助生動(dòng)、豐富的實(shí)際問題引入概念，能夠與學(xué)生的生活密切結(jié)合，這樣往往比較具體、形象，學(xué)生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質(zhì)屬性，比如數(shù)與代數(shù)中的同類項(xiàng)、分式等，空間與圖形中的角、平行線、三角形等；但并非所有的數(shù)學(xué)概念都適宜用這種方法，比如前面提到的平方根，我認(rèn)為從數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)算關(guān)系角度入手，更容易理解（后面會(huì)具體分析）。下面介紹概念引入

14、的三種想法： 1. 聯(lián)系概念的現(xiàn)實(shí)原理引入新概念。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察有關(guān)實(shí)物、模型、圖示等，讓學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，建立概念，理解概念的實(shí)際內(nèi)容，搞清楚這些概念是從什么問題上提出來(lái)的。例如：在平面幾何平行線的教學(xué)中，可以讓學(xué)生觀察單線練習(xí)本中的一組平行線，分析這組線的位置特點(diǎn)，再利用相交線作對(duì)比，然后概括出平行線的定義；在圓的概念的教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的一端固定，另一端栓一支鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的圖形是什么？學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐，觀察所畫出來(lái)的圖形，歸納總結(jié)出圓的定義。 2. 從具體到抽象引入新概念。數(shù)學(xué)概念有具體性和抽象性雙重特性。在教學(xué)中就可以從它具體

15、性的一面入手，使學(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概念。例如：在講線線垂直的概念時(shí)，先讓學(xué)生觀察教室或生活中的各種實(shí)例，再模擬出線線垂直的模型，抽象出其本質(zhì)特征，概括出線線垂直的定義，并畫出直觀圖，即沿著實(shí)例、模型、圖形直至想像的順序抽象成正確的概念，再比如對(duì)于一元一次方程的概念，可以借助一些簡(jiǎn)單的實(shí)例，讓學(xué)生列方程，然后觀察這些具體方程的共同點(diǎn)，從具體到抽象歸納概括出一元一次方程的定義。 案例 4 ：對(duì)于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，教師展示熟悉的生活實(shí)例，確立了一個(gè)學(xué)生熟悉的認(rèn)知對(duì)象，由學(xué)生熟悉的鋪地用的各種形狀、各種顏色的地磚鋪地時(shí)的圖案入手。 提出問題 1 ：觀察圖案 1 至 4 ，用正六邊形黑白兩色地磚鋪

16、地時(shí)黒磚塊數(shù)與圖案序號(hào)之間的數(shù)量關(guān)系是什么？ 學(xué)生答案是：圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號(hào)相等。 提出問題 2 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時(shí)的鋪法不變，請(qǐng)問第五個(gè)、第六個(gè)圖案中黑磚塊數(shù)是多少？與圖案序號(hào)之間的關(guān)系是什么？理由是什么？ 學(xué)生答案是：第五個(gè)圖案中的黑磚塊數(shù)是 5 ，第六個(gè)圖案中的黑磚塊數(shù)是 6 ，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號(hào)相等”的規(guī)律不變。 提出問題 3 ：請(qǐng)同學(xué)們思考，如何使圖案序號(hào)與黒磚塊數(shù)之間的關(guān)系一目了然呢？ （學(xué)生思考，最后達(dá)成共識(shí)：列一個(gè)圖案序號(hào)為第一行，黒磚塊數(shù)為第二行的表格，學(xué)生順便體會(huì)到了在處理大量數(shù)字或者相關(guān)問題時(shí)的處理方法） 圖案序號(hào)

17、 1 2 3 4 5 6 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 提出問題 4 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時(shí)的鋪法不變，請(qǐng)問第任意個(gè)圖案中黒磚塊數(shù)是多少？與圖案序號(hào)之間的關(guān)系是什么？理由是什么？ 學(xué)生 1 的解答：第任意個(gè)圖案中黒磚塊數(shù)是任意個(gè)，與圖案序號(hào)之間是相等關(guān)系，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號(hào)相等”的規(guī)律不變，即： 圖案序號(hào) 1 2 3 4 5 6 第任意個(gè)圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 任意個(gè) 學(xué)生 2 的解釋：學(xué)生 1 列的表格中的“第任意個(gè)圖案”、“任意個(gè)”我覺得可以不用文字，但是也不能用具體的數(shù)來(lái)說明“第任意個(gè)圖案”中黒磚塊數(shù)的任意性，怎么表示呢？

