立體幾何怪難題-理科

1、. 立體幾何提升訓(xùn)練【例1】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，垂直于底面，分別為的中點(diǎn)。 (1)求證：；（2）求與平面所成的角；（3）求截面的面積。解：（1）證明：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以。 由底面，得，又，即，平面，所以 ，平面， 。（2）連結(jié)， 因?yàn)槠矫?，即平面，所以是與平面所成的角， 在中，在中，故，在中, ，又，故與平面所成的角是。 （3）由分別為的中點(diǎn)，得，且，又，故，由（1）得平面，又平面，故，四邊形是直角梯形，在中， 截面的面積。（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示（圖略）由，得，因?yàn)?，所以。（2）因?yàn)?所以，又 ，故平面，即是平面的法向量。設(shè)與平面所成的角為，又。則，

2、又，故，即與平面所成的角是。 因此與平面所成的角為，【例2】如圖，已知是底面為正方形的長方體，點(diǎn)是上的動點(diǎn)（1）試判斷不論點(diǎn)在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正切值的最大值解：（1）不論點(diǎn)在上的任何位置，都有平面垂直于平面.證明如下：由題意知，又平面又平面平面平面（2）解法一：過點(diǎn)P作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中 , ， 又在中，異面異面直線與所成角的余弦值為解法二：以為原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，異面異面直線與所成角的余弦值為（3）由（1）知，平面，是與平

3、面所成的角，且當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，由得，即與平面所成角的正切值的最大值【例3】已知平面，與交于點(diǎn)，（1）取中點(diǎn)，求證:平面。（2）求二面角的余弦值。解法1:(1)聯(lián)結(jié)，AC=AC，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，平面（2）聯(lián)結(jié)，在等邊三角形中,中線，又底面， ， 平面平面。過作于，則平面，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，則等腰三角形中，平面，是二面角的平面角等腰直角三角形中，等邊三角形中，Rt中，.二面角的余弦值為。 解法2：以分別為軸，為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，是等邊三角形，且是中點(diǎn)，則、（1），平面（2）設(shè)平面的法向量分別為，.則的夾角的補(bǔ)角就是二面角的平面角；，由及得，二面角的余弦值為?！纠?】如圖，已知A

4、B平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點(diǎn)。 （I）求證：AF/平面BCE； （II）求證：平面BCE平面CDE； （III）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小?！窘狻浚↖）解：取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP、BP，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)P/DE，且FP= 又AB/DE，且AB=AB/FP，且AB=FP， ABPF為平行四邊形，AF/BP。又AF平面BCE，BP平面BCE， AF/平面BCE。 （II）ACD為正三角形，AFCD。AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF。又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE。 又BP/AF，B

5、P平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE。 （III）由（II），以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸（如圖），建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.設(shè)AC=2，則C（0，1，0），顯然，為平面ACD的法向量。設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為，即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°?！纠?】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD， ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點(diǎn)（）證明：CD平面BEF；（）設(shè)，求k的值.解：（）證明： PA平面ABCD，ADCD. CD平面BEF （）連結(jié)AC且交BF于H，可知H是AC中點(diǎn)，

6、連結(jié)EH,由E是PC中點(diǎn),得EHPA, PA平面ABCD.得EH平面ABCD，且EH. 作HMBD于M，連結(jié)EM，由三垂線定理可得EMBD.故EMH為二面角EBDF的平面角，故EMH=600. RtHBMRtDBF, 故.得, 得 .在RtEHM中，得 解法2：（）證明，以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)PA = k,則,得有(). 設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量，則 得 取由 得【例6】如圖，在棱長都相等的四面體ABCD中，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)， (1)設(shè)側(cè)面ABC與底面BCD所成角為，求tan. (2)設(shè)CE與底面BCD所成角為，求cos. (3)在直線BC上是否存在著點(diǎn)F，使直線AF與C

7、E所成角為90°，若存在，試確定F點(diǎn)位置；若不存在，說明理由。答案：解：(1)連AF、DF，由ABC及BDC是正三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，得AFBC，DFBC，AF=DFAFD為二面角A-BC-D的平面角 設(shè)棱長為a，在ABC中，AF=，DF= 在AFD中，(2)法一：BC面ADF，BC面BCD AEBCDyOxz面ADF面BCD在面ADF中，過E作EGDF，則EG面BCD，連CG，則ECG=又AF=DF，E為AD中點(diǎn)，故EFAD在RtDEF中，EF=DE=，由得在RtCEG中，法二：設(shè)AO面BCD于O，則O為等邊三角形，BCD為中心，設(shè)BC中點(diǎn)為M，CD中點(diǎn)為N，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM所

