三次函數(shù)專題

1、三次函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中永恒的經(jīng)典【考點定位】考試說明：了解導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義；會用常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)和簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和閉區(qū)間上函數(shù)的最值.問題概述：三次函數(shù)一直是中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題.2014年高考，在全國卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、遼寧卷、陜西卷、江西卷、廣東卷中都出現(xiàn)了這個函數(shù)的單獨命題，特別是浙江卷（理）、北京卷（文）、廣東卷（文）以壓軸題的形式出現(xiàn)，更應(yīng)該引起我們的重視.單調(diào)性和對稱性最能反映

2、這個函數(shù)的特性.通常以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，還可溝通函數(shù)、方程、不等式、等知識之間的有機聯(lián)系.本文以2014年高考為例，例談高考中的三次函數(shù)問題. 【考量基礎(chǔ)】 三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及閉區(qū)間上的最值例1【2014高考安徽卷第18題】設(shè)函數(shù),其中.（1） 討論在其定義域上的單調(diào)性；（2） 當(dāng)時，求取得最大值和最小值時的的值.解析：（1）的定義域為，.令，得，所以.當(dāng)或時，；當(dāng)時，.故在和內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增.（2）因為，所以當(dāng)時，由（1）知，在上遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值.當(dāng)時，由（1）知，在上遞增，在遞減，所以在處取得最大值.又，所以當(dāng)時，在處取得最小值；當(dāng)時，在

3、和處同事取得最小值；當(dāng)時，在處取得最小值.點評：（本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)考查運算求解能力，判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值考查抽象概括能力，邏輯思維能力以及分析、解決問題的能力，試題中等難度）高考趨勢：（本類問題在近幾年高考中頻繁出現(xiàn)，利用函數(shù)單調(diào)性及分類討論思想求最值，學(xué)生對字母的討論會分但不全）類題演練：【2014高考廣東卷文第21題】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 【考量能力】1.三次函數(shù)的圖像問題例2【2014高考江西卷文第10題】在同意直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像不可能的是（ ）解析：討論字母的取值情況，確定函數(shù)的圖像特征，再利用排除法求解.分兩種情況討論.當(dāng)時，函數(shù)為與，圖象為D，故D有可能

4、.當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，對函數(shù)，求導(dǎo)得，令，則，所以對稱軸介于兩個極值點之間，A，C滿足，B不滿足，所以B是不可能的.故選B.點評：（本題是二次函數(shù)和三次函數(shù)圖象的識別，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，考查抽象概括能力和推理論證能力，試題難度較大）高考趨勢：（本類問題結(jié)合圖形分析，考查圖象的識別能力和創(chuàng)新意識，在近幾年高考中屢屢出現(xiàn)）類題演練：【2014陜西高考理第10題】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ） （A） （B）（C） （D）2.三次函數(shù)的切線問題例3【2014高考北京卷文第20題】已知函數(shù).

5、（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論）解析：（2）設(shè)過點的直線與曲線相切于點，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此，整理得.設(shè)，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”， =，與的情況如下：01+00+t+3所以，是的極大值，是的極小值，當(dāng)，即時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點，當(dāng)，時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點.當(dāng)且，即時，因為，所以分別為區(qū)間和上恰有1個零點，由于在區(qū)間和上單調(diào)，所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.綜上可知，當(dāng)過點存在3條直線與曲線相切時，t

6、的取值范圍是.（3）3條，2條，1條點評：（本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識的同時，考查分類討論，函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力，試題難度較大.）高考趨勢：（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是高考的熱點，在每年高考試卷中占分比重較大，熟練這部分的基礎(chǔ)知識，基本題型與基本技能是解決這類問題的關(guān)鍵）類題演練：【2014高考全國卷新課標(biāo)文第21題】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為.（1）求；3.三次函數(shù)的零點問題例4【2014全國1高考理第11題】已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ）A B C D解析：當(dāng)時，函數(shù)有兩個零

7、點和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，令，則和，時，；時，； 時，且，此時必有零點，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時，時， ；時，；時， ，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則.故選C.點評：（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，考查學(xué)生的推理論證能力，特殊值法的運用，試題難度較大）高考趨勢：（利用排除法處理選擇題問題，不僅可以提高試題正確率，而且可以節(jié)省時間.三次函數(shù)零點個數(shù)總共三類情況，學(xué)生不難處理）類題演練：【2014高考全國卷新課標(biāo)文第21題】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為.（2）證明：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點. 【綜合遷移】 三次函數(shù)與絕對值例5【2014高考浙江卷理第22題】已知函數(shù)（

8、）.（1） 若在上的最大值和最小值分別記為，求；解析：因為 所以由于 當(dāng)時，有，故.此時在上是增函數(shù)，因此= 當(dāng)時，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，所以，由于因此當(dāng)時，；當(dāng)時. 當(dāng)時，有，故，此時在上是減函數(shù)，因此=綜上可知，點評：（利用導(dǎo)數(shù)研究帶絕對值三次函數(shù)的單調(diào)性、最值的求法，判斷單調(diào)性和求最值時不僅對進行討論去絕對值，同時要對進行討論，考查分類討論思想和運算求解能力，試題難度較大）高考趨勢：（三次函數(shù)作為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，學(xué)生對其圖象與性質(zhì)掌握得較全面，在此基礎(chǔ)上將三次函數(shù)帶上絕對值，增加了對字母討論的難度，在學(xué)生跳一跳夠得著基礎(chǔ)上改編三次函數(shù)這的確是個好題）類題演練：【2013高考浙江卷理第22題】已知aR，函數(shù)f(x)x33x23ax3a3.(2)當(dāng)x0,2時，求|f(x)|的最大值 【反饋平臺】1.【2014高考浙江卷文第7題】已知函數(shù)，且，則（ C ）A. B. C. D.2.【2014遼寧高考理第11題】當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ C ）A B C D3.【2014高考陜西卷文第10題】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)（相切），已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為（ A ）（A） （B） （C） （D）4.【2014高考大綱卷文第21題】函數(shù)f(x)