18、學(xué)生 3 解釋：用字母表示“任意個(gè)”，因?yàn)椤叭我鈧€(gè)”可以是 23 、123 、100 等等，但是一個(gè)具體的數(shù)不能表示任意性、一般性，我認(rèn)為用一個(gè)字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一個(gè)整數(shù)。 學(xué)生 3 把表格改寫為： 圖案序號(hào) 1 2 3 4 5 6 第 n 個(gè)圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 n 至此，學(xué)生初步體會(huì)到表示任意性、一般性的問題時(shí)需要一個(gè)新的表示數(shù)的方法，體會(huì)到這類問題不用字母表示不行了，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“字母表示數(shù)”的必要性的學(xué)習(xí)情節(jié)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“字母表示數(shù)”的重要性，從而激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索有關(guān)內(nèi)容的欲望，學(xué)生自己認(rèn)為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經(jīng)歷、主動(dòng)

19、、積極地投入到所要做的事情中來(lái)，這樣的學(xué)習(xí)才是最有效果的。 3. 用類比的方法引入概念。類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通過同類項(xiàng)的定義類比地歸納出同類二次根式的定義，通過類比分?jǐn)?shù)得到分式的概念，類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)等概念。作這樣的類比更有利于學(xué)生理解和區(qū)別概念，在對(duì)比之下，既掌握了概念，又可以減少概念的混淆。 概念的引入方法很多，設(shè)計(jì)時(shí)不僅要考慮概念自身的特點(diǎn)，還要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平及生活經(jīng)驗(yàn)，本著有利于突顯概念本質(zhì)的原則。就拿上面提到的平方根概念的教學(xué)引入為例，我認(rèn)為首先要思考為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念？不學(xué)行不行

20、？其次還要弄清這個(gè)概念對(duì)學(xué)生來(lái)講產(chǎn)生理解它的困難的原因：以前學(xué)生大多接觸的是答案唯一的情況，而正數(shù)的平方根都是兩個(gè)，互為相反數(shù)，答案不唯一了，這與學(xué)生已有的思維習(xí)慣產(chǎn)生了沖突，所以學(xué)生非常不習(xí)慣，而前面所提到的這位教師所借助的利用已知正方形面積求邊長(zhǎng)的問題設(shè)計(jì)，并沒有突破這個(gè)難點(diǎn)，相反，容易造成平方根與算術(shù)平方根的混亂，實(shí)際上，在他所設(shè)置的背景下，應(yīng)該先介紹算術(shù)平方根更好，因?yàn)閷?shí)際生活中，涉及到開方問題的結(jié)果，絕大部分都是非負(fù)數(shù)，并不能形象地揭示平方根的兩個(gè)結(jié)果，所以，人教版教材就先安排的是算術(shù)平方根，然后，在不限定字母的取值范圍時(shí)，再引入平方根的概念，有利于突出兩個(gè)概念的區(qū)別，在對(duì)比中加深對(duì)

21、平方根概念的理解。其實(shí)我認(rèn)為，平方根的概念與其以生活實(shí)際為背景引入，不如從平方與開平方互為逆運(yùn)算的角度引入更有利于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。因?yàn)閷W(xué)生已學(xué)過的加減互為逆運(yùn)算、乘除互為逆運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上研究乘方的逆運(yùn)算 - 開方。 案例 5 ：設(shè)計(jì)如下：教師首先利用競(jìng)賽的形式，給出兩組練習(xí)，要求學(xué)生口答后，觀察兩組題目的區(qū)別與聯(lián)系：  這種引入概念的方法，是建立在新舊知識(shí)的聯(lián)系上，充分考慮學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在具體數(shù)值的計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一組題已知底數(shù)、指數(shù)，求冪，第二組已知冪、指數(shù)，求底數(shù)，在此基礎(chǔ)上學(xué)生能夠從特殊推廣到一般。當(dāng)學(xué)生由具體到抽象得到 時(shí)，教師可以提出：此時(shí)將已知數(shù) a

