全國初中數(shù)學競賽試題及答案

1、.中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會全國初中數(shù)學競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.）1（甲）如果實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡為（）（A）（B）（C）（D）a1（乙）如果，那么的值為（）（A）（B）（C）2 （D）2（甲）如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為（3，2），那么另一個交點的坐標為（）（A）（2，3）（B）（3，2）（C）（2，3）（D）（3，2）2（乙）在平面直角坐標系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點坐標（x，y）的個數(shù)為（）（A）10 （B）9 （C）7 （D）5

2、3（甲）如果為給定的實數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（）（A）1 （B）（C）（D）3（乙）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，則CD的長為（）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）如果關于x的方程是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是（）（A） 5 （B） 6 （C） 7

3、 （D） 85（甲）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（）（A）（B）（C）（D）5（乙）黑板上寫有共100個數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）6（甲）按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x”到“結果是否>487.”為一次操作. 如果操作進行四次才停止，那么x的取值X圍是.6（乙

4、）.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，那么的值為7（甲）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則DMN的面積是.7（乙）.如圖所示，點A在半徑為20的圓O上，以OA為一條對角線作矩形OBAC，設直線BC交圓O于D、E兩點，若，則線段CE、BD的長度差是。8（甲）.如果關于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個實數(shù)根分別為，那么的值為8（乙）設為整數(shù)，且1n2012. 若能被5整除，則所有的個數(shù)為.9（甲）.2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分

5、；平局各得1分. 比賽結束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，則m的值為.9（乙）如果正數(shù)x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)若和均為三角形數(shù)，且abc，則的取值X圍是.10（甲）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長BA，CD，交點為E. 作BFEC，并與EC的延長線交于點F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長為.10（乙）已知是偶數(shù)，且1100若有唯一的正整數(shù)對使得成立，則這樣的的個數(shù)為三、解答題（共4題，每題15分，共60分）11（甲）已知二次函數(shù)，當時，恒有；關于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取

6、值X圍11（乙）. 如圖所示，在直角坐標系xOy中，點A在y軸負半軸上，點B、C分別在x軸正、負半軸上，。點D在線段AB上，連結CD交y軸于點E，且。試求圖像經(jīng)過B、C、E三點的二次函數(shù)的解析式。12（甲）. 如圖，O的直徑為，過點，且與O內(nèi)切于點為O上的點，與交于點，且點在上，且，BE的延長線與交于點，求證：BOC12（乙）如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是ABD的內(nèi)心. 求證：（1）OI是IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.13（甲）. 已知整數(shù)a，b滿足：ab是素數(shù)，且ab是完全平方數(shù). 當2012時，求a的最小值.13（乙）給定一個正

7、整數(shù)，凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于.并說明理由14（甲）. 求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）將，（n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)（可以相同），使得，求的最小值參考解答一、選擇題1(甲).C解：由實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以1（乙）B解：2（甲）D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關于原點對稱，因此另一個交點的坐標為（3，2）.2（乙）B解：由題設x2y22x2y，得02.因為均為整數(shù)，所以有解得以上共計9對.3（甲）D解：由題設知，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，于是.3（乙）B解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，

8、連接AE. 由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE， BD = AE.又因為，所以.在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）D解：設小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負整數(shù). 由題設可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因為為正整數(shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根與系數(shù)關系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負由二次函數(shù)的圖象知，當時，所以，即. 由于都

9、是正整數(shù)，所以，1q5；或，1q2，此時都有. 于是共有7組符合題意5（甲）D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所以，因此最大5（乙）C解：因為，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變設經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得，二、填空題6（甲）7x19解：前四次操作的結果分別為 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易驗證，當7x19時，48

