圓中最值問題的求解方法

1、圓中最值問題的求解方法有關圓的最值問題，往往知識面廣、 綜合性大、應用性強，而且情境新穎，能 很好地考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù) 學素質(zhì)，本文按知識點分類，以近幾年中 考題為例，歸納總結此類試題的解題方 法.一、直線外一點到直線上各點的連線 中，垂線段最短例1（2012寧波）如圖1， ABC中，Z BAO 60°，Z ABC= 45°, AB= 2, D是線段BC上的一個動點，以 AD為直 徑畫O O分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連結 EF則線段EF長度的最小值為 .分析 由垂線段的性質(zhì)可知，當 AD為 ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短.解如圖2,連結OE, OF,過O點

2、 作0H丄EF垂足為H.在 RtA ADB 中，Z ABC= 45°, AB= 2,AD= BD= 2，即此時圓的直徑為2.由圓周角定理，可知Z EOHZ EOFZ BAC= 60°,在 RtA EOH 中，EH= OE sin Z EOH 1 V3 2 2 *由垂徑定理，可知 EM 2EH_3點評本題是一道融垂徑定理、圓 周角定理、解直角三角形于一體的綜合應 用題.關鍵是根據(jù)運動變化，找出滿足條 件的最小圓.二、兩點之間線段最短"卜，例2（2014三明）如圖3,在RtABC中，Z ACB= 90AC= BC= 2,以BC為直徑的半圓交 AB于 點 D, P 是

3、Cd CD上的一個動點，連結AP,則AP的最小值 是.分析如圖4,取BC的中點E,連 結AE,交半圓于點P2,在半圓上取點Pi, 連結 APi, EPi,可得，APi + EPi>AE,即 AP2是AP的最小值.再根據(jù)勾股定理求 出AE的長，然后減掉半徑即可.E,連結AE, i,連結4解如圖4,取BC的中點 交半圓于點P2,在半圓上取丿 APi, ER,可得，APi + EPi>AE5 , P2E= i.AP2 . 5 i .即AP2是AP的最小值.點評 本題考查了勾股定理、最短 路徑問題，利用兩點之間線段最短是解題 的關鍵.三、利用軸對稱，求直線上一點到直 線同側兩點的線段之和最

4、短例3 （2014張家界）如圖5, AB、CD 是半徑為5的O O的兩條弦，AB= 8, CD =6, MN是直徑，AB丄MN于點E, CD 丄MN于點F，P為EF上的任意一點，貝9PA+ PC的最小值為分析A、B兩點關于MN對稱，因而PA+ PC= PB+ PC,即當 B、C、P 在一條 直線上時，PA+ PC的最小，即BC的值就 是PA+ PC的最小值.解 如圖6,連接OA, OB, OC,作CH垂直于AB于點H.根據(jù)垂徑定理，得到BE = 4= -i-CD = S,其 OE = yorf -= /51 -43 = 3.OF = /OC3 - Cf =- 3】=4,.CH = OE + Q

5、F = 3 + 4 =4+3 =l 7,在RtA BCH中，根據(jù)勾股定理得到BC= 7,則PA+ PC的最小值為7.點評正確理解BC的長是PA+ PC 的最小值，是解決本題的關鍵.例4 （2014東營）如圖7,在O O中， AB 是O O 的直徑，AB= 8cm, Ac CD BD, M是AB上一動點，則 CM+ DM的最小 值是cm.解析 如圖8,作點C關于AB的對 稱點C',連結C'D與AB相交于點M，根 據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM + DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理 可得Ac Ac,然后求出C'D為直徑，從而得 解. CM+ DM的最小值是8cm.點

6、評本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖 形，判斷出CM+ DM的最小值等于圓的 直徑的長度是解題的關鍵.四、利用切線的性質(zhì)求最小值例5（2010蘇州）如圖9,已知A、B兩點的坐標分別為（2, 0）、（0, 2）,0 C 的圓心坐標為（一1, 0）,半徑為1若D 是O C上的一個動點，線段 DA與y軸交 于點丘，則厶ABE面積的最小值是（ ）(A)2(D)2-解析 根據(jù)三角形的面積公式， ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小， 則面積越小，可以判斷當 AD與O C相切 時，BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出 AD 的值，然后根據(jù)相似三角形求出 OE的長 度，代入三角形的面積

7、公式進行計算即可求解.如圖10,由題意知道當 DA是圓C 的切線時，OE最短，此時 ABE面積最 小.AC= 2+ 1 = 3. CD= 1.由勾股龍理得丸心二-V = rfL可Ul證明 AAOEs A4ZIC,/ ABE的面枳為=-y x X AO=y K （2 -厲）= 2 妊故選c.點評 本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)， 勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度是解題的關鍵.五、立體圖形上兩點之間最短距離例6 （2014蘭州）如圖11，有一個 圓錐形的糧堆，其主視圖是邊長為6cm的正三角 形，母線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠, 求小貓經(jīng)過的最短路程.解析如圖12，先確定扇形的圓心 角，根據(jù)兩點之間線段最短，再確定起點 和終點，從而求解， ABC為正三角形. BC= 6.I = 2 nX 3= 6 n.根據(jù)底面積圓的周長等于展開后扇形 的弧長，得口 6180故 n = 180°，則/ B'AC= 90°， B'P= 36 9 35 （米）.答：小貓所經(jīng)過的最短路程是=3V5米.點評本題考查平面展開最短路徑 問題，關鍵知道兩點之間線段最短， 根據(jù) 勾股定理求解.以圓為載體的最值問題在中考試題 中