導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用新鄉(xiāng)市一中數(shù)學(xué)組 李鳳德摘 要導(dǎo)數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，高中階段引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，學(xué)好其他學(xué)科并發(fā)展學(xué)生的思維能力因而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題過(guò)程中，可以利用導(dǎo)數(shù)思想解決諸如函數(shù)（解析式、值域、最（極）值、單調(diào)區(qū)間等）問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題以及實(shí)際應(yīng)用等問(wèn)題關(guān)鍵詞導(dǎo)數(shù) 新課程 應(yīng)用一、 知識(shí)地位分析導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新教材中新增的知識(shí)之一,體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，有獨(dú)到之處?？v觀2010年各地的新課程高考試卷，大多數(shù)以一個(gè)大題的形式考察這部分內(nèi)容。內(nèi)容主要是與單調(diào)性、最值、切線(xiàn)

2、這三方面有關(guān)。今年是我省新教材實(shí)施的第一屆高考，雖然去年已然考察這方面的內(nèi)容，但作為新教材的新增內(nèi)容，仍應(yīng)引起我們足夠的重視。復(fù)習(xí)中注重導(dǎo)數(shù)在解決科技、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)中的某些實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。二、 導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容之一，它給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，特別是導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線(xiàn)、不等式、數(shù)列、實(shí)際等問(wèn)題帶來(lái)了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)，也使它成為新教材高考試題的熱點(diǎn)和命題新的增長(zhǎng)點(diǎn)這幾年的高考命題趨勢(shì)表明：導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要工具將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容結(jié)合，不僅能加強(qiáng)能力的考查力度，而且也使試

3、題具有更廣泛的實(shí)踐意義下面舉例探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式用解析式表示函數(shù)關(guān)系，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式，函數(shù)的一些基本性質(zhì)就會(huì)顯得更加的明了例1 設(shè)函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，若函數(shù)在處取得極值，試確定函數(shù)的解析式解 因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)適合方程，從而，又切線(xiàn)斜率，故在處的導(dǎo)數(shù)，而，從而，又函數(shù)在處取得極值，所以解得，所以所求函數(shù)解析式為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，方法因題而異，不易掌握但是，如果采用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，則較為容易，且一

4、般問(wèn)題都可行例2 求函數(shù)的值域分析 先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)定義域判斷的正負(fù)，進(jìn)而求出函數(shù)的值域解 顯然，定義域?yàn)椋捎?，又，可?jiàn)當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)而，所以函數(shù)的值域是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值求函數(shù)的最（極）值是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是高考經(jīng)常要考查的內(nèi)容之一，它涉及到了函數(shù)知識(shí)的很多方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類(lèi)問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，步驟清晰，也容易掌握，從而進(jìn)一步明確了函數(shù)的性態(tài)一般地，函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，則在上的最值求法：(1) 求函數(shù)在上的極值點(diǎn)；(2) 計(jì)算在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；(3) 比較在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值

5、分析 先求出的極值點(diǎn)，然后比較極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值解 由于，則當(dāng)或時(shí)，所以，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要注意的一個(gè)性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮的正負(fù)即可，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減此方法簡(jiǎn)單快捷而且適用面廣例4 求的單調(diào)區(qū)間分析 應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)區(qū)間解 顯然，定義域?yàn)?，又，由，得或；又由，得或，所以的增區(qū)間為和，

6、減區(qū)間為和（二）利用導(dǎo)數(shù)解決切線(xiàn)問(wèn)題求過(guò)某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程此種題型分為點(diǎn)在曲線(xiàn)上和點(diǎn)在曲線(xiàn)外兩種情況，的幾何意義就是曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，但應(yīng)注意點(diǎn)在曲線(xiàn)上，否則易錯(cuò)例5(2009·衡陽(yáng)模擬)求曲線(xiàn)f(x)x33x22x過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程解f(x)3x26x2.設(shè)切線(xiàn)的斜率為k.分析 此類(lèi)題型為點(diǎn)不在曲線(xiàn)上求切線(xiàn)方程，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線(xiàn)方程，把已知點(diǎn)代入方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后，再求切線(xiàn)方程(2009·衡陽(yáng)模擬)求曲線(xiàn)f(x)x33x22x過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程解f(x)3x26x2.設(shè)切線(xiàn)的斜率為k.(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)kf(0)2，所以所求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為

7、y2x.(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)，則有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為yx.求兩曲線(xiàn)切線(xiàn)方程例6 已知拋物線(xiàn)和，如果直線(xiàn)同時(shí)是和的切線(xiàn)，稱(chēng)是和的公切線(xiàn)，求公切線(xiàn)的方程分析 本題也可用常規(guī)方法求解，但運(yùn)算量大，過(guò)程煩瑣，而利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)無(wú)疑為解決這類(lèi)問(wèn)題提供了新的，簡(jiǎn)捷的方法，即先分別求出兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)，利用它們是同一直線(xiàn)來(lái)建立關(guān)系求解解 由，得，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程是，即 (1)由，得，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程是，即 (2)若是過(guò)與的公切線(xiàn)，則(1)(2)表示的是同一直線(xiàn)，所以消去，得，由題意知，所以，則，即點(diǎn)與重

8、合，此時(shí)曲線(xiàn)和有且僅有一條公切線(xiàn)，且公切線(xiàn)方程為（三）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問(wèn)題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因此歷來(lái)是高考的難點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題例7 求證：不等式在上成立分析 通過(guò)作差，構(gòu)造函數(shù)，和，再通過(guò)對(duì)和求導(dǎo)來(lái)判斷證明 構(gòu)造函數(shù)，則得知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即成立又?gòu)造函數(shù)，則得知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即成立綜上所述，原命題成立（四）利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要部分，而數(shù)列

9、求和是中學(xué)階段數(shù)列部分的重要內(nèi)容之一，有許多初等解決方法事實(shí)上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決數(shù)列求和的有關(guān)問(wèn)題例8 求和：(其中，)解 注意到是的導(dǎo)數(shù)，即，可先求數(shù)列的前和，然后等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有例9 求和：解 因?yàn)樯鲜絻蛇厡?duì)求導(dǎo)，有，再令，可以得到（五）利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)，不僅可以解決函數(shù)、切線(xiàn)、不等式、數(shù)列問(wèn)題，而且還可以解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題學(xué)習(xí)的最終目的，是要求學(xué)生具有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)、思想方法以及能力近幾年，高考越來(lái)越注重對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查，比如最優(yōu)化問(wèn)題、最低成本問(wèn)題等，而利用導(dǎo)數(shù)解決這些問(wèn)題非常方便例

10、10 甲乙兩個(gè)村子在一條河的同側(cè)，甲村位于河岸的岸邊處，乙村位于離河岸的處，乙村到河岸的垂足與相距兩村要在岸邊合建一個(gè)供水站，從供水站到甲村、乙村的水管費(fèi)用分別為、，問(wèn)供水站建在何處才能使水管費(fèi)用最?。?圖1)圖1分析 本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式技巧與方法主要有：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，隨后用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題解 如圖1，設(shè)點(diǎn)距點(diǎn)，則，總的水管費(fèi)用為()又，令，則在上，只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，知處取得最小值，此時(shí)所以供水站建在距甲村處才能使水管費(fèi)用最省三