22、 仍叫做冪、 x 叫做底數(shù)合適嗎？學(xué)生回憶加減法互逆后以及乘除法互逆后各數(shù)的名稱都發(fā)生了變化，所以 中各部分的名稱也應(yīng)相應(yīng)改變。教師可以不急于給出平方根的概念，而讓學(xué)生結(jié)合式子的特點(diǎn)給 x 命名，由于 a 是已知數(shù)，此式從形式上看是一元二次方程，而求 x 就相當(dāng)于求方程中的未知數(shù)，結(jié)合已有知識(shí)，學(xué)生能夠想到諸如“二次方程的根 ( 解 ) ”“平方的根”等，在此基礎(chǔ)上，教師再規(guī)范成“平方根”，這樣會(huì)更有利于學(xué)生對(duì)平方根的理解，因?yàn)樵趨⑴c命名時(shí)，學(xué)生就要認(rèn)真分析式子以及結(jié)果的特點(diǎn)，對(duì)理解概念有幫助，在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)生活中的實(shí)例，使學(xué)生感受到生活中更多的是應(yīng)用平方根中那個(gè)非負(fù)的，順勢(shì)提出非負(fù)的平方根

23、如何命名？學(xué)生結(jié)合小學(xué)學(xué)的都是算術(shù)，很容易說出算術(shù)平方根。這也保證與數(shù)學(xué)結(jié)果唯一的特性一致了。此外，在分析 時(shí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，式子中的三個(gè)量，知其二，可以求第三個(gè)，為后續(xù)高中學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。再比如，前面舉過的“矩形”概念的教學(xué)，另一位老師是這樣設(shè)計(jì)的： 案例 6 ：首先借助幾何畫板： 師：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，那么它的邊、角、對(duì)角線有什么性質(zhì)？ 他有什么樣的對(duì)稱性？ 生（齊答）： 對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分；是中心對(duì)稱圖形。 師：它具有穩(wěn)定性嗎？那么，若把一個(gè)內(nèi)角 A變成一個(gè)直角，（如圖，拖動(dòng)點(diǎn) A，使角 A變成 90度）。這時(shí)，平行四邊形 ABCD是我們熟悉的什

24、么圖形？  生：正方形！我知道了，當(dāng)平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是長(zhǎng)方形或正方形。從而引入矩形的概念。 在這個(gè)教學(xué)案例中，教師充分考慮了所教內(nèi)容的系統(tǒng)性及學(xué)生的已有知識(shí)及認(rèn)知水平，概念的形成給人水到渠成的感覺。 此外，函數(shù)概念的教學(xué)一直是初中教學(xué)中的難點(diǎn)，因其抽象性而令學(xué)生“望而卻步”。函數(shù)的特點(diǎn)是什么？學(xué)生感到困難的主要原因是什么？我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，都要考慮到。函數(shù)從學(xué)科角度看，研究對(duì)象由定到動(dòng)，思維方式由靜止到運(yùn)動(dòng)，而學(xué)生的困難主要源于函數(shù)概念的高度抽象性以及函數(shù)表達(dá)形式的多樣性和思維方式的變化。教學(xué)時(shí)，就要考慮到這些問題，生活中存在大量的函數(shù)實(shí)例，在選擇時(shí)要注意

25、所選實(shí)例不僅應(yīng)該是學(xué)生熟悉的、感興趣的，還要考慮到實(shí)例中要包含函數(shù)的三種表示形式 - 解析法、列表法、圖像法，使學(xué)生從不同的角度，多方位地理解函數(shù)概念 - 從變化、對(duì)應(yīng)到形成概念，繼而概念辨析，分層次使學(xué)生逐步加深對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。 對(duì)于三角形中位線概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，有老師可能利用生活中的實(shí)例引入，也有的老師利用它與三角形中線的區(qū)別與聯(lián)系引入，其實(shí)還可以借助學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)引入。 案例 7 ：事先讓每位學(xué)生準(zhǔn)備一張三角形紙片和剪刀，課上讓學(xué)生思考，只剪一刀，將剪成的兩張紙片拼成一個(gè)平行四邊形。學(xué)生很樂于參與這種動(dòng)手操作的活動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)也不難完成活動(dòng)（如圖），但當(dāng)教師提出“說說你的裁剪方法”時(shí)，