8、在直線為x軸，ON所在直線為y軸，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系0-xyz，設(shè)棱長為2a，則0(0,0,0)，A(0,0，a),C(a,a,0),D(-a,0,0)，E(-a,0,a)0,0，a，(-a,-a,a)cos<>=CE與面BCD所成角的余弦值為cos= sin<>=(3)法一：設(shè)F(a,y,0)，則又，y=-2aF(a,-2a,0),即F在CB處長線上，且FB=BC法二：設(shè)，B、C、F三點(diǎn)共線，又F在CB延長線上，且FB=BC【例7】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側(cè)面底面，且,若、分別為線段、的中點(diǎn)(1) 求證：直線/ 平面；(2) 求證：平面平

9、面； (3) 求二面角的正切值.(1)證明：連結(jié)，在中/且平面，平面(2)證明：因?yàn)槊婷嫫矫婷嫠?，平?又，所以是等腰直角三角形，且即，且、面面又面面面(3)解：設(shè)的中點(diǎn)為,連結(jié),則由()知面,面是二面角的平面角中，故所求二面角的正切為另解：如圖,取的中點(diǎn), 連結(jié),., .側(cè)面底面, ,而分別為的中點(diǎn),又是正方形,故.,.以為原點(diǎn),直線為軸建立空間直線坐標(biāo)系,則有,.為的中點(diǎn), .（1）易知平面的法向量為而,且, /平面.(2),從而,又,而, 平面平面(3)由(2)知平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為.,由可得,令,則,故,即二面角的余弦值為,二面角的正切值為.【例8】如圖,在梯形中,MFE

10、CDBA,平面平面,四邊形是矩形,點(diǎn)在線段上.(1)求證:平面;(2)當(dāng)為何值時(shí),平面"證明你的結(jié)論;(3)求二面角的平面角的余弦值.（）在梯形中，四邊形是等腰梯形，且 2分又平面平面，交線為，平面 4分（）解法一、當(dāng)時(shí)，平面， 5分在梯形中，設(shè)，連接，則 6分，而， 7分，四邊形是平行四邊形， 8分又平面，平面平面 9分解法二：當(dāng)時(shí)，平面，由（）知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 5分xDyzCOFBAE則，平面，平面與、共面，也等價(jià)于存在實(shí)數(shù)、，使，設(shè).，又，從而要使得：成立，需，解得當(dāng)時(shí)，平面（）解法一、取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，平面又，又，是二面角的平面角.在中

11、,. 又.在中，由余弦定理得, xDyzCOFBAE即二面角的平面角的余弦值為.解法二:由()知,以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,，過作,垂足為. 令, 由得,即,二面角的大小就是向量與向量所夾的角. 即二面角的平面角的余弦值為. 【例9】ABDCEF如圖，已知中，平面，、分別是、上的動點(diǎn)，且（1）求證：不論為何值，總有平面平面；（2）若平面與平面所成的二面角的大小為，求的值。解法一：（向量法）：ABDCEFMNxyz過點(diǎn)作平面平面又在中，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系又在中，又在中，則（1）證明： 又平面又在中，、分別是、上的動點(diǎn)，且不論為何值，都有平面又平面不論為

12、何值，總有平面平面（2），,，又， ，設(shè)是平面的法向量，則又，,=(0,1,0),令得， 是平面的法向量，平面與平面所成的二面角為，或（不合題意，舍去），故當(dāng)平面與平面所成的二面角的大小為時(shí)解法二：， , 設(shè)E（a,b,c）,則，a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,)。 其余同解法一（2）解法三：設(shè)是平面的法向量，則， 又在中，又在中，又，且又令得其余同解法一【例10】如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得AB=2，BD=1，CE=3，AF=，O為AB的中點(diǎn)（I）當(dāng)時(shí)，求證：OC/平面DEF；（II）當(dāng)時(shí)，求平面DEF與平面AB

13、C相交所成且為銳角的二面角的余弦值；（III）當(dāng)為何值時(shí)，在DE上存在點(diǎn)P，使CP平面DEF.（I）證：取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)GE由三棱柱得，AF/BD/CE，而BD=1，AF=5， 四邊形ABDF為梯形，OG為梯形ABDF的中位線 OG/AF，且OG=3而CE/AF，且CE=3OGCE xyz四邊形OCEG為平行四邊形GE/OC 又OC平面DEF，GE平面DEF OC/平面DEF （II）以直線OBOC分別為軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， AF=，則DEF的坐標(biāo)分別為：D（1，0，1）E（0，3）F（-1，0，4）， =（-1，2），=（-2，0，3）設(shè)平面DEF的法向量，由得可取平面AB

