多邊形及其內(nèi)角和分析

1、復(fù)習與知識回顧學習新知識之前，看看你的知識貯備過關(guān)了嗎?多邊形及其內(nèi)角和一、目標與策略明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學習目標：了解多邊形，多邊形的對角線，正多邊形等有關(guān)的概念；掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；靈活運用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題，體驗并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法， 進一步培養(yǎng)說理和進行簡單推理的能力。重點難點：重點：多邊形內(nèi)角和及外角和公式的靈活應(yīng)用。難點：多邊形內(nèi)角和公式的推導；多邊形內(nèi)角和及外角和公式的應(yīng)用。學習策略：通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的運用，探索多邊形內(nèi)角和公式，同時體會從特殊到一般的認識問題的

2、方法。二、學習與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”科學地預(yù)習才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。（一）三角形的內(nèi)角和等于 ，外角和是 。（二） 三角形的一個等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的一個外角與它不相鄰的任何一個內(nèi)角（三） 三角形任意兩邊大于第三邊，三角形任意兩邊小于第三邊。知識要點一一預(yù)習和課堂學習認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內(nèi)容補充完整，帶著自己預(yù)習的疑惑認真聽 課學習，請在虛線部分填寫預(yù)習內(nèi)容，在實線部分填寫課堂學習內(nèi)容。課堂筆記或者其它補 充填在右欄。詳細內(nèi)容請參看網(wǎng)校資源 ID : #tbjx5# 242807。0知識點一：多邊形及有關(guān)概念（一）多邊形的定義： 在平面

3、內(nèi)，由一些線段相接組成的圖形叫做多邊形。（1）多邊形的一些要素：邊：組成多邊形的各條叫做多邊形的邊。頂點：每相鄰兩條邊的公共叫做多邊形的頂點。內(nèi)角：多邊形兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角， 一個n邊形有個內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可； 理解時要特別注意“在同一 內(nèi)”這個條件，其目的是為了排除幾個點不共面的情況，即空間多邊形。（二）多邊形的分類：（1 ）多邊形可分為一多邊形和一多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多邊形為 多邊形，

4、反之為 多邊形（見圖1 ）。本章所講的多邊形都是指多邊形。凹多邊形凸多邊形（2 ）多邊形通常還以一命名，多邊形有n條邊就叫做一邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形。0知識點二：正多邊形各個角都，各條邊都的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。正方形正三角形要點詮釋:正六邊形正十二邊形是正多邊形的必備條件，二者缺一不可。如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角都相等的四邊形才是_。O知識點三：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。如圖2，為四邊形ABCD的一

5、條對角線。要點詮釋：（1 ）從n邊形一個頂點可以引 條對角線，將多邊形分成_個三角形。（2）n邊形共有條對角線。證明：過一個頂點有 條對角線（n3的正整數(shù)），又t共有個頂點，二共有 對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復(fù)了 次，凸n邊形，共有 條對角線。O知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式（一）公式：n邊形的內(nèi)角和為 （ n二3）。（二）公式的證明：證法1:在n邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構(gòu)成 個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為 ，再減去一個角，即得到n邊形的內(nèi)角和為。證法2：從n邊形一個頂點作對角線，可以作條對角線，并且n邊形被分成 個三角形，這 個三角形內(nèi)角和恰好是 n邊形的，等于

6、。證法3：在n邊形的一邊上取一點與各個頂點相連， 得個三角形，n邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個 角的度數(shù)，即。要點詮釋：(1) 注意：以上各推導方法體現(xiàn)岀將多邊形問題轉(zhuǎn)化為 問題來 解決的基礎(chǔ)思想。(2) 內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。O知識點五：多邊形的外角和公式(1) 公式：多邊形的外角和等于 。(2) 多邊形外角和公式的證明： 多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是 ，所以n邊形的內(nèi)角和加外角和為 ，外角和等于。 注意：n邊形的外角和恒等于 ，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正

7、多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù)。(2 )多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于 (n > 3, n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加 。 多邊形的外角和等于，與邊數(shù)的多少無關(guān)。O 知識點六：鑲嵌的概念和特征（一）定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。（二）實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于 ;相鄰的多邊形有。（三）常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：（1）用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各

8、正多邊形的內(nèi)角之和為。（2）只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？ 解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的 的特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個 角°時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為 ，要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣 360 ° =，由此導出k = 2n = 2+，而k是正整數(shù)，所以n只能取。因而，n_ 2用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正角形、正方形、正邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于 。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊

9、形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿 地面。（3）用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個 角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌， 見下圖：曠滋一豹(2) (0又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角 經(jīng)典例題-自主學習認真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反 三。若有其它補充可填在右欄空白處。更多精彩

10、請參看網(wǎng)校資源ID : #jdlt0#242807O 類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用例1 . 一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的 5倍，它是幾邊形?思路點撥：本題實際告訴了這個多邊形的內(nèi)角和是 解析：總結(jié)升華:舉一反三：【變式1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800 °，求這個多邊形的邊數(shù)。答案：【變式2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750 °,求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？答案：【變式3】一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350°，求這個多邊形的邊數(shù)。答案：O 類型二：多邊形對角線公式的運用例2.某校七年級六班舉行籃球比賽，

11、比賽采用單循環(huán)積分制 （即每兩個班都進行一次比賽）。你能算岀一共需要進行多少場比賽嗎？思路點撥：本題體現(xiàn)與體育學科的綜合，解題方法參照多邊形 條數(shù)的求法,即多邊形的對角線條數(shù)加上邊數(shù)。如圖：一班二班五班四班解析:總結(jié)升華:舉一反三:【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9答案:【變式2】一個十二邊形有幾條對角線。解析：總結(jié)升華:類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題例 3 .如圖，求/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G 的度數(shù)。思路點撥:設(shè)法將這幾個角轉(zhuǎn)移到中，然后利用多邊形內(nèi)角和公式求解。解析:總結(jié)升華:舉一反三:【變式

12、2】如圖所示，求/ A+ / B+ / C+Z D+ / E+Z F的度數(shù)解析:O類型四：實際應(yīng)用題例4 .如圖，一輛小汽車從 P市岀發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？C思路點撥：根據(jù)多邊形的理解決。解析：總結(jié)升華:舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從 A點出發(fā)前進10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進10m，又向右轉(zhuǎn)15°,，這樣一直走下去，當他第一次回到岀發(fā)點時，一共走了 答案:總結(jié)升華:【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后繼續(xù)向前走10米，再向 右轉(zhuǎn)36°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎？

13、若能，當他走回點 A時共走了多少米？若不能，寫岀理由。答案：【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板,已知該模板的邊 AB / CF，CD / AE。按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80 °角,因交點不在模板上，不便測量。這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎？說明理由。D解析:O類型五：鑲嵌問題例5.分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖(1) 正方形和正八邊形；(2) 正三角形和正十二邊形；(3) 正三角形、正方形和正六邊形。思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個周角，那么這些多邊形就能 作平面鑲嵌。解

14、析：總結(jié)升華:舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是()A. B. C. D.答案：【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地， 拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是 8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是()A. 4B. 5 C. 6 D. 8答案：三、總結(jié)與測評要想學習成績好，總結(jié)測評少不了！課后復(fù)習是學習不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們 鞏固學習效果，彌補知識缺漏，提高學習能力?？偨Y(jié)規(guī)律和方法-強化所學認真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧 相關(guān)內(nèi)容請參看網(wǎng)校資源ID : #tbjx

15、16#242807。（反（一）內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少。 每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的倍（二）多邊形外角和恒等于，與邊數(shù)的多少無關(guān)（三）多邊形最多有個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有 個鈍角，最少沒有鈍角。（四）在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與方程思想相結(jié)合，運用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法。（五）在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決。三角形是一種基本圖形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的應(yīng)用。成果測評現(xiàn)在來檢測一下學

16、習的成果吧！請到網(wǎng)校測評系統(tǒng)和模擬考試系統(tǒng)進行相關(guān)知識點的測試。知識點：多邊形測評系統(tǒng) 分數(shù)： 模擬考試系統(tǒng) 分數(shù)： 如果你的分數(shù)在80分以下，請進入網(wǎng)校資源ID : #cgcp0#242807做基礎(chǔ)達標部分的練習，如果你的分數(shù)在80分以上,你可以進行能力提升題目的測試。自我反饋學完本節(jié)知識，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習題，將其中的好題及錯題分類整 理。如有問題，請到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學”交流。我的收獲習題整理題目或題目岀處所屬類型或知識點分析及注意問題好題錯題注：本表格為建議樣式，請同學們單獨建立錯題本，或者使用四中網(wǎng)校錯題本進行記錄。知識導學：多邊形及其內(nèi)角和（#242807）視聽課堂：多邊形的內(nèi)角和與外角和（選學