26、學(xué)生只能用生活語(yǔ)言，如“沿三角形的中間剪的”，說不出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察裁剪線的端點(diǎn)具有什么樣的特征？有實(shí)物模型加上學(xué)生動(dòng)手剪拼，可以得到 D 、 E 均為各邊的中點(diǎn)。那么，它能叫中線嗎？如果不能，我們可以給它起個(gè)什么名字？讓學(xué)生嘗試命名，根據(jù)它位置的特殊性，學(xué)生在教師的啟發(fā)下，可以得到中位線的概念。這樣的設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，而且為后續(xù)探究中位線的性質(zhì)埋下了伏筆，可謂一舉多得。 由上面的分析可以看出，概念的引入方式?jīng)]有統(tǒng)一的模式，總的原則是通過教師創(chuàng)設(shè)典型、豐富的具體實(shí)例（可以讓學(xué)生自己舉例），引導(dǎo)學(xué)生展開分析、比較、綜合等活動(dòng)，在此基礎(chǔ)上，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的

27、本質(zhì)屬性。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生的思考，引入的形式應(yīng)該多種多樣，可以是問題導(dǎo)入、游戲?qū)?、史話?dǎo)入等等。 （二）概念的剖析及辨析概念生成之后，應(yīng)用概念解決問題之前，往往要進(jìn)行概念剖析，即用實(shí)例（包括正例與反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對(duì)概念特性的考察，可以達(dá)到明確概念、再次認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會(huì)概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。 案例 8 ：函數(shù)定義： 在某一變化過程中有兩個(gè)變量 x， y，對(duì)于 x的每一個(gè)值， y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)， y叫作 x的函數(shù)，其中 x叫做自變量， y叫做因變量。 教師引導(dǎo)學(xué)生分析概念中的關(guān)鍵詞： 兩個(gè)變量； 對(duì)

28、應(yīng)； x 的每一個(gè)值； y 唯一確定 . 關(guān)鍵詞中的“每一個(gè) ”、 “唯一確定 ”是指對(duì)于 x取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值， y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，不能有兩個(gè)或者兩個(gè)以上與其對(duì)應(yīng)。   在此基礎(chǔ)上，給出一些具體問題，讓學(xué)生嘗試?yán)酶拍钸M(jìn)行辨析練習(xí)，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)概念的理解。如 有一位學(xué)生的考試情況是這樣的：   讓學(xué)生分析每次考試的分?jǐn)?shù)與序號(hào)之間是否具有函數(shù)關(guān)系？ 再比如：在 中， y 是不是 x 的函數(shù)？那么反過來(lái) x 是不是 y 的函數(shù)呢？ 還可以給出右圖，讓學(xué)生對(duì)圖像中 y 與 x 的關(guān)系進(jìn)行判斷，是否具有函數(shù)關(guān)系然后利用兩個(gè)圖像進(jìn)行對(duì)比，從中體會(huì)“唯一”的含義。 還可以

29、讓學(xué)生自己舉出一些例子，大家一起判斷所舉例子是否存在函數(shù)關(guān)系。 在概念剖析練習(xí)中，進(jìn)一步體會(huì)概念的內(nèi)涵與外延，認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)。 此外，在剖析概念時(shí)通常要對(duì)概念的多種表示語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要是文字?jǐn)⑹觥⒎?hào)表示、圖形表示，要會(huì)三者的翻譯，同時(shí)更重要的是強(qiáng)調(diào)符號(hào)感。 三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換在空間與圖形的教學(xué)中體現(xiàn)得較為充分。例如：在講三角形的中位線的概念時(shí)，得到定義“聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線”后，往往會(huì)要求學(xué)生根據(jù)定義畫出與之相對(duì)應(yīng)的圖形，然后，要求學(xué)生嘗試用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示定義。即：在 ABC 中， D 為 AB邊中點(diǎn)， E為 AC邊中點(diǎn)， DE為 ABC 的中位線。（三角形中位線

