邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題的一種近似解法

1、邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題的一種近似解法第33卷第2期Vo1.33No.2菏澤學(xué)院JournalofHezeUniversity2011年3月Mar.20ll文章編號:16732103(2011)02004805邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題的一種近似解法袁國靜一,令鋒(1.內(nèi)蒙古212業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010051;2.肇慶學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院,廣東肇慶526061)摘要:在熱平衡積分法和改進(jìn)的熱平衡積分法的基礎(chǔ)上,提出了一種求解熱傳導(dǎo)問題的新方法.應(yīng)用此方法求解邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題,結(jié)果表明:此方法計(jì)算過程簡單且計(jì)算精度高.關(guān)鍵詞:熱傳導(dǎo);固定溫度邊界條件;線性溫度邊界條

2、件中圖分類號:0241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A引言熱平衡積分法(HeatBalanceIntegralMethod;HBIM)是Goodman提出的解決熱傳導(dǎo)問題的一種解析方法.即通過對導(dǎo)熱微分方程在f時刻的攝動深度()關(guān)于空問變量積分得到一個積分方程,選取滿足邊界條件的函數(shù)代人積分方程,求得整個區(qū)域的溫度分布.用簡單函數(shù)來近似描述溫度場,計(jì)算難度低于分析解法,計(jì)算速度快于數(shù)值解法,且計(jì)算精度較高,這使其在導(dǎo)熱問題的求解中被廣泛應(yīng)用.改進(jìn)的熱平衡積分法(RefinedIntegralMethod;RIM)是Sadoun等人提出的一種半解析方法.即通過對導(dǎo)熱微分方程關(guān)于空間變量積分2次并結(jié)合傳統(tǒng)的熱

3、平衡積分方程得到一個新的積分方程,選取滿足邊界條件的函數(shù)代入這個積1叮'分方程,求得整個區(qū)域的溫度分布.該方法建立在前人提到的改進(jìn)積分基礎(chǔ)上J,避免了在=0處產(chǎn)生ox的誤差,在一定Stefan數(shù)范圍內(nèi)該方法比其他解析方法顯示出更高的準(zhǔn)確性2J.近似函數(shù)的選擇是應(yīng)用熱平衡積分法及改進(jìn)的熱平衡積分法需要考慮的關(guān)鍵問題,大多數(shù)學(xué)者采用的形式為多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)一J,Goodman最先提出選用二次函數(shù),同時也提及三次函數(shù)的情況J,Antic和Hill在2003年研究谷物儲藏的擴(kuò)散問題中采用的三次函數(shù).Langrd介紹了測量誤差函數(shù)E()=,T'2,2f,I警一ldx,使E(f)最小化

4、得到n的值.在相同的條件下由測量誤差函數(shù)確定,t值得到的解較先前nua值得到的解顯示出更高的精確性J,但是求解n值的代數(shù)計(jì)算過程較繁瑣,首先須對假設(shè)的近似溫度分布函數(shù)求得對t和的偏導(dǎo)數(shù),然后代人E(t)取平方后在區(qū)間0,上積分求得關(guān)于6,6和凡的復(fù)雜的表達(dá)式,把通過熱平衡積分法和改進(jìn)的熱平衡積分法求得的攝動深度代人求得的表達(dá)式,最后對(f)求最小化得到n的值.本文在熱平衡積分法和改進(jìn)的熱平衡積分法的基礎(chǔ)上,提出了一種求解熱傳導(dǎo)問題的新方法,應(yīng)用此方法求解了邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題,結(jié)果表明:此方法計(jì)算精度高且計(jì)算過程簡單.48收稿日期:2011119基金項(xiàng)目:廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(

5、04011600)作者簡介:袁國靜(1983一),女,山東濰坊人,在瀆碩士研究生,研究方向:相變熱傳導(dǎo)問題.令鋒(1963一),男,陜西岐山人,教授,博士,碩士研究生導(dǎo)師,研究方向:冰川凍土2011年袁國靜,等:邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題的一種近似解法第2期1模型方程邊界條件隨時間變化熱傳導(dǎo)問題的半無限大區(qū)域模型方程如下:OT:磐0<<afaT=0T:(t)塑一0a對任意西(t)解析解可表示為:t=0=0(1)(2)(3)(4)():f業(yè)孚dA(5)21T如(tA)丁由于對隨時間變化的邊界條件咖(t),式(5)的求解過程繁瑣甚至很多情況下的結(jié)果無法求得,故考慮求