10、7 487，故x的取值X圍是7x196（乙）.7解：在兩邊乘以得即7（甲）8解：連接DF，記正方形的邊長為2. 由題設易知，所以，由此得，所以.在RtABF中，因為，所以，于是.由題設可知ADEBAF，所以，.于是，. 又，所以. 因為，所以.7（乙）.解：如圖，設的中點為，連接，則因為，所以，8（甲）解：根據(jù)題意，關于x的方程有=k240，由此得 (k3)20又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=8（乙）.1610解：因此，所以，因此所以共有2012-402=1610個數(shù)9（甲）8解：設平局數(shù)為，勝（負）局數(shù)為，由題設知，由此得

11、0b43.又，所以. 于是 043，87130，由此得，或.當時，；當時，不合題設.故9（乙）.解：依題意得：，所以，代入（2）得，兩邊乘以a得，即，化簡得，兩邊除以得所以另一方面：abc，所以綜合得另解：可令，由（1）得，代入（2）化簡得，解得，另一方面：abc，所以，綜合得10（甲）解：如圖，連接AC，BD，OD. 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90°.依題設BFC = 90°，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD，因此.因為OD是O的半徑，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC，于是. 因此.由，知因為，所

12、以，BA=AD，故.10（乙）.12解：依題意得由于是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即，當1100時，4的倍數(shù)共有25個，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對，則：，其中p是素數(shù)，因此，k只能取下列12個數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，從而這樣的n有12個。三、解答題11（甲）解：因為當時，恒有，所以，即，所以（3分）當時，；當時，即，且，解得（8分）設方程的兩個實數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得因為，所以，解得，或因此（15分）11（乙）.解：因為sinABC =，所以AB = 10由勾股定理，得易知，因此CO = BO = 6于是，設點D

13、的坐標為由，得所以，解得因此D為AB的中點，點 D的坐標為因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點E為ABC的重心，所以點E的坐標為（也可由直線CD交y軸于點E來求得.）設經(jīng)過B，C，E三點的二次函數(shù)的解析式為將點E的坐標代入，解得a =故經(jīng)過B，C，E三點的二次函數(shù)的解析式為12（甲）證明：連接BD，因為為的直徑，所以又因為，所以CBE是等腰三角形（5分）設與交于點，連接OM，則又因為，所以（10分）又因為分別是等腰，等腰的頂角，所以BOC（15分）12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等的性質(zhì)知：，所以，CI = CD同理，CI = CB故點C是IBD的外心

14、連接OA，OC，因為I是AC的中點，且OA = OC，所以OIAC，即OICI故OI是IBD外接圓的切線（2）如圖，過點I作IEAD于點E，設OC與BD交于點F由，知OCBD因為CBF =IAE，BC = CI = AI，所以所以BF = AE又因為I是ABD的內(nèi)心，所以故也可由托勒密定理得：，再將代入即得結論。13（甲）解：設ab = m（m是素數(shù)），ab = n2（n是自然數(shù)）. 因為 (a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）（1）當時，因為2am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (

15、m為素數(shù))，所以2am+2nm 2，2am2n1.解得a，. 于是= am. （10分）又a2012，即2012.又因為m是素數(shù)，解得m89. 此時，a=2025.當時，.此時，a的最小值為2025. （2）當時，因為2012，所以，從而得a的最小值為2017（素數(shù)）。綜上所述，所求的a的最小值為2017。（15分）13（乙）.解：設凸n邊形最多有k個內(nèi)角等于150°，則每個150°內(nèi)角的外角都等于30°，而凸n邊形的n個外角和為360°，所以，只有當時，k才有最大值12. （5分）下面我們討論時的情況：（1）當時，顯然，k的值是11；（2）當時，k的值分別為1，2，3，4，5；（3）當時，k的值分別為7，8，9，10.（10分）綜上所述，當時，凸n邊形最多有個內(nèi)角等于150°；當時，凸n邊形最多有個內(nèi)角等于150°；當時，凸n邊形最多有12個內(nèi)角等于150°；當時，凸n邊形最多有11個內(nèi)角等于150°。.（15分）14（甲）解：由于都是正整數(shù)，且，所以1，2，2012于是（5分）當時，令，則.（10分）當