30、定義） 反之，已知： DE 為 ABC 的中位線， D 為 AB邊中點(diǎn)， E為 AC邊中點(diǎn)。（三角形中位線定義） 兩個(gè)角度的描述，體現(xiàn)定義的雙重性（性質(zhì)、判定），然后讓學(xué)生畫出三角形中所有的中位線，進(jìn)一步體會(huì)它的位置特征。往往還會(huì)要求學(xué)生將中位線與三角形的中線進(jìn)行對(duì)比，找相同點(diǎn)與差異，在對(duì)比中進(jìn)一步熟悉三角形的中位線。 再比如案例 9：全等三角形的概念： 引入全等形的概念“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形 ”后 ,給出一組判斷題：判斷下列三組圖形是否是全等形： 第一組：兩個(gè)三角形； 第二組：兩面中國(guó)國(guó)旗 第三組：兩個(gè)六邊形 其中第三組圖片，教師根據(jù)學(xué)生回答，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示其中一個(gè)圖形通過

31、平移、旋轉(zhuǎn)后是否與另一個(gè)圖形重合的過程，從而驗(yàn)證學(xué)生的判斷，鞏固全等形的概念 . 提問 ：你認(rèn)為兩個(gè)圖形是全等形應(yīng)具備哪幾個(gè)條件？ 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：（ 1）形狀相同；（ 2）大小相等。 你還能再舉出生活中具有全等形的例子嗎？學(xué)生在思考問題的過程中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)全等形的概念。其中對(duì)于概念中所涉及到的圖形，要注意采用圖形變式，加強(qiáng)對(duì)概念的理解。比如，圓中直徑的概念，有的教師教學(xué)中一般畫出的圖形如圖 1，忽視了其他的情況，造成有些不愛動(dòng)腦筋的學(xué)生的定勢(shì)思維，認(rèn)為只有滿足圖 1的情形， AB才叫直徑，對(duì)于變式圖形中的直徑識(shí)別不出來(lái)。所以在概念教學(xué)中圖形的變式訓(xùn)練，有利于突出概念的本質(zhì)，只要抓住概

32、念的本質(zhì)，就可以保證無(wú)論圖形如何改變，都能從中找到研究的對(duì)象。 （三）相關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，概念教學(xué)還應(yīng)該承擔(dān)著建立與相關(guān)概念的聯(lián)系的任務(wù)，教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生試著對(duì)概念進(jìn)行適度的聯(lián)系與發(fā)散，努力找出概念間一些體現(xiàn)共性的東西，以使學(xué)生形成功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 案例 10 ：對(duì)于三角函數(shù)的教學(xué)，我們先對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)特征進(jìn)行逐層剖析，再通過類比，來(lái)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)： 如圖，在銳角 （不妨令 BAC= ）的一邊上任取一點(diǎn) B ，作 BC AC ，垂足為點(diǎn) C ，當(dāng) 確定時(shí)，三個(gè)相應(yīng)的比值 、 、 隨之確定，與點(diǎn) B 的位置無(wú)關(guān)；而當(dāng)銳角 變化時(shí)，三個(gè)

33、相應(yīng)的比值隨之變化說明變量的存在性“存在某個(gè)變化過程”； “在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量 ”（不妨令 ，以此為例）說明三角函數(shù)同樣是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系；“對(duì)于 在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值”說明變量 的取值是有范圍限制的，即在銳角范疇內(nèi)研究它們；“ 有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)”說明有唯一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)律，由以上類比剖析可知，銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)同樣是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系不能像一次函數(shù)那樣用解析式表示，只能用特定的符號(hào)來(lái)表示，這也是它與以前所學(xué)代數(shù)函數(shù)的區(qū)別所在。 另外，教學(xué)中還要使學(xué)生明白：銳角三角函數(shù)概念的建立，是對(duì)函數(shù)概念的一種升華，即從對(duì)應(yīng)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)。對(duì)應(yīng)的角度的認(rèn)識(shí)：可以