6、解過程相對簡單的近似解.2近似解法介紹為保證近似解與溫度場光滑融合,近似溫度分布函數(shù)需滿足T(6,t)=0,(6,t)=0,假設(shè)溫度近似函數(shù)為:=()(1一(6)2.1熱平衡積分法將式(1)關(guān)于空間變量積分,有:OT,dx=Ox(7),整理得:一乳.將式(6)代人式(8)得:dt【1】=6(9)【n+J2.2改進(jìn)的熱平衡積分法將式(1)關(guān)于空間變量積分兩次,有:(=(一:.)整理得:6r一廣:一f一6一OTI(11)JoOt.OtJ:oc3xJ:0將式(1)代人式(11)左邊第一項(xiàng),整理得:UoTd:r(o,)(12)將式(6)代人式(12)得:201I丘菏澤學(xué)院第2期f】=(13i2)d【(

7、n十)(n+)J丫將不同的溫度邊界條件代人式(9),式(13)求得攝動深度,令兩式求得的結(jié)果相等得/7,值.3邊界條件隨時間變化條件下的近似解Sadoun在文獻(xiàn)2中研究了固定溫度邊界條件和線性溫度邊界條件兩種情形,本文以這兩種情形為例研究熱傳導(dǎo)問題.3.1固定溫度邊界條件(t)=I將條件(t)=l代人式(13)并積分得:=(14)式(9)中假定n是常數(shù),將條件()=l代人式(9)并積分得:=(15)令式(14)和式(15)相等得n=2,可見結(jié)果與假設(shè)相符合.將(t)=I代人式(5)得精確解:T:erfc(16)2f在固定溫度邊界條件(t)=1且t:I,取不同值時溫度r的精確解,與本文方法解的比

8、較,見表I.表1溫度精確解和本文方法解比較3.2線性溫腰邊界條件西(t)=lt將條件()=It代入式(13)并積分得:6=/(n+1)(n+2)(2t-t2)?(17)式(9)中假定n是常數(shù),將條件()=1一f代人式(9)并積分得:6=,【l一(1一f)】(18)令式(17)和式(18)相等得n=,可見n不是常數(shù)且n=n(),故利用假設(shè)得到的式(I8)結(jié)果有誤,此問題需轉(zhuǎn)向討論隨時問變化的n值.將本文方法應(yīng)用于隨時間變化的邊界條件,假設(shè)n:幾(t),則式(9)和式(13)分別轉(zhuǎn)化為下面的式(19)和式(20):咖掌一:一幣(19)一面一中cD2011年袁國靜,等:邊界條件隨時間變化的熱傳導(dǎo)問題

9、的一種近似解法第2期24,d6一揣=)式(19)和(20)可簡化為式(21)和式(22):+1)【)+】('1)=(凡+1)(n+2)(n+1)(2+】(22)對一般的()和隨時間變化的n()需確定初始條件n(o).考慮實(shí)際,假定時一,.(n.是非零常數(shù)),替換和n.到式(13)積分得:12南1(23)(0+)(凡0+)+J由式(23)得:)將式(24),咖和/,.代人式(9)積分得:(_+JB)(+2)no(25)由上式可見方程獨(dú)立于f,說明假設(shè)凡一凡.合理.由上式得:n0=+2(26)故咖(t)=1一時,當(dāng)時咖一l,得出盧=0,n.=2.對線性邊界條件()=1一,式(9),式(13

10、)轉(zhuǎn)化為:【】=,一ddtT/,1dt-I-14-2=)【+J'【(凡)fn)J一,'一/上式第二個方程可直接解析積分,第一個方程進(jìn)行數(shù)值估計(jì),初始值n(O)=2,a(o)=O.將()=1一t代人式(5)得精確解:(,一一等)errc+e)在線性溫度邊界條件咖()=1一且0.2,取不同值時,溫度的精確解與本文方法解的比較(n(0.2)=1.3672).見.表2.表2溫度精確解和本文方法解比較4結(jié)語本文提出的方法代數(shù)計(jì)算過程簡單.由表l,表2可看出,在固定溫度邊界條件和線性溫度邊界條件下,5l2011血菏澤學(xué)院第2期本文方法得到的近似解與精確解的相對誤差較小.參考文獻(xiàn):1Good

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