14、C的法向量可以取平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為（III）在（II）的坐標(biāo)系中，AF=，=（-1，2），=（-2，0，-1）因P在DE上，設(shè)，則于是CP平面DEF的充要條件就為由此解得，即當(dāng)=2時(shí)，在DE上存在靠近D的第一個(gè)四等分點(diǎn)P，使CP平面DEF【例11】圖1，在矩形中，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，使為，且平面平面（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值圖1解（）在中，在中，平面平面，且交線為，平面平面，（）設(shè)與相交于點(diǎn)，由（）知，平面，平面，平面平面，且交線為，如圖2，作，垂足為，則平面，連結(jié)，則是直線與平面所成的角由平面幾何的知識可知，在中，在中，可求得直線與平面所

15、成的角的正弦值為【例12】三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1 B1 C1，平面A1 A1平面ABC，AB=AC=2，A1 C1=1，D是BC的中點(diǎn) (I)證明：平面A1AD上平面BC C1 B1； (II)求二面角AB B1C的大小解：(I)A1 A平面ABC，BCC平面ABC，A1 ABC，AB=AC=2BAC=60°，ABC為正三角形，即ADBC 又A1 AAD=A，BC平面A1AD，平面A1 AD平面BCC1B1 ()如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，A1(0，0， )，B1(1，0，)， 顯然，平面A

16、BB1A1的法向量為m=(0，1，0)， 設(shè)平面BCC1B1的法向量為n=(m，n，1)，則， 即二面角ABB1C為arccos【例13】如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC底面ABC，AAC=60°.()求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大??；()已知點(diǎn)D滿足，在直線AA上是否存在點(diǎn)P，使DP平面ABC.若存在，請確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.解：()側(cè)面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于點(diǎn)O，A1O平面ABC.又ABC=A1AC=60°，且各棱長都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

17、系O-xyz,則A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，；.設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,1)則解得n=(-1,0,1).由cos<>=而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角，側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小為()而又B(，0，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-，0，0).假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，y，z). DP平面AB1C，n=(-1，0，1)為平面AB1C的法向量，由，得又DP平面AB1C，故存在點(diǎn)P，使DP平面AB1C，其從標(biāo)為(0，0，)，即恰好為A1點(diǎn)【例14】如圖，

18、棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC=60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°。 （）證明：BDAA1；（）求二面角DA1AC的平面角的余弦值；（）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP/平面DA1C1.若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由。連接BD交AC于O，則BDAC，連接A1O，在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60°，A1O2=AA12+AO22AA1·Aocos60°=3，AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，所以A1O底面ABCD，以O(shè)BOCOA1所在直線

19、為x軸y軸z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，）于，則，BDAA1（）由于OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量，設(shè)平面AA1D則，得到，所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是（）假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP/平面DA1C1，設(shè)則，得設(shè)則設(shè)，得到，又因?yàn)槠矫鍰A1C1，則·，即點(diǎn)P在C1C的延長線上且使C1C=CP【例15】如圖，在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點(diǎn)（1）求異面直線和所成的角的余弦值；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值； （3）若點(diǎn)在正方形內(nèi)部或其邊界上，且平面，求的

20、最大值、最小值解：（1），, （2）平面BDD1的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BFC1的法向量為取得平面BFC1的一個(gè)法向量所求的余弦值為（3）設(shè)（），由得即，,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【例16】DA1D1C1B1E1BACPO如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，.（）求證：平面；（）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大小； () 當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心"解法一：（）過P作MNB1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N分別為 A1B1、D1C1的中點(diǎn)，連MB、NC，則四邊形BCNM是平行四邊形 E、M分別為AB、A1B1中點(diǎn)，A1EMB又MB平面PBC，A1E平面PBC。

21、（）過A作AFMB，垂足為F，連PF，BC平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF平面PBC，APF就是直線AP與平面PBC所成的角，設(shè)AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sinAPF=。所以，直線AP與平面PBC所成的角是。（）連OP、OB、OC，則OPBC，由三垂線定理易得OBPC，OCPB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是PBC的重心，則PBC為正三角形。即PB=PC=BC，所以。反之，當(dāng)k=時(shí)，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心zxyDA1D1C1B1E1BACPO解法

22、二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則得、()由上得、，設(shè)得解得， ，平面_（）當(dāng)時(shí)，由、得、設(shè)平面的法向量為，則由，得，直線與平面所成角的大小為. () 由()知的重心為，則，若在平面內(nèi)的射影恰好為的重心，則有，解得當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心. 【例17】AEDCBA1B1C1第17題圖如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱的底面位于平行四邊形中,點(diǎn)為中點(diǎn). （）求證:平面平面. （）設(shè)二面角的大小為,直線與平面所成的角為,求的值.解:（）方法一、在平行四邊形中, ,點(diǎn)為中點(diǎn).,從而,即又面,面,而, 平面平面平面平面方法二、,點(diǎn)為中點(diǎn).,，又面,面，,而,平面AEDCBA1B1C1xyz平面平面平面（）方法一、由（）可知,為二面角的平面角,即, 在中,以為原點(diǎn),建立空