34、 是一對(duì)一，也可以是多對(duì)一（如二次函數(shù)），但不能是一對(duì)多的，掌握了這一點(diǎn)，我們可以據(jù)此進(jìn)行一些訓(xùn)練，概念通過這樣的聯(lián)系與發(fā)散，同學(xué)們一定會(huì)對(duì)三角函數(shù)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。 再比如，對(duì)于二次函數(shù)的教學(xué)，可以類比一次函數(shù)進(jìn)行定義，此外還要引導(dǎo)學(xué)生分析它與二次方程、二次不等式以及二次代數(shù)式四者之間的關(guān)系。使學(xué)生對(duì)它們有全面的認(rèn)識(shí)，知識(shí)點(diǎn)串成線，最后結(jié)成網(wǎng)，必然有利于知識(shí)的理解與應(yīng)用。 再有，對(duì)于梯形的教學(xué)，教師首先要認(rèn)識(shí)到，它是一個(gè)組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒什么性質(zhì)，而是通過圖形分解，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來(lái)解決問題的。其次教師要將這一點(diǎn)傳遞給學(xué)生，學(xué)生如果明確了，

35、那么也就能自覺地添加輔助線解決問題了。如果進(jìn)一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對(duì)于如何添加輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別困難了。 （四）概念的應(yīng)用舉例與訓(xùn)練鞏固概念的形成是一個(gè)由個(gè)別到一般的過程，而概念的運(yùn)用是一個(gè)由一般到個(gè)別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個(gè)階段。通過運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運(yùn)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。 因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應(yīng)用。根據(jù)不同概念的特點(diǎn)，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，激勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理解，才能使學(xué)生學(xué)得好、學(xué)得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡(jiǎn)單

36、例子，使學(xué)生形成用概念做判斷的具體步驟。 例如：在全等三角形的教學(xué)中，對(duì)于定義不難理解，但是在應(yīng)用定義的性質(zhì)解決問題時(shí)，學(xué)生往往由于找不準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角而出現(xiàn)問題，為了突破這個(gè)難點(diǎn)，可以安排如下例題： （1）指出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角； （2）在此圖形中，你還能得到哪些結(jié)論？闡述你的理由。 預(yù)案 ： AB FD， AC FE， BD=CE等等。 （3）教師拖動(dòng)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，學(xué)生觀察圖形的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：兩個(gè)三角形形狀雖然改變了，但它們?nèi)鹊年P(guān)系仍舊保持不變。得出結(jié)論后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的變化，并得出結(jié)論：雖然長(zhǎng)度和角度發(fā)生了變化，但對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等這一

37、結(jié)論卻始終保持不變。 這一環(huán)節(jié)通過改變?nèi)切蔚男螤?，讓學(xué)生感受到全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角在圖形變換中相等這一關(guān)系始終保持不變的性質(zhì)，從而樹立“對(duì)應(yīng)”思想。 （4）教師將 FDE 進(jìn)行 平移，改變兩個(gè)全等三角形的位置關(guān)系，讓學(xué)生觀察對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的變化，并引導(dǎo)學(xué)生思考在圖形的運(yùn)動(dòng)變換過程中還有哪些關(guān)系保持著不變的性質(zhì)。 通過改變兩個(gè)全等三角形的位置關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)全等變換，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力。 接下來(lái)可以讓學(xué)生自己動(dòng)手操作： 兩人一機(jī)，利用幾何畫板操作平臺(tái)探究并完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告（見下表） . 要求： 1對(duì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告中的由全等三角形圖形變換得到的組合圖形進(jìn)行探究，指出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角； 2 通過幾何畫板課

38、件動(dòng)態(tài)操作演示，研究每組圖形所具有的特殊的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，將結(jié)論填寫在實(shí)驗(yàn)報(bào)告上， 然后全班交流、師生共同評(píng)價(jià)，并對(duì)學(xué)生給予及時(shí)的鼓勵(lì)。 通過學(xué)生的小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的交流能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示可幫助學(xué)生識(shí)別對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。 例 2：已知 :如圖，長(zhǎng)方形 ABCD沿 AM折疊，使點(diǎn) D落在 BC上的 N點(diǎn)處 如果 AD=10， DAM=25°， 則 AN=_ , NAB=_ 通過此題的解決，教師引導(dǎo)學(xué)生反思得出：全等三角形的性質(zhì)提供了相等的線段和相等的角，為今后的證明開拓了解題的思路。通過例題配備，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行及時(shí)反饋，使學(xué)生能夠利用全等的概念和性質(zhì)解決問題。 再比如，對(duì)于二次函數(shù)概念教學(xué)中的例題配備，要注意梯度與層次。 練習(xí) 1 ：下面各函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？